2025年甘肃省张掖市肃南县祁丰学校中考数学一模试卷

2025年甘肃省张掖市肃南县祁丰学校中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是 A. B. C. D. 2.下列图形中，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是(    ) A. B. C. D. 6.如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.已知点，在反比例函数的图象上，若，则一定成立的是(    ) A. B. C. D. 8.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是(    ) A. B. C. D. 9.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图是点运动时随变化的关系图象，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.分解因式：______． 12.已知代数式，则代数式的值是______． 13.二次根式有意义，则的取值范围是          ． 14.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为______ 15.如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点，，是优弧上的一点，则的度数为______ 16.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解不等式组：． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中． 20.本小题分 如图，点在的边上． 使用直尺和圆规，按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹： 作的平分线； 作线段的垂直平分线，与的平分线交于点； 连接并延长交于点． 若，，，求的长． 21.本小题分 为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动在不透明的盒子里放有张相同的卡片，分别写有材料：论语；材料：三字经；材料：弟子规；：千字文活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读赛． 小明诵读论语的概率是______； 求小明和小亮诵读两个不同材料的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程 22.本小题分 如图是某款篮球架抽象后的示意图已知于点，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点在支架上，篮板底部支架，于点，支架与所成的角． 求竖直支架的长度； 求篮板底部点到地面的距离结果保留位小数参考数据：，， 23.本小题分 为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图和所示的条形统计图和扇形统计图部分信息未给出． 请你根据以上信息解决下列问题： 参加问卷调查的学生人数为______，补全条形统计图画图并标注相应数据； 在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占______，所对应的圆心角度数是______； 若该校七年级一共有名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 24.本小题分 一次函数与反比例函数，交于点和点，过点作轴，垂足为． 求一次函数和反比例函数的解析式； 连接，求的面积； 直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的的取值范围． 25.本小题分 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． 判断直线与的位置关系．并说明理由； 若，，求的半径． 26.本小题分 如图，正方形和正方形，连接，． 【发现】当正方形绕点旋转，如图，猜想线段与之间的数量关系并说明理由； 【探究】如图，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系，并说明理由； 【应用】在的情况下，连接点在上方，如图，若，且，，求线段的长． 27.本小题分 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，． 求抛物线的表达式； 点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． 在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的倒数是． 故选：． 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：选项A、、均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】  【解析】解：亿． 故选：． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，由此进行求解即可得到答案． 本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意； 故选：． 选项A，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可； 选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断即可； 选项D、积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此判断即可． 本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：从正面看，一共有三列，小正方形的个数分别为、、． 故选：． 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6.【答案】  【解析】解：，， ， ， ． 故选：． 首先根据平行线的性质得出，再根据平角的定义求出，最后再根据三角形的外角定理可求出的度数． 此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质． 7.【答案】  【解析】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限， 点，在反比例函数的图象上，， 点在第四象限，点在第二象限， ，， ， 故选：． 先根据题意判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 【解答】 解：由题意可得， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：∽， ， 是等腰三角形，， ，即， 当时，， ， 当时，， ， 故选：． 由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论当时，当时，分别求解即可． 本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10.【答案】  【解析】【分析】 根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解答是解题的关键． 【解答】 解：如图，过点作于，连接， 根据图知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：， 当时，原式． 故答案为：． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 13.【答案】  【解析】解：二次根式有意义，则， 故的取值范围是． 故答案为：． 直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故答案为：． 设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：是正五边形的内切圆，分别切，于点，， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， 故答案为：． 由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边中线的性质得，则，然后由菱形面积公式求出，最后由勾股定理即可求出的长． 本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、菱形面积的计算、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】解：， 由得：， 由得：， ．  【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出解集． 本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分是解题的关键． 19.【答案】解： ， 当时，原式．  【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后代入求值即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 20.【答案】见解析；  ．  【解析】图形如图所示： 点在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， ， ， ． 根据要求作出图形即可； 证明可得结论． 本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21.【答案】．  ．  【解析】由题意知，共有种等可能的结果，其中小明诵读论语的结果有种， 小明诵读论语的概率为． 故答案为：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， 小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中小明诵读论语的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮诵读两个不同材料的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】竖直支架的长度为米；   篮板底部点到地面的距离约为米．  【解析】， 是直角三角形， 由勾股定理得米， 答：竖直支架的长度为米； 如图，延长交于点，过点作，垂足为， 由条件可知：米， 米， ， 四边形为矩形， ， 米， 即篮板底部点到地面的距离约为米． 在中利用勾股定理求解即可； 延长交于点，过点作，垂足为，先在中利用三角函数求出，即可求出，证明四边形为矩形，得出，利用线段的和差即可求解． 本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练根据题意作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23.【答案】；图象见解析；   ，；   选择“创客”和“人工智能”课程的学生分别有人和人．  【解析】解：由题知， 问卷调查的学生中选择“无人机”课程的学生人数为，且所占百分比为， 所以名， 即问卷调查的学生人数为名， 选择“人工智能”课程的学生人数为：名， 条形统计图，如图所示， 故答案为：； ， ， 即选择“航模”课程的学生占，所对应的圆心角度数为． 故答案为：，； 人， 人， 答：选择“创客”和“人工智能”课程的学生分别有人和人． 根据所抽取的样本内选择“无人机”的人数及所占百分比即可解决问题； 根据中计算的结果即可解决问题； 先求出样本内选择“创客”和“人工智能”课程的学生所占比例，再结合全校的七年级人数即可解决问题． 本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，熟知条形统计图和扇形统计图的特征及如何利用样本估测总体是解题的关键． 24.【答案】解：把点代入，得： ， 解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得：， 点， 把点，点代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； 点，轴， ， 的面积为； 观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的的取值范围为或．  【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； 求出，再根据三角形的面积公式求出即可； 直接观察图象，即可求解． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积，熟知以上知识是解题的关键． 25.【答案】解：与相切，理由： 如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； 由知，， ， ， 在中，， ，， ∽， ， ， ， ， ， 的半径为．  【解析】与相切，理由：连接，先判断出，再根据，判断出，即可得出结论； 先判断出，进而得出，再判断出∽，得出，求出，，即可得出结论． 此题是主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键． 26.【答案】，，理由见解析；   ，，理由见解析；   ．  【解析】，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ≌， ； 如图，延长交于，交于， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ，； ，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，； 如图，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图， ， 在中，根据勾股定理得，， 由知，∽， ， ， ． 先判断出≌，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； 先利用两边对应成比例夹角相等判断出∽，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； 先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助得出的相似，即可得出结论． 此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明≌和∽是解本题的关键，属于中考常考题型． 27.【答案】；   当时，最大值为，；   或  【解析】抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的表达式；． 当时，， ，， ， 设直线的解析式为， 由图象得，， ， 直线的解析式为：， 过作于点， 设，， ， ，， ， 当时，最大值为， ， ； 设，则，，， 当时，则， ， 解得或舍去， ； 当时，则， ， 解得， ； 当时，则， ， 解得，不合题意舍去， 故此种情况不存在； 综上，当点坐标为或时，是直角三角形． 直接根据待定系数法进行求解即可； 首先得点，待定系数法得直线的解析式为：，过点作于，设，，利用面积公式可得答案． 设出断坐标，利用两点距离公式分别表示出、、，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$