2025年江苏省南京市金陵河西学校中考数学模拟试卷（三）

2025年江苏省南京市金陵河西学校中考数学模拟试卷（三） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.人体中红细胞的直径约为用科学记数法表示是 A. B. C. D. 2.下列各式中，一定能成立的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，，在同一直线上时，电线杆就垂直于工程人员这种操作方法的依据是(    ) A. 等边对等角 B. 等腰三角形“三线合一” C. 垂线段最短 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 4.验光师检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了(    ) A. B. C. D. 5.九章算术中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.四边形具有不稳定性对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形连接，若，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.的算术平方根是______． 8.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 9.计算： ______． 10.实数，满足，则 ______． 11.方程的解为______． 12.淇淇是一名天文爱好者，他统计了场流星雨的最大天顶流量单位：颗小时的数据，分别为，，，，，，，这场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是______． 13.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______． 14.如图，内接于，若，，则的度数是______． 15.如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 16.如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 18.本小题分 计算： 19.本小题分 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点、，其中． 求，的值： 求点的坐标，并写出时，的取值范围． 20.本小题分 某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将人分配到同一车厢同一排的，，，四个座位，示意图如图所示． 窗 过道 窗 若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到座位的概率为______； 若甲员工先坐在座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率注：过道两侧座位，不算相邻 21.本小题分 如图，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点求证：四边形是平行四边形． 如图，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点求证：四边形是平行四边形． 22.本小题分 人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战阅读以下统计图并回答问题． 年，全国老年人口约为______亿精确到； 年间，全国人口增长最快的时间段是______填序号； ；；． 请结合图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 23.本小题分 如图，在中，，为的角平分线，交于点，经过、、三点的与交于点，过点作交于点，交线段、分别于点、，连接． 求证：是的切线； 当，时，求的半径及的长． 24.本小题分 如果一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做两个圆的公切线如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线，如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线． 如图，已知与，求作与的一条外公切线，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 25.本小题分 如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图是小床支撑脚折叠的示意图，此时，点，，在同一直线上，且在折叠过程中，会先变形为四边形点，分别处在点，，继续折叠后会形成一条线段点，分别处在点，，且线段与共线已知，． 求的长度； 小床折叠过程中，如图，当时，求的值． 26.本小题分 已知抛物线的对称轴为直线． 若点在抛物线上，求的值； 若点，在抛物线上， 当时，求的取值范围； 若，且，直接写出的取值范围． 27.本小题分 如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点落在原矩形所在平面的点处． 问题解决： 如图，若点在线段上，延长交于点，求证：为等边三角形； 如图，若点在线段上，求的值； 矩形中，，，直线交的延长线于点若，求线段的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：． 故选：． 绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 2.【答案】  【解析】解：、，故A符合题意； B、当时没有意义，故B不符合题意； C、当时，，故C不符合题意； D、当时，，故D不符合题意； 故选：． 利二次根式的化简的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行运算即可． 本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3.【答案】  【解析】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：． 根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了度， 故选：． 由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：根据题意可得：， 故选：． 根据题意结合勾股定理列出方程即可． 本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：过点作于，过点作于，过点作交的延长线于，如下图所示： 四边形为正方形， ，， 改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形， ， 四边形为菱形， ， 在中，，， ， 即， ， 由勾股定理得：， ，，， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 又， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 故选：． 过点作于，过点作于，过点作交的延长线于，依题意得四边形为菱形，先求出，，再证明和全等得，，证明四边形为矩形得，，则，然后再由勾股定理即可求出的长． 此题主要考查了四边形的不稳定性，正方形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，理解四边形的不稳定性，正方形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角函数及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查算术平方根，解题的关键是明确算术平方根的计算方法．先将题目中的式子化简，然后根据算术平方根的计算方法即可解答本题． 【解答】 解：，的算术平方根是， 故答案为． 8.【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 9.【答案】  【解析】原式． 10.【答案】  【解析】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， ， ， 故答案为：． 设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法． 11.