福建省北京大学附中莆田学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年福建省北京大学附中莆田学校七年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是 A. B. C. D. 2.的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 3.如图，和不是同位角的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5.能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(    ) A. B. C. D. 6.下列式子正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，直线，相交于点，，已知，平分，则(    ) A. B. C. D. 8.如果，那么的值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，，下列各式中正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知，点在上，点在上，点在上方，：：，点在的反向延长线上，且：：，设，则为度数用含的式子一定可以表示为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若，那么______． 若，则______． 12.若是的算术平方根，则______． 13.若为直线外一定点，为直线上一点，且，为点到直线的距离，则的取值范围为______． 14.如图，直线，相交于点，，平分，如果，那么的度数是______． 15.如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则______ 16.如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点点是边上一点使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：； ． 18.本小题分 求下列各式中的值． ； ． 19.本小题分 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． 在给定方格纸中画出平移后的； 画出的边上的高，垂足为； 若连接、，这两条线段的关系是______； 直接写出面积是______． 20.本小题分 已知的平方根为，的算术平方根为． 求、的值； 求的算术平方根． 21.本小题分 按图填空，并注明理由． 已知：如图，，． 求证：． 证明： 已知 ____________ ______  ______ ______  又  已知  ______ ______  ． ______  22.本小题分 如图，已知，． 与平行吗？请说明理由． 若平分，于点，，求的度数． 23.本小题分 已知直线与相交于点，且平分，于点． 如图，若平分，求的度数； 如图，若，，求的度数． 24.本小题分 【探究】 如图，若，点在，外部，则，，满足的数量关系是______； 【应用】 如图为北斗七星的位置图，如图，将北斗七星分别标为，，，，，，其中，三点在一条直线上，，则，，满足的数量关系是______ 如图，在问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分，平分，若，直接写出的度数． 25.本小题分 如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点． 若点，，都在点的右侧，求的度数； 在的条件下，若，求的度数； 在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、利用旋转可以得到，故此选项错误； B、不能利用平移得到，故此选项错误； C、利用轴对称可得到，故此选项错误； D、是由一个基本图形通过平移得到的，故此选项正确． 故选：． 利用平移的性质和旋转的性质分别分析得出即可． 此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的定义是解题关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据算术平方根的概念即可求出答案． 本题考查算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【解答】 解：， 的算术平方根是， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是同位角，故此选项符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和是同位角，故此选项不符合题意； 故选：． 根据“三线八角”中同位角的意义逐项进行判断即可． 此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，正确掌握同位角定义是解题关键．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角． 4.【答案】  【解析】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：． 由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断 本题考查线段的性质，关键是掌握：两点之间，线段最短． 5.【答案】  【解析】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意； B、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意； C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意； D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意； 故选：． 根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可． 本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6.【答案】  【解析】解：、表示的算术平方根，结果是，故本选项不合题意； B、表示的立方根的相反数，，故本选项不合题意； C、表示的算术平方根的相反数，，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：． 根据平方根定义，算术平方根定义和立方根的定义和性质解答即可． 本题考查平方根、算术平方根、立方根的概念，熟悉它们的意义是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 因为，即，已知，可得的度数，因为平分，所以，可得的度数． 本题考查了垂线的定义、角平分线的性质，关键是熟练掌握相应的知识． 【解答】 解：， ， ， ， 平分， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：， ，， ，， ． 故选：． 先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论． 本题考查的是非负数的性质，熟知当非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等量代换即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，过点作，过点作， ， ， ：：，：：， 设，，，， ， ，， ，， ， ， ， 故选：． 过点作，过点作，则；设设，，则，，，所以，，，，由平行的性质可知，，，可得，所以 本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 11.【答案】    【解析】解：， ； 故答案为：； ， ． 故答案为：． 应用平方根的定义进行计算即可得出答案； 应用算术平方根的定义进行计算即可得出答案． 本题主要考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，且是的算术平方根， ， 则， 故答案为：． 由算术平方根的定义得到，然后依据算术平方根的性质可求得的值，最后代入求得代数式的值即可． 本题主要考查算术平方根定义，掌握算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：垂线段最短， ， 为直线外一定点， ． 故答案为：． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 14.【答案】  【解析】解：如图， 于点． ， ， ， 又，平分， ． 故答案为：． 由余角的定义求得，然后结合对顶角相等和角平分线的性质得到的度数． 本题考查了垂线的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由折叠可知：，，， ，， ， ， ， ， ， 过作，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 由折叠可知：，，，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解，过作，则，结合平行线的性质易求，即可得，由直角三角形的性质可求解，进而可求解． 本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：，， ， 的角平分线为， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． ，，则，则，在中，，故，即可等量代换求解． 本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大． 17.【答案】；  ．  【解析】解：原式 ； 原式 ． 利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； 利用绝对值的性质，有理数的乘方法则，算术平方根的定义计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】或；   或．  【解析】解：， ， 或； ， ， 或． 根据平方根的定义进行解题即可； 根据平方根的定义进行解题即可． 本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 19.【答案】见解答．   见解答．   平行且相等．   ．  【解析】解：如图，即为所求． 如图，即为所求． 由平移得，这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 面积是． 故答案为：． 根据平移的性质作图即可． 根据三角形的高的定义画图即可． 根据平移的性质可得答案． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图平移变换、三角形的高，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：的平方根为， ， 解得， 的算术平方根为， ， 解得； ，， ， 的算术平方根为．  【解析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出、的值即可； 把、的值代入要求的式子，再根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 21.【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行  【解析】证明： 已知 内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等   又  已知  等量代换  ． 内错角相等，两直线平行 ． 故答案是：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 根据平行线的判定定理和平行线的性质进行填空． 本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 22.【答案】与平行， 证明：， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等， ， 等量代换， 同旁内角互补，两直线平行； 解：，， ， 平分， 角平分线定义， 已证， 又，， ， 垂直定义， 已证， 两直线平行，同位角相等， ．  【解析】直接利用平行线的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案； 利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键． 23.【答案】解：平分，平分， ，， ， ； 设， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ．  【解析】由角平分线定义得到，即可得到答案； 设，由条件得到，求出的值，即可得到答案． 本题考查了垂线，角平分线的定义以及角的计算，关键是掌握角平分线的定义，并能由平角定义列出关于的方程． 24.【答案】；  ．  【解析】解：【探究】过点作，如图所示： ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【应用】过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． ，理由如下： 过点作，如图所示： ，平分， ，， 平分， 设，则， 在的条件下： ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【探究】过点作，则，进而得，，再根据即可得出，，满足的数量关系； 【应用】过点作，则，进而得，，再根据即可得出，，满足的数量关系； 过点作，根据，平分得，，根据平分设，则，在的条件下有，进而得，根据得，，进而得，据此可得的值． 此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解决问题的关键． 25.【答案】解：，， ， ，平分， ； ， ，， ， 又， ，， 平分， ，， ， ， ； 设，，则， 当点、在点的右侧时， 则， ， ， 解得， ； 当点、在点的左侧时， 则， ，， ， 解得， ， ， ． 综上所述：在点的运动过程中，存在，度数为或．  【解析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数； 依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据，即可得出； 设，，则，分两种情况讨论：当点、在点的右侧时，当点、在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$