2025年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校中考数学三模试卷

2025年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是 A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，直线，若，则(    ) A. B. C. D. 5.三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.对于任意两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：若，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为，若该菱形的面积为，周长为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10.分解因式：______． 11.若数据，，，，的平均数是，则中位数是______． 12.已知一个圆锥的底面半径为，高是，则这个圆锥的侧面积为______结果保留． 13.在平面直角坐标系中，已知点，则点在第______象限． 14.已知是线段的黄金分割点，，若，则的长为        结果保留根号 15.一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是______． 16.如图，正六边形内接于，若，则阴影部分的面积为______． 17.定义：抛物线为常数，中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为，则的值为______． 18.如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 如图，在▱中，点，在对角线上，． 求证：． 22.本小题分 某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己喜欢的一类根据调查结果绘制了如图所示的统计图未完成，请根据图中信息，解答下列问题： 此次共调查了______名学生； 将条形统计图补充完整； 图中“小说类”所在扇形的圆心角为______； 若该校共有学生人，估计该校喜欢“社科类”图书的学生人数． 23.本小题分 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容规定：每位考生必须在个物理实验考查内容用、、、表示和个化学实验考查内容用、、、表示中各抽取一个进行实验技能考查小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． 小刚抽到物理实验的概率是______． 求小刚抽到物理实验和化学实验的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程 24.本小题分 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：结果精确到，参考数据 求的长； 该充电站有个停车位，求的长． 25.本小题分 如图，中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上． 尺规作图：作，的延长线与相交于点保留作图痕迹，不写作法． 求证：直线是的切线； 若，，求和的长． 26.本小题分 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． 求，两种商品每件的利润； 已知商品的进价为元件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 27.本小题分 如图，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． 若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______； 如图，在的条件下，若，，，求的长； 如图，若，，，当的值最大时，求此时的值． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 求的值； 如图，将直线绕点顺时针旋转与抛物线交于点，求点的横坐标； 将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点，设的顶点横坐标为，的长为． 求关于的函数解析式； 与轴围成的区域记为，与内部重合的区域不含边界记为，当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据绝对值的定义，． 故选：． 根据绝对值的定义解决此题。 本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键。 2.【答案】  【解析】解：，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项符合题意； D.，故本选项不符合题意； 故选：． 根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项的运算法则，逐一判断即可． 本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项，熟记以上知识点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：如图所示， ， ． 直线，， ， ． 故选：． 根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：过点作于点， 由题意可得出：， ，， ． 故选A． 根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可． 此题主要考查了由三视图判断几何体，体现了对空间想象能力方面的考查，根据已知条件得出是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 解得， 综上：． 故选：． 根据题中的新定义确定出所求即可． 此题考查了解一元一次不等式，以及有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：过点作交的延长线于点，的延长线交轴于点， 由条件可知，， ， ， ， 点的横坐标为，边轴， ，， ， ， 解得， 故选：． 过点作交的延长线于点，的延长线交轴于点，求出，，根据即可求出答案． 此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：要使式子在实数范围内有意义， 则， 解得． 故答案为：． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】 解：． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：数据，，，，的平均数是， ， 解得， 则这组数据从小到大排列为、、、、， 这组数据的中位数为， 故答案为：． 先根据算术平均数列出关于的方程，求出的值，从而得出这组数据，再利用中位数的定义求解可得． 本题主要考查中位数和算术平均数，解题的关键是根据平均数的定义求出的值，并熟练掌握中位数的定义． 12.【答案】  【解析】解：这个圆锥的母线长， 所以这个圆锥的侧面积 故答案为． 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13.【答案】四  【解析】解：，， 在第四象限． 故答案为：四． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 14.【答案】  【解析】解：是线段的黄金分割点，，， ， 故答案为：． 根据黄金分割点的定义，即可进行解答． 本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为． 15.【答案】  【解析】解：一次函数与的图象的交点坐标为， 当时，， 不等式的解集为． 故答案为． 结合图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16.【答案】．  【解析】【分析】 本题考查正多边形与圆的关系，三角形的面积，扇形面积的计算，学会用割补法求面积是解题关键．根据阴影部分的面积等于三角形的面积加上扇形的面积再减去三角形的面积计算即可． 【解答】 解：连接、、、、，如图： 正六边形内接于， 四边形是菱形， ， ，，， ， ， ， ， ． 故答案． 17.