精品解析：江苏省沭阳县南湖中学2023-2024学年九年级下学期数学第三次联考试卷

2023~2024学年度第二学期第三次定时作业 初三数学学科 考试时间：120分钟，试卷分值：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 4. 已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（ ） A. 方差为40 B. 中位数为4 C. 平均数为4 D. 标准差为40 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 8. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 分解因式：___________． 10. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为_______． 11. 若用半径为12的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________． 12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围是______________． 14. 已知不等式组的解集是，则的值为_______． 15. 如图，在中，，，，点是边上的中点，以点为圆心，的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为________． 17. 如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则_____． 18. 在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 计算：． 20. 先化简，再从0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 21. 按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请仅利用无刻度直尺画出该圆的圆心O； （2）如图2，的顶点A、B在上，点C在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使． 22. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整：在扇形统计图中，“”所对应的扇形的圆心角是______度； （3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数． 23. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片：正面分别印有“前”、“程”、“朤（）”、“朤（）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若甲随机抽出一张，恰好是“朤（）”的概率是 ； （2）甲随机抽出一张并放回，洗匀后、乙再从中随机抽出一张，求两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率． 24. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 25. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）求证：； （2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值 26. 某商场销售一种成本为20元的商品，市场调研反映：在某个月的第x天的销售价格为元，日销售量与x的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？ 27. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 28. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点的直线m与射线、射线分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期第三次定时作业 初三数学学科 考试时间：120分钟，试卷分值：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘、完全平方公式，据此相关性质法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由物体上方向下做正投影得到的视图叫做俯视图，据此求解即可． 【详解】解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示； 下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示； 观察四个选项可知，只有D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是掌握俯视图的定义，注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 4. 已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（ ） A. 方差为40 B. 中位数为4 C. 平均数为4 D. 标准差为40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，解题的关键是掌握一组数据的方程等于各个数据与平均数的差的平方的平均数．据此即可解答． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数为4， 故选：C． 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC=40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB=50°，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接AD， ∵D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 8. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点与点关于轴对称， 即这个函数图像关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，， ∴当时，随的增大而减小， 故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故答案为：． 11. 若用半径为12的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算．根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得，圆锥的底面周长， ， 解得，， 故答案为：6． 12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式展开后，整体代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围． 【详解】解：去分母得：x-3(x-2)=m， 解得：x=， ∵分式方程有一正数解， ∴＞0，且≠2， 解得：m＜6且m≠2， 故答案为：m＜6且m≠2． 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 14. 已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， 则原式， 故答案为：1 15. 如图，在中，，，，点是边上的中点，以点为圆心，的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算．根据直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 扇形的半径为2， ． 故答案为：． 16. 如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． 17. 如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，作轴于，轴于，利用反比例函数系数的几何意义得出，根据平行四边形的性质得出，的面积为，根据平行线分线段成比例定理证得，故设，则，即可得到，解得，正确表示出的坐标，得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图： ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵平行四边形的对角线相交于点， ， ， ， ∴设，则， 的面积为8， 的面积为2， ， 解得：， 故答案为：． 18. 在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简零次幂、负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再从0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 当或2时，分式无意义， 故当时，原式． 21. 按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请仅利用无刻度直尺画出该圆的圆心O； （2）如图2，的顶点A、B在上，点C在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定： （1）如图所示，取格线与圆的交点G、H，取格点E、F，连接交于O，点O即为所求； （2）如图所示，延长交于E，连接并延长交于D，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，取格线与圆的交点G、H，取格点E、F，连接交于O，点O即为所求； 为直径，垂直平分，则的交点即为圆心O的位置； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于E，连接并延长交于D，连接，则即为所求； 易证明，则． 22. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整：在扇形统计图中，“”所对应的扇形的圆心角是______度； （3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数． 【答案】（1）100 （2）条形图见解析， （3）名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形圆心角，画条形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图，计算出所占百分比即可求出圆心角； （3）利用样本估计总体，用1000乘以样本中最喜欢用微信进行沟通的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：喜欢用电话沟通的人数为20，百分比为， 此次共抽查了：（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 喜欢用短信的人数为：（名）， 条形图如下： “”所对应的扇形的圆心角：， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）， 答：估计最喜欢用“微信”沟通的人数为名． 23. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片：正面分别印有“前”、“程”、“朤（）”、“朤（）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若甲随机抽出一张，恰好是“朤（）”的概率是 ； （2）甲随机抽出一张并放回，洗匀后、乙再从中随机抽出一张，求两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率． 【答案】（1）； （2）两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据简单的概率公式求解即可； （2）利用列表法或树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲随机抽出一张，恰好是“朤（）”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果， ∴两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率． 24. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 25. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）求证：； （2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值 【答案】（1）如图，连接 因为是的直径 所以，即 又 所以垂直平分 所以； （2）18 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂直平分，可得； （2）连接，利用三角函数求出，再结合，可计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接 因为， 所以 因为 所以 所以 所以 所以 在中，， 所以 所以 因为是弧的中点，是的直径 所以 所以 因为是弧的中点， 所以 所以 所以 所以． 26. 某商场销售一种成本为20元的商品，市场调研反映：在某个月的第x天的销售价格为元，日销售量与x的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？ 【答案】（1） （2）销售该商品第天时，日销售利润最大 【解析】 【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解； （2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 将点代入解析式，得， ， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值， 即销售该商品第天时，日销售利润最大． 27. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 【答案】（1），； （2）依然成立； 证明：如图2，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴且； （3）或 【解析】 【分析】（1）过B作交的延长线于F，依题意，，由勾股定理求得，证明四边形是正方形，在中，勾股定理求得，即可得解； （2）根据模型的方法，作出辅助线，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q，证明，，得出，根据等腰三角形的性质，即可得出且； （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接，根据题意，得出当时，垂直平分，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图1，过B作交的延长线于F， 由小颖得证明思路得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中：， 故答案为：，； （2）略 （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接， ∴，， 分以下两种情况： 当时，且点G在的上方，如图3所示， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图4所示，当G点在的下方时，此时E点在的下方， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 28. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点的直线m与射线、射线分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由 【答案】（1）； （2）． （3）为定值3． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式等知识点． （1）先求得直线与x轴、y轴的交点B、C的坐标，代入求得a、k的值，即可得抛物线的函数表达式；令，求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式即可； （2）根据题意可得，即可得；当直线经过点C时，，，此时，当直线经过顶点时，直线的解析式为，时，，此时，，，此时；当直线l在直线与直线之间时，，即可得； （3）设直线的解析式为．把代入得：，解得：，所以点N的坐标为．所以，即可得；将与联立解得：．求得点M的横坐标为．过点M作轴，垂足为G．则．再由，根据相似三角形的性质可得，，，由此可得． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴的交点B、C， ∴，； 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线函数表达式为； 令，可得，解得，； ∴； 设的解析式为， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 当直线经过点C时，，， 此时， 当直线经过顶点时，直线的解析式为， 当时，， 此时，，， 此时； 当直线l在直线与直线之间时，， ∴； 【小问3详解】 解：为定值3． 理由如下：设直线的解析式为． 把代入得：， 解得：， ∴点N的坐标为． ∴，； 将与联立解得：． ∴点M的横坐标为， 过点M作轴，垂足为G． 则． ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $