1.1多项式的因式分解 课件2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

1.1多项式的因式分解 因式分解 第1章 学习目标 1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系． 2．对因式分解做出正确判断，培养观察能力和语言概括能力． 问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21. 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7. 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 可以. 新知导入 （1） 因为（x+1）2= ，所以x2+2x+1=（x+1）（ ）； （2） 因为x（x- ）= ，所以x2- x= x（ ）. 做一做 解：（1） 因为（x + 1）2 = x2 + 2x + 1， 所以x2 + 2x + 1 =（x + 1）2 =（x + 1）（x + 1）. （2） 因为x（x - ）= x2 - x， 所以x2 - x = x（x - ）. 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f= gh，那么把 g 叫作 f的一个因式. 此时，h也是f 的一个因式. 因式: 例：由于x2 + 2x + 1 =（x + 1）2， 则x + 1是多项式x2 + 2x + 1的因式. 类似地，由于 x2 - x = x（x - ）， 则 x 和 x - 都是 x2 - x 的因式. 新知探究 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 因式分解: 新知探究 注意：①分解的对象必须是多项式； ②因式分解的结果：积的形式； ③结果中的每一个因式都必须是整式； ④必须分解到每个因式都不能再分解为止. 新知探究 例题讲解 例1 解:(x – 2)(x – 3)= x2 - 3x - 2x +(-2)×(-3) = x2 - 5x + 6， 因此三个空格都填写x2 - 5x + 6. 填空： 因为(x – 2)(x – 3)= ， 所以 =(x – 2)(x – 3)是多项式 的因式分解. 多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？ 议一议 运算不同： 多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积， 而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式. 互逆的变形过程： 可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确. x2-y2 (x+y)(x-y) 因式分解 多项式的乘法 例题讲解 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指 出它的因式；若不是，说明理由即可. （1） x（x - 2y）= x2 - 2xy； （2） x2 - 2x + 1 = x（x - 2）+ 1； 解:（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指 出它的因式；若不是，说明理由即可. （3） 3x2 - x = x（3x - ）； 解:（3） 是因式分解 . 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式, 且 x（3x - ）= 3x2 - x， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 3x2 - x 的 因 式 为 x 和3x- . 例题讲解 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指 出它的因式；若不是，说明理由即可. （4） xy - x - y + 1 =（x - 1）（y - 1） 解:（4） 是因式分解 . 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且（x -1）（y - 1）= xy - x - y + 1，因而符合因式分解的定义. xy - x - y + 1的因式为x - 1和y - 1. 例题讲解 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于x的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为0. 新知探究 课堂练习 填空： 因为（x - 4）（x + 5）= ， 所以 =（x - 4）（x + 5）是多项式 的因式分解. 练习1 解：x2+x-20 x2+x-20 x2+x-20 课堂练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1）（x + 1）（x + 2）= x2 + 3x + 2； （2） 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）； （3） x2 - 2 =（x + 1）（x - 1）- 1； （4） 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2 练习2 解:（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. 课堂练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1）（x + 1）（x + 2）= x2 + 3x + 2； （2） 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）； （3） x2 - 2 =（x + 1）（x - 1）- 1； （4） 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2 练习2 解:（2） 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式, 且 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 2x2 y + 4xy2 的 因 式 为 2xy和x + 2y . 课堂练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1）（x + 1）（x + 2）= x2 + 3x + 2； （2） 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）； （3） x2 - 2 =（x + 1）（x - 1）- 1； （4） 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2 练习2 解:（3）不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 课堂练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1）（x + 1）（x + 2）= x2 + 3x + 2； （2） 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）； （3） x2 - 2 =（x + 1）（x - 1）- 1； （4） 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2 练习2 解:（4） 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式, 且 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 4x2 - 4x + 1 的 因 式 为（2x - 1） . 课堂总结 因式分解 1.定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 2.注意事项：①分解的对象必须是多项式； ②因式分解的结果：积的形式； ③结果中的每一个因式都必须是整式； ④必须分解到每个因式都不能再分解为止. 课堂总结 因式分解 3.与整式乘法的关系： 整式乘法与因式分解一个是 积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。 即：多项式 整式的积 $$