【答案】  【解析】解：原方程去分母得， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：出现次数最多，因此这场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是． 故答案为：． 根据众数是指一组数据中出现次数最多的数，进行解答即可． 本题主要考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义，是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题． 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ∽， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 作于点，于点，由正方形的性质得，，由翻折得，，，，所以，则，求得，可证明，，∽，则，所以，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，如图， 是的中点， ． 四边形是的菱形， ． ． 在和中， ， ≌． ． ，， ． ． 同理：≌， ，． 连接， 四边形是的菱形， ，． 为等边三角形， 为的中点， ． 是的垂直平分线． ． 为上一点， ． 当点与点重合时，的值最小为． ， 的最小值为． 故答案为：． 分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，通过证明≌得到为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到；连接，可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一得到，利用线段垂直平分线的性质得到，这样，根据三角形任意两边之和大于第三边，得到，则的值最小为． 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意将转化为三角形两边之和大于第三边的情形是解题的关键． 17.【答案】解：， 由得，， 由得，， 故此不等式的解集为． 在数轴上表示为：．  【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 18.【答案】解：原式 ．  【解析】先将被除式分母因式分解、计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，约分即可得． 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 19.【答案】解：点在的图象上， ， 解得． 把代入得，， 解得． ，是两个函数图象的交点， ， 解得或， ． 当时，的取值范围为．  【解析】由点在的图象上，得到，求得根据点在的图象上，解方程即可得到结论． 根据题意列方程组即可得到结论． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正确地理解题意是解题的关键． 20.【答案】．  ．  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中甲员工坐到座位的结果有种， 甲员工坐到座位的概率为． 故答案为：． 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中乙，丙两个员工相邻而坐的结果有：，，共种， 乙，丙两个员工相邻而坐的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中甲员工坐到座位的结果有种，利用概率公式可得答案． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及乙，丙两个员工相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】证明见解析；   证明见解析．  【解析】证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， 、是对角线的三等分点， ， ， 即， 四边形是平行四边形； 如图，连接交于点，连接，， 、是对角线的三等分点， ， 是的中点， 是的中位线， ， 同理， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 即， 四边形是平行四边形． 连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； 连接交于点，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】； ； 由统计图可知，我国人口老龄化逐年增长；全国老年人口达到：亿．  【解析】解：由折线统计图可知，年，全国老年人口约为：亿． 故答案为：； 由条形统计图可知，年间，全国人口增长最快的时间段是，增速为． 故答案为：； 由统计图可知，我国人口老龄化逐年增长；全国老年人口达到：亿． 根据条折线统计图和条形统计图数据解答即可； 根据条形统计图数据判断即可； 根据折线统计图信息解答即可． 本题考查条形统计图和折线统计图，解题的关键是根据统计图正确获取信息． 23.【答案】证明：连接，如图， ， ， 为圆的直径，为圆心， 为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； 解：连接，交于点，如图， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，，，， ， ∽， ， ，， ， ． 为圆的直径， ， ， ， ∽， ， ， ． ， ， ， ． ，， ∽， ， ， ． 答：的半径为，的长为．  【解析】连接，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定定理和圆的切线的判定定理解答即可； 连接，交于点，利用平行线的性质定理，圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，则，设，则，利用勾股定理即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理分别求得线段，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 24.【答案】详见解析．  【解析】解：如图：直线即为所求 文字说明：分别作两个圆的两条平行的半径，， 分别连接，并延长相交于点， 以为直径作圆交于点， 作直线交圆于点， 则直线即为所求． 分别作两个圆的两条平行的半径，，分别连接，并延长相交于点，以为直径作圆交于点，作直线交圆于点． 本题主要考查了切线的性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】解：设，则． 由题意可得，，，． 在中，可得． 解得：． 的长度为； 如图，连接，过点作于点． 在中，可求得． 设． 由，可得 ． 解得，． 在中，可求得． ．  【解析】根据题意表示各线段的长，进而利用勾股定理计算出的长即可； 根据题意作出图，连接，过点作于点由勾股定理求出，设，通过勾股定理列出方程，求得，进而求出结果． 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程． 26.【答案】解：将点代入抛物线表达式得：， 则， 则； 当时，， 则抛物线的表达式为：， 当时，抛物线的顶点在之下， 即， 解得：； 当时，抛物线的顶点在之上， 即， 解得：， 故或； 将点、代入抛物线表达式得： ，， 则，而， 则， ， 则， ， 则， 则， 则， 故．  【解析】将点代入抛物线表达式得：，则，即可求解； 当时，抛物线的顶点在之下，即，即可求解；当时，抛物线的顶点在之上，同理可解；  将点、代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解． 本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． 27.【答案】解：四边形为矩形， ，， ， 由折叠得到， ≌， ，， ， ， 由题意可知，，， ， ， ， 是等边三角形； 设交于点， ，则， 由折叠得到， ≌， ，，， ， ， ， ， ∽， ，， ， ， ， ， 的值为； 记直线交边于点， 由，可得∽， ， 设，则，， 同可得， ， 在中，， ， 解得舍去，， ， 线段的长为．  【解析】根据矩形的性质和由折叠得到，进而推出，由，进而推出是等边三角形．； 设交于点，，则，由折叠得到，≌，，根据∽，，，，； 记直线交边于点，先推出∽，设，则，， 同可得，，，解得，，作答即可． 本题考查矩形综合题，三角形相似，折叠性质，三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$