第08讲 从有理数到实数 （知识清单+8大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第08讲 从有理数到实数 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 无理数整数部分的有关计算 题型四 实数概念理解 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 知识清单 知识点1．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点2．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点3．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点4．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点5．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点6．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 题型练习 【题型一】无理数 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据有理数、无理数的定义判断即可．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、2是有理数，故此选项不符合题意； D、0是有理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查的是有理数和无理数的定义，根据无理数的定义判断出正确答案即可． 【详解】解：在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数为，，（相邻两个6之间依次增加一个2），所以有3个 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③﹣2，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 【答案】②④⑤⑦ 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数， 根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：无理数的有，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）， 有理数有. 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）把下列各数的序号填在相应的数集内： ①；②；③；④；⑤：⑥． (1)整数集合{_______}； (2)分数集合{_______}； (3)无理数集合{_______}． 【答案】(1)①③ (2)②⑤ (3)④⑥ 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的概念是关键． （1）直接找到整数，即可作答； （2）直接找到分数，即可作答； （3）根据无限不循环小数是无理数进行作答即可． 【详解】（1）解：①，③是整数， 整数集合{①，③}； 故答案为：①，③； （2）解：②，⑤是分数， 分数集合{②，⑤}； 故答案为：； （3）解：④，⑥是无理数， 无理数集合{④，⑥}． 故答案为：． 【题型二】无理数的大小估算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据逼近法估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理的大小估算，掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算，可知，求算术平方根即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题关键．先估算出的范围，得到，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：， ， 为正整数，， ， ， ， ， ， 为正整数， 的最大值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据题意可得到为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到的相邻区间，得到的值，从而得到的结果； （3）先求出的相邻区间，得到的相邻区间，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为的“相邻区间”； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴的“相邻区间”是， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【题型三】无理数整数部分的有关计算 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）设为的整数部分，则的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，判定出无理数在某两个连续整数之间是解题的关键．估算出，即可得出的整数部分． 【详解】解：， ， 的整数部分是3， 即， 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算的取值范围，然后进行计算比较即可，能够掌握无理数估算的方法，正确估算出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴最接近的整数， 故选：． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，代数式求值，先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ， 的小数部分， ， ， 的小数部分， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下面的材料，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请根据材料解答： (1)的整数部分是____，小数部分是____； (2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，请求出的值． 【答案】(1)5， (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算． （1）根据题干给出的估算方法，进行求解即可； （2）先估算出的值，再代入代数式计算即可． 熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； 故答案为：5，； （2）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【题型四】实数概念理解 【例4】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）下列实数是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、实数概念理解 【分析】根据无理数的概念及算术平方根可进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴选项中的实数是无理数的是； 故选D． 【点睛】本题主要考查无理数、算术平方根及实数的概念，熟练掌握无理数、算术平方根及实数的概念是解题的关键． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【知识点】实数概念理解、求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 2． 下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【知识点】无理数、相反数的定义、实数的分类、实数概念理解 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 3．（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【知识点】无理数、有理数的定义、实数概念理解 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【题型五】实数的分类 【例5】（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数9.3，，，中，属于整数的是（    ） A．9.3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据整数的概念解答即可． 【详解】解：是无理数，不是整数， 所以，在实数9.3，，，中，属于整数的是， 故选：B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于0的表述，不正确的是（　　） A．0是自然数 B．相反数是本身的数只有0 C．0的平方根是本身 D．0既不是有理数也不是无理数 【答案】D 【知识点】0的意义、实数的分类 【分析】本题主要考查了有理数与无理数的定义，相反数和平方根的定义，分别根据有理数和无理数的定义和分类，相反数的定义以及平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．0是自然数，说法正确，故本选项不符合题意； B．相反数是本身的数只有0，说法正确，故本选项不符合题意； C．0的平方根是本身，说法正确，故本选项不符合题意； D．0是有理数不是无理数，原来的说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 【答案】②④；③⑥；①⑤ 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据正整数、、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环小数叫做无理数，进而判断每一个数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤． 故答案为：②④；③⑥；①⑤． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥(两个之间依次多一个)． 属于整数的有：__________________________________________ 属于负数的有：________________________________________________ 属于无理数的有：_________________________________________________ 【答案】，， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 有理数和无理数统称实数，据此进行分类即可． 【详解】解：属于整数的有：， 属于负数的有：， 属于无理数的有：， 故答案为：，，． 【题型六】实数的性质 【例6】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果表示实数，那么的值（　　） A．不可能是负数 B．可能是零或者负数 C．必定是零 D．必定是正数 【答案】A 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了绝对值，分类讨论的范围确定出原式的值即可，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 如果表示实数，那么的值不可能是负数， 故选：A． 【举一反三】 1．（2022七年级上·浙江·专题练习）实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．