精品解析：宁夏银川市第三十八中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试

银川市第三十八中学2024-2025第二学期 八年级数学学科期中检测试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 4. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（    ） A. 三角形的三条中线的交点处 B. 三角形的三条角平分线的交点处 C. 三角形的三条垂直平分线的交点处 D. 三角形的三条高线的交点处 6. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线：与直线：交于点，且直线与轴，轴分别相交于点、，则下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解为 C. 关于的不等式的解集为 D. 关于的方程组的解为 8. 如图，在中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③≌；④平分．其中正确的结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. “的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为_______． 10. 如图，平面直角坐标系中，线段端点坐标分别为，若将线段平移至线段，A点的对应点为，且，则的值为 _____． 11. 关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为_______． 12. 如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 13. 如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为______． 14. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，与神舟十八号乘组完成在轨轮换，再次创下我国载人航天的新纪录，为进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，则至少应选对______道题才能得奖． 15. 若不等式组有解，则a的取值范围是______． 16. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； （2）关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； （3）求的面积． 19. 计算： 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：解不等式组：． 20. 如图，已知等腰三角形中，，． （1）利用直尺、圆规，求作的垂直平分线，交于点、交于点（不要求写出作法，但要求保留作图痕迹）； （2）连接，求证：是等腰三角形． 21. 如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集________ 22. 在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D，使得，，然后他将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，探究以下问题． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、解答题（本题共4小题，23、24每小题8分，25、26每小题10分，共36分） 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 24. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 25. 四边形中，，平分． （1）如图1，若，E是的中点，求证：平分； （2）如图2，若平分，求证：E是的中点； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 26. 阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三十八中学2024-2025第二学期 八年级数学学科期中检测试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意； 故选D． 3. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 4. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A、，是整式的乘法运算，不是因式分解，本选项不符合题意； B、，利用平方差公式因式分解，本选项符合题意； C、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； D、，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（    ） A. 三角形的三条中线的交点处 B. 三角形的三条角平分线的交点处 C. 三角形的三条垂直平分线的交点处 D. 三角形的三条高线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到三个种植区的距离相等， ∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处． 故选：C． 6. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 7. 如图，已知直线：与直线：交于点，且直线与轴，轴分别相交于点、，则下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解为 C. 关于的不等式的解集为 D. 关于的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程，二元一次方程组，不等式的关系，根据两条直线的交点坐标，一次函数于坐标轴的交点坐标逐项求解判断即可． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别相交于点、， ∴将代入得，，故A正确，不符合题意； ∴当时， ∴关于的方程的解为，故B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，直线：在x轴上方 ∴关于的不等式的解集为，故C错误，符合题意； ∵直线：与直线：交于点 ∴关于的方程组的解为，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③≌；④平分．其中正确的结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边对等角，角平分线的判定，平行线的判定．首先证明和全等，推出①④正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出②正确，根据与不一定相等，则和不一定全等，推出④错误． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①正确； ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∴ ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴和不一定全等，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. “的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，找准不等量关系是解题关键．根据倍、差、不小于的定义列出不等式即可得． 【详解】解：“的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为， 故答案为：． 10. 如图，平面直角坐标系中，线段端点坐标分别为，若将线段平移至线段，A点的对应点为，且，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后点的坐标判断出平移方式为向右平移8个单位长度，再向上平移4个单位长度，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：由平移前后点的坐标可知，平移方式为向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 则，， 解得：，， 故． 故答案为：8． 12. 如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴， 梯形的面积等于梯形的面积， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为______． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线作图及其性质，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据等腰三角形性质得到，，再结合垂直平分线作图及其性质，以及三角形外角性质得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：，， ，， 由作图过程可知，为的垂直平分线， ， ， 则， 即有， ， 故答案为：． 14. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，与神舟十八号乘组完成在轨轮换，再次创下我国载人航天的新纪录，为进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，则至少应选对______道题才能得奖． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解∶设应选对道题才能得奖， 根据题意得∶， 解得∶， ∵为整数， ∴的最小值为19， ∴至少应选对19道题才能得奖， 故答案为∶19． 15. 若不等式组有解，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出进而发现规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案是：． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先提出公因式，根据，即可； （2）先把变形为，然后提公因式，即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键熟练掌握应用因式分解的方法． 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； （2）关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示； （2） 如图所示； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形． （1）根据平移作图即可； （2）根据对称作图即可，根据图像即可得到坐标； （3）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知：坐标为； 【小问3详解】 解：， ∴的面积为． 19. 计算： 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：解不等式组：． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式组，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 任务一：根据解不等式的方法作答即可； 任务二：解各不等式求得的取值范围后取它们的公共部分即可． 【详解】任务一：解：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：①乘法分配律；②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为． 20. 如图，已知等腰三角形中，，． （1）利用直尺、圆规，求作的垂直平分线，交于点、交于点（不要求写出作法，但要求保留作图痕迹）； （2）连接，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 证明：直线为线段的垂直平分线， ， ． ，， ， ． ，， 即， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则．结合等腰三角形的性质可得，则，进而可得， ，即，则是等腰三角形． 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集________ 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及三角形面积求法，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入正比例函数可求，将代入一次函数，可求的值； （2）利用三角形面积求法得出答案； （3）根据交点坐标可求不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入正比例函数得， 解得， 将代入一次函数得， 解得； 【小问2详解】 解：因为 所以 因为 所以的面积为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 22. 在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D，使得，，然后他将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，探究以下问题． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的判定方法是解题的关键． （1）先利用旋转的性质和等边三角形的性质判断出是等边三角形即可； （2）先证明，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长度，即求出的长度，再用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 四、解答题（本题共4小题，23、24每小题8分，25、26每小题10分，共36分） 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【答案】（1）篮球购买40个，足球购买20个 （2）篮球最多能买24个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买篮球x个，则购买足球个，根据题意可列出关于x的等式，解之即可； （2）设篮球最多能买个，则购买足球个，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，求出y的解集，再根据y为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设购买篮球x个，则购买足球个， 根据题意有：， 解得：， 个， 答：篮球购买40个，足球购买20个； 【小问2详解】 解：设篮球最多能买个，则购买足球个， 根据题意有：， 解得：， 因为y为整数， 所以篮球最多能买24个． 24. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 【解析】 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 四边形中，，平分． （1）如图1，若，E是的中点，求证：平分； （2）如图2，若平分，求证：E是的中点； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，过点E作，垂足为F， ， ， ， ， ，， 平分，，， ， ，， 平分； （2） 证明：如图2，延长相交于点F， 平分，平分， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的中点； （3）60 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论； （2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论； （3）证明，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26. 阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1）， 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 猜想与发现：， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $