第25讲　三角函数的图象与性质讲义-2026届高三数学一轮复习

第25讲　三角函数的图象与性质 课标要求： 1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质,正切函数在上的性质. 知识聚焦 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).  (2)在函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).  2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 　 函数 性质 　 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 　　　 　　　  值域 　　　  　　　  R 最小正周期 2π 　　　  　　　  奇偶性 　　　  　　　  　　　  单调递增区间 　　　  　　　  　　　  单调递减区间 　　　  　　　  无 对称中心 　　　  　　　  　　　  对称轴方程 　　　  　　　  无 常用结论 1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T,其中T为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T,其中T为最小正周期. 对点演练 题组一　常识题 1.函数y=2+cos (x∈R)的最大值为　　　　,最小正周期为　　　　.  2.函数f(x)=tan的定义域为　　　　　　　　　　.  3.函数y=2cos的单调递增区间为　　　　　　　　　.  4.函数y=|sin x|的最小正周期为　　　　.  题组二　常错题 索引:记错y=Asin ωx(或y=Acos ωx)中ω与最小正周期T的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围致误. 5.设ω为实数,函数f(x)=3sin的最小正周期为,则ω的值为　　　　.  6.函数y=-sin2x+3sin x-1的最大值为　　　　.  7.函数f(x)=sin 2x+cos 2x在上的最大值是　　　　.  考点探究 一、三角函数的定义域　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)函数y=lg(2sin x+1)的定义域为 (　 ) A. B. C. D. (2)函数f(x)=的定义域为 (　 ) A. B. C. D. (3)函数y=的定义域为　　　　　　　　　.  总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数的图象,对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解. 变式题 函数y=lg(sin 2x)+的定义域为　　　　　　　　.  二、三角函数的值域或最值 例2 (1)函数 f(x)=sin x+cos x在区间上的最小值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 (2)已知函数f(x)=4sin-1的定义域为,值域为[-5,1],则m的最大值是(　 ) A.π B. C.π D.π (3)函数f(x)=cos 2x+2|sin x|(x∈[0,2π])的值域为　　　　.  总结反思 求三角函数的值域(最值)的几种方法: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); ④形如y=t+(a>0,t>0)的可考虑基本不等式. 变式题 (1)已知函数f(x)=2sin x+4cos x在x=φ处取得最大值,则cos φ= (　 ) A. B. C.- D.- (2)已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,则f(x)的最大值为　　　　.  三、三角函数的性质有关问题 微点1　三角函数的周期性 例3 (1)(多选题)下列函数中,最小正周期为π的是 (　 ) A.y=cos |2x| B.y=|cos x| C.y=cos D.y=tan (2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.  总结反思 求三角函数的最小正周期的常用方法 (1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=; (2)图象法:利用三角函数图象的特征求最小正周期. 微点2　三角函数的奇偶性与对称性 例4 (1)已知函数f(x)=cos x-2cos2+1,则下列说法正确的是 (　 ) A.y=f为奇函数 B.y=f为偶函数 C.y=f-1为奇函数 D.y=f-1为偶函数 (2)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T,若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f= (　 ) A.1 B. C. D.3 总结反思 (1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断. (2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|. 微点3　三角函数的单调性 例5 (1)函数f(x)=2sin的单调递减区间为 (　 ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z (2)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 (　 ) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 总结反思 (1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sin x的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,那么要根据诱导公式先把自变量的系数化为正值,再确定其单调性. (2)已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解. 应用演练 1.【微点3】下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.【微点1、微点2】已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=sin B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos 3.【微点1、微点2】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<4π,且点和直线x=分别是f(x)图象的对称中心和对称轴,则T= (　 ) A. B.C. D. 4.【微点3】已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是 (　 ) A. B.C. D. 5.【微点2、微点3】(多选题)已知函数f(x)=sin+cos,则 (　 ) A.函数f为偶函数 B.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ,k∈Z C.f(x)在区间单调递增 D.f(x)的最小值为- 参考答案 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)　　(2)　 2.　[-1,1]　[-1,1]　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　　[-π+2kπ,2kπ] 　 [2kπ,π+2kπ]　(kπ,0)　　 x=kπ+　x=kπ 【对点演练】 1.3　6π　[解析] 由y=2+cos (x∈R)知,ymax=2+1=3,其最小正周期T==6π. 2.　[解析] 因为x+≠kπ+,k∈Z,所以x≠kπ+,k∈Z,故函数f(x)的定义域为. 3.,k∈Z　[解析] 由2kπ-π≤x+≤2kπ,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ-,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z. 4.