﹣5 【答案】D 【知识点】实数的性质、实数的大小比较 【分析】根据绝对值的性质以及正实数和0的大小比较即可求解． 【详解】∵且， ∴所给的几个数中，绝对值最大的数是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握． 2．（2023七年级上·浙江·专题练习）绝对值是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解；的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 【题型七】实数与数轴 【例7】（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】此题考查了实数与数轴、实数的大小比较，根据数轴上点的位置确定a和的取值范围，再根据得b的取值范围，最后根据选项判断即可. 【详解】解：根据数轴可知，， 所以. 因为， 所以， 由选项可知，b的值可以是. 故答案为：A. 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4， ∴小正方形的面积为2， ∴小正方形的边长为， ∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点， ∴点所表示的数是， 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B到原点的距离，求出点B表示的数，然后分两种情况：当点B在点A右侧时和当点B在点A左侧时，利用两点间的距离公式，求出和，进行解答即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为， ∴点B表示的数是， 当点B在点A右侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数为， ∴， ∵点B，C到点A的距离相等， ∴， ∴当点B表示的数是时，点C表示的数是：； 当点B在点A左侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数是， ∴， ∴， 点C表示的数是， 综上可知：点C表示的数为：或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，并用“”连接． 【答案】数轴表示各数见解析， 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数大小比较和数轴，先在数轴上表示各点，再按数轴上左边的数总比右边的数小进行排序即可． 【详解】解：， 在数轴上表示各数如下： ． 【题型八】实数的大小比较 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列选项中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．多个数比较大小的时候，可以把它们表示在数轴上，利用数轴上右边的数比左边的数大比较. 【详解】解：把、、、表示在数轴上， 由数轴可知：， 最小的数是：． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据实数大小比较的方法比较即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习），，，这四个数中，最小的数是 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 先化简，，，再根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：，， ， ， 最小的数是：． 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． 【答案】(1)＜ (2)＞ 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小比较，正确掌握实数丝袜大小的方法是解题的关键． （１）首先得出，进而比较得出答案； （２）直接利用负数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：＜； （2）解：∵， ∴． 故答案为：＞． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数中，为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】A、是无理数，符合题意； B、小数点后的是无限循环的，则是有理数，不符题意； C、0是整数，属于有理数，不符题意； D、是有理数，不符题意, 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键． 2．在下列各数：0，，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：0，，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，共4个， 故选：D． 3．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数都大于负数， ∴最小的数为-22， 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 4．若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估计的整数部分和小数部分，然后即可判断的近似值． 【详解】解：， ， 即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握一个无理数和一个有理数组成的无理数找范围时，应先找到带根号的数的范围． 5．如图，数轴上的无理数被挡住了，则的相反数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的位置可判断a的相反数的位置，然后根据无理数的估算可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴的相反数是． 故选B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 7．实数，，，，，中，无理数的个数是（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数分类、无理数的性质，对各个实数逐个分析，即可得到答案． 【详解】实数，，，，，中，无理数为：、、，共3个； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了实数分类的知识；解题的关键是熟练掌握实数分类、无理数的性质，从而完成求解． 8．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键． 根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可． 【详解】解：， a与b异号， 由数轴上观察可知：, ， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， C点由可能是原点． 故选：C． 9．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项． 10．如图，若，则的值所对应的点可能落在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】先将a的值代入代数式计算出得数，然后再在数轴上找到对应的点即可． 【详解】解：将代入得： ， ∵，且接近1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查求代数式的值、数轴上的点与实数的对应等知识点，熟练掌握数轴与实数一一对应的关系是关键． 二、填空题 11．在，，3.14，中，其中无理数有 个． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的定义，带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：，是无理数， 故答案为：2． 12．在，，，…，中，共有 个有理数． 【答案】 【分析】在这组数据中，找出完全平方数即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴在，，，…，中，共有个有理数， 故答案为． 【点睛】本题考查了算术平方根，完全平方数，正确找出完全平方数是解题的关键． 13．比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 【答案】 【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键． 14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可． 【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：． 与C重合的点表示的数：． 第二次折叠，折叠点表示的数为：或． 此时与数轴上的点C重合的点表示的数为： 或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 15．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示0的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 16．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】 ，，，， ， ，， ，，，（相邻两个之间的逐次加） ，， 【分析】本题考查实数的分类， （1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可； 解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，，负有理数． 【详解】解：，，， （1）整数集合：{，，，，，}， 故答案为：，，，，； （2）正分数集合：{，，}， 故答案为：，； （3）负有理数集合：{，，，}， 故答案为：，，； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个之间的逐次加），}， 故答案为：，，，（相邻两个之间的逐次加）； （5）非负整数集合：{，，，}， 故答案为：，，． 三、解答题 17．通过估算，比较大小：和2.6 【答案】＞2.6 【详解】解：因为≈2．646，所以＞2.6 18．求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 19．把下列各数分别填入所属的集合中： －3.14159，，，，，，，－3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1）． （1）有理数{          …}； （2）无理数{           …}； （3）正实数{          …}； （4）负实数{          …}． 【答案】（1）-3.14159，，，，；（2），，-3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1）；（3），，，；（4）-3.14159，，，-3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1） 【分析】（1）由题意直接利用有理数的定义对下列各数进行判断填入即可； （2）由题意直接利用无理数的定义对下列各数进行判断填入即可； （3）由题意直接利用正实数的定义对下列各数进行判断填入即可； （4）由题意直接利用负实数的定义对下列各数进行判断填入即可． 