精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期7月月考数学试题

辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期7月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 120种 D. 72种 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 直三棱柱中，，，则与所成角的大小为（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（ ） A B. C. D. 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 11. 公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中最大 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是______. －1 0 1 13. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 14. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为的中点. （1）求证:平面； （2）求证:； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满足. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 （1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； （2）从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； （3）用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限． （1）求点横坐标的取值范围； （2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期7月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简可得，进而可得复数的模. 【详解】， 则， 故选：C. 2. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得． 【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： ． 故选：D． 3. 现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 120种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】将捆绑在一起，看成一个整体，与进行全排列，产生4个空，然后去插空，再根据分步乘法原理可求得结果. 【详解】将捆绑在一起，看成一个整体，与进行全排列，有种排法， 排完后有4个空，用去插这4个空，有种方法， 由分步乘法原理可知共有种排列方式. 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得. 【详解】由， 有， 可得 ． 故选：A． 5. 直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】由向量法求出即可求解. 【详解】由题意可知和两两垂直， 所以， 又，， 所以， 且，， 所以， 所以与所成的角的余弦值为，故与所成的角的大小为. 故选：C. 6. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 7. 已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】解法一：不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 解法二：由题意将原不等式变形可得， 即，令，则有，即 因为，所以有对于任意的恒成立， 令，则 因为，且当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取极大值，也是的最大值 所以 又因为，所以 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1、构造，原不等式恒成立转化为有成立； 2、由导数知在使得，此时保证即原不等式恒成立； 3、由上得，构造讨论单调性，求得的值域. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据单增则，单减则可判断. 【详解】由图像可知，在上单调递增，则在上，故C、D选项的图象不可能是的图象；在上先减后增再减，则先负后正再负，故A选项的图象不可能是的图象，B选项的图象可能是的图象. 故选：ACD 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 11. 公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】AD 【解析】 分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答. 【详解】由，得， 又，得，， 所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数， 等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误；前6项和最大，C选项错误； 由，，有，则，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分布列如表，设，则的数学期望的值是______. －1 0 1 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于的等式，解出的值，算出的期望，根据与之间期望的关系，即可求出结果． 【详解】由已知得 ， ∴， ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列性质和期望，本题属于基础题． 13. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为 14. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的几何特征，分别求出和平面、平面以及平面的交线及其长度，相加即可得解. 【详解】 根据题意，如图则以点为球心､1为半径的球， 和平面、平面的交线为以A为圆心，1为半径的圆弧， 根据正三棱柱的性质，作中点， 易知平面， 故球与平面的交线为以为圆心，为直径的半圆， 所以总长为， 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可； （2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可. 【小问1详解】 设数列的公差为d，依题意：成等比数列， 所以，解得：或 当时，，当时， 所以数列的通项公式为或 【小问2详解】 因为等差数列的公差不为零，由（1）知 则 所以，故 而随n增大而增大，则，故成立 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为的中点. （1）求证:平面； （2）求证:； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，得到平面； （2）由得到平面，故，由（1）知，，所以； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的正弦公式求出答案. 【小问1详解】 连接，因为分别为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 直三棱柱中，为直角， 故， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，， 所以； 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 侧面为正方形，， 故， 设平面法向量为， 则， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 17. 在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满足. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得，进而得到； （2）在中利用余弦定理可求得，从而求得，由平面向量数量积的定义可计算求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：， ，， 又，，， ，，， ，解得：. （2），，为等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理得：，解得： ，，， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值. 18. 目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 （1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； （2）从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； （3）用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能 （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由题意直接确定列联表，计算，对比数据即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，可能取值为0，1，2，3，根据二项分布对应的概率，即可求分布列. 【小问1详解】 被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为. 偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为， 所以2×2列联表为： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 300 女性市民 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关. 【小问2详解】 因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为， 所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人， 设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B， 则，， 所以. 【小问3详解】 根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为， 偏好铅酸电池电动车的概率为， 参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 19. 已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限． （1）求点横坐标的取值范围； （2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，根据向量定比分点公式，将坐标代入双曲线，用表示出，求的取值范围即可. （2）根据，用表示出，求出其值即可. 【小问1详解】 由双曲线即可得交点， 设，则， 根据向量定比分点公式：， 将坐标代入双曲线得：， 两式相减得： 则有：，再结合，解得， 故． 【小问2详解】 由可得， 在上则有 ，将代入， ， 根据双曲线的定义，， 显然， ， ， 则，当且仅当时取等号， 故为． 【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $