福建省福州市长乐区夏威实验学校2024—2025学年下学期八年级第二次月考数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐区夏威实验学校八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 2.在中，若，，则c的值是(    ) A. 10 B. C. D. 3.在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是(    ) A. BC B. BA C. BD D. CD 4.直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是(    ) A. B. C. D. 5.方程的根的情况是(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 6.为迎接建党一百周年，某班开展“我最想看的红色电影”投票活动，参选的五部电影的得票数分别是9，10，11，11，8，则这组得票数据的中位数，众数分别是(    ) A. 10，11 B. 11，10 C. 11，11 D. ，11 7.若一次函数的图象从左向右下降，则k的值可以是(    ) A. 1 B. C. D. 0 8.在▱ABCD中，AC，BD交于点O，设，，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 四边形ABCD是菱形 D. 四边形ABCD是矩形 9.已知，是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将沿直线BE翻折至，延长EF交CD于点G，则CG的长度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.化简：______. 12.在中，D，E分别是边AB，BC的中点，若，则DE的长是______. 13.若a是方程的一个根，则的值是______. 14.已知关于x的不等式的解集为，则直线不经过的象限______. 15.若一组数据的方差为，则这组数据的众数为______. 16.如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，，，过点D作线段轴，垂足为B，直线AB与直线交于点A，且，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则Q点的坐标是______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题9分 解方程： ； 18.本小题9分 数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.求这根芦苇的长度. 19.本小题9分 如图，直线：与直线：相交于点 求点P的坐标； 根据图象，求出当时，x的取值范围. 20.本小题9分 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将平移到，已知，， 求证：四边形OCED是矩形． 21.本小题9分 关于x的方程 求证：方程恒有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根为1，求m的值． 22.本小题9分 每年的3月15日是“全国反诈骗宣传日”，旨在提高人们的防范意识.为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的问答活动.现从A，B小区参加这次问答活动居民的成绩中随机各抽取20个数据，并分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 信息一：A小区参加问答活动的20名居民成绩的频数分布直方图如下数据分成5组：，，，，； 信息二：A小区参加问答活动的20名居民成绩在这一组的是： 81，82，83，85，87，88，89； 信息三：B小区参加问答活动的20名居民成绩如下： 分数 63 71 72 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： 补全“信息一”中频数分布直方图； 小区参加问答活动的20名居民成绩的中位数是______；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的众数是______； 你认为哪个小区的成绩更好？请用平均数说明理由. 23.本小题10分 【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确.杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容.某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米. 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米. 任务一：确定l和a的值. 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； 求l和a的值. 任务二：确定刻线的位置. 根据任务一，求y关于m的函数解析式. 24.本小题10分 正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上不与端点重合，，EF与AC交于点G ①如图，若AC平分，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系； ②如图ⅱ，若AC不平分，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 如图ⅲ，矩形ABCD，，点M、N分别在边CD、BC上，，，求AM的长度． 25.本小题12分 已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上. 当时， ①求点A、B的坐标； ②点M在直线AB上，且，若，求点M的坐标； 设D是直线l上的定点，直线DC交x轴于点P，若y轴上存在点Q，使四边形DAQP为平行四边形，求的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，因此不符合题意； 符合最简二次根式的定义，因此符合题意； 的被开方数是小数，因此不是最简二次根式； 的被开方数是分数，因此不是最简二次根式； 故选： 根据最简二次根式的意义逐个进行判断即可． 本题考查最简二次根式，掌握被开方数为整数，且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是正确判断的前提． 2.【答案】A  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 故选： 根据勾股定理计算，得到答案． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 3.【答案】C  【解析】解：如图所示： 四边形ABCD是菱形， ， 故选： 由菱形的性质即可得出结论． 本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 即 故选： 根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解． 本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 5.【答案】B  【解析】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选： 根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题． 本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况． 6.【答案】A  【解析】解：将这五部电影得票数从小到大排列，处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10， 这五部电影得票数出现次数最多的是11，共出现2次，因此众数是11， 故选： 根据中位数、众数的意义进行判断即可． 本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是正确解答的前提． 7.【答案】C  【解析】解：一次函数的图象从左向右下降， ，解得， 可以取 故选： 根据一次函数的性质得，解得，然后在此范围内取一个k的值即可． 本题考查了一次函数与系数的关系：一次函数中，的图象从左向右下降；的图象从左向右上升． 8.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ，，， ， ， 即， ， ， ， ， ▱ABCD是矩形， 故选： 由平行四边形的性质得，，再证，则，得，然后得，即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：， 随x的增大而减小， ， 故选： 由可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围． 