【答案】  【解析】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 18.【答案】或  【解析】解：点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆， 当与相切时，最大 如图，当点在左侧时， 根据题意得，， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， 又， ∽， ，即， ，， ． ． 如图，当点在右侧时， 同理，可得，，， ，． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 首先根据题意得到点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点在左侧和点在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大． 19.【答案】解： ．  【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 20.【答案】解：原式 ， 当时，原式．  【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 21.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ≌， ， ．  【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，证明≌，得到，根据平行线的判定定理即可得到． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22.【答案】；   图见解析；   ；   估计该校喜欢“社科类”图书的学生人数为人．  【解析】解：此次调查的学生总人数为名， 故答案为：． 选择“生活类”的学生人数为名， 选择“小说类”的学生人数为名， 则补全条形统计图如下： 图中“小说类”所在扇形的圆心角为， 故答案为：． 人， 答：估计该校喜欢“社科类”图书的学生人数为人． 根据选择“文史类”的学生的扇形统计图和条形统计图的信息即可得； 先结合的结果求出选择“生活类”的学生人数，再求出选择“小说类”的学生人数，据此补全条形统计图即可得； 利用乘以选择“小说类”的学生所占百分比即可得； 利用全校学生总人数乘以喜欢“社科类”图书的学生所占百分比即可得． 本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 23.【答案】； 画树状图为： 共有种等可能的结果，其中抽到和的结果数为， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率．  【解析】解：小刚抽到物理实验的概率是； 故答案为：； 画树状图为： 共有种等可能的结果，其中抽到和的结果数为， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率． 直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽到和的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 24.【答案】解：四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 在中，， 在中，， 该充电站有个停车位， ， 四边形是矩形， ．  【解析】先求出和的长度，； 求出的长度，因为四边形是矩形，所以． 本题考查了三角函数的实际应用，理解题目意思是解题的关键． 25.【答案】作图见解析；  证明见解析；  ，．  【解析】解：连接， 为的直径， ， ， ， 如图所示，以点为圆心，以为半径画弧，交、于点、，以为半径，以点为圆心作弧，以为半径，以点为圆心，交弧于点，连接并延长，交的延长线于点，即为所求； 证明：， ， ， ， ， ， 直线是的切线； 解：过点作， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ． 连接，由直径得到，然后由三线合一得到，然后利用尺规作即可； 等量代换得到，然后求出，即可得到直线是的切线； 过点作，首先得到，求出，然后求出，，然后证明出∽，得到，然后代数求出，进而求解即可． 本题主要考查了圆的综合知识点，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 26.【答案】解：设商品每件的利润为元，商品每件的利润为元， 根据题意，得 解得： 答：商品每件的利润为元，商品每件的利润为元． 设降价元利润为元， 根据题意，得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时定价元． 答：定价为元时，利润最大，最大为元．  【解析】根据题意列出二元一次方程组解答即可； 根据“商品利润单件利润销售数量“，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价进价利润“解答即可． 本题主要考查了二元一次方程组和二次函数的应用，读懂题意并能列出等量关系式是解答本题的关键． 27.【答案】；   ；  ．  【解析】在中，，在中，，， ∽，，， ，， ∽， ， ， 故答案为：； 在，，，， ，， 延长交于点，如图所示， ，， ， 由可得， ， ， 在中，， ∽， ， ， 即； 如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，， 同可得∽， ， ， ， 在中，，， 在以为圆心为半径的圆上运动， 当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则， 在中，， ，， ， ， ∽， ， 过点作于点， ，， ， ， ， 中，． 证明∽，根据相似三角形的性质得到，，进而证明∽，根据相似三角形的性质即可求解； 求出，延长交于点，在中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据∽，即可求出案． 如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，同可得∽，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，，三点共线时，的值最大，进而求得，，根据∽得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案． 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 28.【答案】；   点的横坐标为；   ；的取值范围为或．  【解析】二次函数与轴交于， ， 解得：； 过作于，过作轴于，过作于，如图： 在中，令得， ， 设， 将直线绕点顺时针旋转与抛物线交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ≌， ，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得或， 点的横坐标为； 将二次函数的图象沿水平方向平移， 顶点的纵坐标不变为， 图象的解析式为， 令得， ， ， ， ； 由得，画出大致图象如下， 随着增加而增加， 或， 中含，，三个整点不含边界， 当内恰有个整数点，时， 当时，，当时，， ， ，或， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时， 当时，，当时，， ， 或，， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去． 综上所述，的取值范围为或． 由二次函数与轴交于，得，故； 过作于，过作轴于，过作于，求出，设，根据将直线绕点顺时针旋转与抛物线交于点，可证≌，得，，即，解得，故直线解析式为，联立，即可解得点的横坐标为； 根据将二次函数的图象沿水平方向平移，可得图象的解析式为，从而，知，即； 由得，画出大致图象可知随着增加而增加，或，当内恰有个整数点，时，当时，，当时，，有，可解得；当内恰有个整数点，时，当时，，当时，，故，可得；当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去． 本题考查二次函数综合应用，涉及用待定系数法求二次函数表达式，全等三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合法是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$