π　[解析] y=|sin x|的图象是由y=sin x的图象将x轴下方的部分向上翻折,并保留x轴及其上方的部分得到的,所以y=|sin x|的最小正周期为π. 5.±2　[解析] 由题意可得=,则ω=±2. 6.1　[解析] ∵y=-sin2x+3sin x-1=-+,sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,ymax=1. 7.　[解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,当x∈时,2x+∈,∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值. 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据对数函数的定义域可得2sin x+1>0,求解即可.(2)根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组求解即可.(3)思路一:根据偶次根式的被开方数大于或等于0,结合正弦、余弦函数的图象与性质进行求解;思路二:对sin x-cos x进行三角恒等变换,化为sin,进而求解. (1)D　(2)A　(3) [解析] (1)由2sin x+1>0,得sin x>-,∴2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,∴函数y=lg(2sin x+1)的定义域为.故选D. (2)由k∈Z,得k∈Z,∴x≠π且x≠π,k∈Z,∴x≠,k∈Z,故选A. (3)方法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0.在同一坐标系中画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象,如图所示.在[0,2π]内,当x=,时,满足sin x=cos x,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,可知原函数的定义域为. 方法二:要使函数有意义,则sin x-cos x=sin≥0,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以原函数的定义域为. 变式题　∪　[解析] 由y=lg(sin 2x)+知解得k∈Z,∴-3≤x<-或0<x<,∴函数y=lg(sin 2x)+的定义域为∪. 例2　[思路点拨] (1)利用辅助角公式化简,然后结合三角函数的性质求解即可.(2)根据已知可推得-1≤sin≤,2x+∈,结合正弦函数的图象可知≤2m+≤,解不等式即可.(3)利用换元法和二次函数的性质即可求得f(x)的值域. (1)C　(2)C　 (3)　[解析] (1)f(x)=sin x+cos x=2=2sin,因为x∈,所以x+∈,则2sin∈[1,2],所以f(x)在上的最小值为1.故选C. (2)因为f(x)=4sin-1的值域为[-5,1],所以-1≤sin≤.又x∈,所以2x+∈,根据正弦函数的图象可知≤2m+≤,解得≤m≤,所以m的最大值是.故选C. (3)f(x)=cos 2x+2|sin x|=1-2sin2x+2|sin x|(x∈[0,2π]),令|sin x|=t,则t∈[0,1],则f(x)的值域转化为g(t)=1-2t2+2t,t∈[0,1]的值域,g(t)=-2t2+2t+1=-2+,所以g(t)∈,所以函数f(x)的值域为. 变式题　(1)A　(2)3+　[解析] (1)因为f(x)=2sin x+4cos x=2sin(x+θ),其中sin θ==,cos θ==,当x=φ时,f(x)取得最大值,所以φ+θ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-θ+2kπ,k∈Z,所以cos φ=cos=sin θ=,k∈Z,故选A. (2)设t=sin x+cos x,则sin xcos x=,t=sin x+cos x=sin∈[-,],f(x)=g(t)=t+t2-1+2=+,∴当t=时,g(t)max=+2+1=3+,即f(x)max=3+. 例3　[思路点拨] (1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.(2)首先表示出T,根据f(T)=求出φ,再根据x=为函数的零点,即可求出ω的取值,从而得解. (1)ABC　(2)3　[解析] (1) 对于A,y=cos |2x|=cos 2x,所以它的最小正周期为=π,满足题意;对于B,y=|cos x|的最小正周期为×=π,满足题意;对于C,y=cos的最小正周期为=π,满足题意;对于D,y=tan的最小正周期为,不满足题意.故选ABC. (2)因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=,因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,0<φ<π,所以φ=,即f(x)=cos,又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z,因为ω>0,所以ωmin=3. 例4　[思路点拨] (1)利用降幂公式及辅助角公式化简f(x),然后分别求出y=f,y=f-1,判断奇偶性即可.(2)根据函数f(x)图象的对称中心得到b,再根据函数的最小正周期的范围和图象的对称中心得到ω的值,进而得到所求. (1)B　(2)A　[解析] (1)f(x)=cos x-2cos2+1=cos x-2×+1=cos x-sin x=cos.f=cos=cos x,所以y=f为偶函数,故A错误,B正确;y=f-1=cos-1=-sin x-1,所以函数y=f-1为非奇非偶函数,故C,D错误.故选B. (2)因为<T<π,即<<π,所以2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且ω×+=kπ,k∈Z,解得ω=,k∈Z,又2<ω<3,所以k=4,ω=,所以f(x)=sin+2,所以f=sin+2=1. 例5　[思路点拨] (1)根据整体法列不等式求解. (2)化简得出f(x)=cos 2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出正确的选项. (1)A　(2)C　[解析] (1)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选A. (2)f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).同理,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).结合选项可知,C选项正确. 【应用演练】 1.A　[解析] 方法一:当x-∈,k∈Z,即x∈,k∈Z时,函数f(x)单调递增,故选A. 方法二:当x∈时,x-∈,函数f(x)单调递增;当x∈时,x-∈,函数f(x)不单调递增,同理可知,区间,均不是函数f(x)的单调递增区间.故选A. 2.B　[解析] 因为函数f(x)的一个周期为4,且C,D选项中函数的最小正周期为8,所以排除C,D.对于A,当x=2时,f(2)=sin=sin π=0,所以直线x=2不是该函数图象的对称轴,排除A.对于B,当x=2时,f(2)=cos=cos π=-1,所以直线x=2是该函数图象的对称轴.故选B. 3.A　[解析] ∵点和直线x=分别是f(x)图象的对称中心和对称轴,∴+k·=-=π(k∈N*),得T=(k∈N*),∵π<T<4π,∴k=1,T=,故选A. 4.B　[解析] 依题意,函数f(x)=2sin,ω>0,由x∈,得ωx-∈,因为f(x)在区间上单调递增,所以-ω-≥-且ω-≤,解得ω≤且ω≤,即0<ω≤.当x∈[0,π]时,ωx-∈,因为f(x)在区间[0,π]上只取得一次最大值,所以≤ωπ-<π,解得≤ω<,所以ω的取值范围是.故选B. 5.AC　[解析] 由题知f(x)=sin=-sin 2x,则f=-sin 2=cos 2x,∴f为偶函数,A正确;令2x=+kπ,k∈Z,得x=+π,k∈Z,即曲线y=f(x)的对称轴为x=+π,k∈Z,B错误;当x∈时,2x∈,∴f(x)在区间单调递增,C正确;f(x)min=-,D错误.故选AC 学科网（北京）股份有限公司 $$