本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：是正方形， ，， 由折叠得，，，， ， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， 即， 故选： 由折叠和正方形的性质可得，，，，进而证出，得出，设未知数，在中，由勾股定理可求出答案． 本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握折叠轴对称的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的前提． 11.【答案】5  【解析】解： 故答案为： 直接利用二次根式的性质化简求出即可． 此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 12.【答案】2  【解析】解：点D，E分别是边AB，BC的中点， 是的中位线， ， 故答案为： 依据D，E分别是边AB，BC的中点，即可得到DE是的中位线，再根据三角形中位线定理计算即可得到DE的长． 本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：是方程的一个根， ， 方程左右两边同时除以a，得：， ， 故答案为： 将方程的解代入原方程，然后利用等式的性质求解． 本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的概念是解题关键． 14.【答案】第一象限  【解析】解：关于x的不等式的解集为， ，， 直线不经过的象限是第一象限． 故答案为：第一象限． 由已知不等式的解集确定出k与b的正负，利用一次函数性质判断即可． 此题考查了不等式的解集，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 15.【答案】5  【解析】解：由题意知，这组数据为3、5、5、5、6、8，8， 所以这组数据的众数为5， 故答案为： 根据方差的计算公式得出这组数据为3、5、5、5、6、8，8，再由众数的概念可得答案． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和众数的定义． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 过P作轴，交y轴于M，交AB于N，过D作轴，交y轴于H，，求出，证≌，推出，，设，求出，得出，求出，得出D的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出C的坐标，设直线CD的解析式是，把代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【解答】 解：解：过P作轴，交y轴于M，交AB于N，过D作轴，交y轴于H， ， ，， ， ， ，， 在和中， ≌， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则C的坐标是， 设直线CD的解析式是， 把代入得： 得： 即直线CD的解析式是， 组成方程组 解得： 点， 故答案为： 17.【答案】，；   ，  【解析】； ， 或， 所以，； ， ， ， 所以， 利用因式分解法解方程； 利用配方法解方程． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 18.【答案】这根芦苇的长度为13尺．  【解析】解：依题意得尺，尺， 为AD的中点， ， 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺． 在中，根据勾股定理可得，， 即， 解得， 答：这根芦苇的长度为13尺． 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺．根据勾股定理可得方程，再求解即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 19.【答案】解：由，解得， ； 观察图象，当时，x的取值范围是  【解析】解析式联立成方程组，解方程组即可； 根据图象即可求得． 本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，，， 将平移到， ，， ，， 四边形OCED是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形OCED是矩形．  【解析】由平行四边形的性质可得，，，由平移的性质可得，，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证，可得结论． 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明是本题的关键． 21.【答案】证明：， 在实数范围内，m无论取何值，，即， 关于x的方程恒有两个不相等的实数根； 解：根据题意，得 ， 解得，  【解析】根据关于x的方程的根的判别式的符号来证明结论； 根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，即可求得m的值． 本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义． 22.【答案】解：由题意可知，A小区“”的频数为：， 补全“信息一”中频数分布直方图如下： ；94； ， ， ， 小区的成绩更好．  【解析】见答案； 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：； B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94； 故答案为：；94； 见答案. 用样本容量减去其他四组的频数，可得“”的频数，进而补全a中频数分布直方图； 根据中位数和众数的定义解答即可； 用2000分别乘样本中A，B两个小区大于或等于90分所占比例即可． 考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提． 23.【答案】解：由题意，，， 又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡， ，且  由可的，，， 关于m的函数解析式为  【解析】依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得，且，进而计算可以得解； 依据题意，由可的，，，则，进而可以得解． 本题主要靠了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 24.【答案】解：①如图， 四边形ABCD是正方形， ， ，AC平分， ， ，， ≌， ，， ， ， ， 平分， ，， ； ②，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立：； 如图ⅱ，延长CD到点H，截取，连接AH， 在与中， ， ≌， ，， ，， ， 即， 在与中， ， ≌， ， 如图，延长AN，DC交于点G，过M作于点P， 四边形ABCD是矩形， ， 中，，， ，， ， ∽， ， ， ，， ， 设，则，， ， ，   【解析】①证明≌得，，根据角平分线的性质得：，，相加可得结论； ②延长CD到点H，截取，连接AH，根据SAS定理可得出≌，故可得出，再由，可得出，由SAS定理可得≌，故，可得结论； 作辅助线，构建直角三角形，设，表示PM和PG的长，根据，可得x的值，根据等腰直角三角形的性质可得斜边AM的长． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 25.【答案】解：当时，直线l的解析式为， ①当时，；当时，，则， 点A、B的坐标分别为，， ②设点M的坐标为， 当点M在第一象限时， ，点A、B的坐标分别为，， ， ，， ， ， 解得： 点M的坐标为； 当点M在第四象限时， ，点A、B的坐标分别为，， ，， ，， ， ， 解得：， 点M的坐标为； 当点M在第二象限时， ， ，， ， 不存在， 综上所述点M的坐标为或； 解：如图，连接DQ交x轴于点E，过点D作轴于点F， 是直线l上的定点， 点D坐标为，直线l与x轴交于点，与y轴交于点， 四边形DAQP为平行四边形， ，， ，， ≌， ，， ， 点P在x轴的负半轴， 设点P的坐标为， ， 点P的坐标为， 根据，可求出直线DP的解析式为：， 直线DP与y轴交于点，   【解析】当时，，①分别令和，进行计算即可得到点A B的坐标； ②设点M的坐标为，分三种情况：当点M在第一象限时；当点M在第四象限时；当点M在第二象限时，分别进行计算求解，即可得到答案； 连接DQ交x轴于点E，过点D作轴于点F，由题意可得点D坐标为，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，根据平行四边形的性质可得，通过证明≌可得，从而得到，设点P的坐标为，则，从而得到点P的坐标，有待定系数法可求出直线DP的解析式，从而得到点C的坐标，最后进行计算即可得到答案． 本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，解一元一次方程，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$