【详解】解：（1）有理数{-3.14159，，，，，…}； （2）无理数{，，-3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1），…}； （3）正实数{，，，，…}； （4）负实数{-3.14159，，，-3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1），…}． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的定义及分类的标准是解题的关键． 20．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查实数与数轴，在数轴上准确的表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 【详解】解：将，，，． 在数轴上表示如图： 由图可知：． 21．比较下列各组数的大小： （1），； （2）1.414，； （3），0.66667． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先化简，根据正数的大小比较法则解答； （2）先比较与2的大小关系，即可得到答案； （3）先将化为小数，与0.66667相比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵，， ∴． 【点睛】此题考查实数的大小比较，正确掌握大小比较法则，以及进行化简绝对值，分数化为小数，乘方计算是解题的关键． 22．已知a，b分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据夹逼法得到所在整数之间的位置，即可得到所在整数之间的位置，即可得到答案； （2）根据（1）代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵a，b分别是的整数部分和小数部分， ∴，； （2）解：由（1）得， ； 【点睛】本题考查根数整数部分与小数部分有关解法，解题的关键是夹逼法． 23．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和；      （2）和． 【答案】（1）；（2） 【分析】通过比较被开方数来比较二次根式的大小． 【详解】（1）∵ ∴，即 （2）∵ ∵ ∴，即． 【点睛】本题考查二次根式比较大小的知识，熟练求解二次根式的被开方数是解题的关键． 24．把下列各数分别填在相应的集合中． ，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                              …}； (2)无理数集合：{                              …}； (3)正实数集合：{                              …}； (4)负实数集合：{                              …}． 【答案】(1)，，，， (2)，， (3)，，，， (4)，， 【分析】（1）先化简，，再根据有理数的含义作答即可； （2）根据无理数的概念作答即可； （3）根据正实数包括正有理数与正无理数作答即可； （4）根据负实数包括负有理数与负无理数作答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：{ ，，，，，…} （2）无理数集合：{，，，…} （3）正实数集合：{ ，，，，，…} （4）负实数集合：{，，，…} 【点睛】本题考查的是实数的分类，立方根与算术平方根的含义，熟记实数的分类是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 从有理数到实数 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 无理数整数部分的有关计算 题型四 实数概念理解 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 知识清单 知识点1．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点2．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点3．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点4．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点5．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点6．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 题型练习 【题型一】无理数 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．2 D．0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③﹣2，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）把下列各数的序号填在相应的数集内： ①；②；③；④；⑤：⑥． (1)整数集合{_______}； (2)分数集合{_______}； (3)无理数集合{_______}． 【题型二】无理数的大小估算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【题型三】无理数整数部分的有关计算 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）设为的整数部分，则的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下面的材料，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请根据材料解答： (1)的整数部分是____，小数部分是____； (2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，请求出的值． 【题型四】实数概念理解 【例4】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）下列实数是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 2． 下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 3．（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【题型五】实数的分类 【例5】（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数9.3，，，中，属于整数的是（    ） A．9.3 B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于0的表述，不正确的是（　　） A．0是自然数 B．相反数是本身的数只有0 C．0的平方根是本身 D．0既不是有理数也不是无理数 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥(两个之间依次多一个)． 属于整数的有：__________________________________________ 属于负数的有：________________________________________________ 属于无理数的有：_________________________________________________ 【题型六】实数的性质 【例6】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果表示实数，那么的值（　　） A．不可能是负数 B．可能是零或者负数 C．必定是零 D．必定是正数 【举一反三】 1．（2022七年级上·浙江·专题练习）实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．﹣5 2．（2023七年级上·浙江·专题练习）绝对值是 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 【题型七】实数与数轴 【例7】（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　） A． B． C． D．3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，并用“”连接． 【题型八】实数的大小比较 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列选项中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习），，，这四个数中，最小的数是 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数中，为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．在下列各数：0，，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的无理数被挡住了，则的相反数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．实数，，，，，中，无理数的个数是（    ）个． A． B． C． D． 8．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 10．如图，若，则的值所对应的点可能落在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 二、填空题 11．在，，3.14，中，其中无理数有 个． 12．在，，，…，中，共有 个有理数． 13．比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是 ． 15．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示0的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留） 16．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 三、解答题 17．通过估算，比较大小：和2.6 18．求下列各数的绝对值： ，，，，． 19．把下列各数分别填入所属的集合中： －3.14159，，，，，，，－3.747747774…（相邻两个4之间7的个数逐次加1）． （1）有理数{          …}； （2）无理数{           …}； （3）正实数{          …}； （4）负实数{          …}． 20．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 21．比较下列各组数的大小： （1），； （2）1.414，； （3），0.66667． 22．已知a，b分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出a，b的值； (2)求的值． 23．比较下列各组数中两个数的大小． （1）和；      （2）和． 24．把下列各数分别填在相应的集合中． ，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                              …}； (2)无理数集合：{                              …}； (3)正实数集合：{                              …}； (4)负实数集合：{                              …}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$