2.2 立方根（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

2.2 立方根 第二章 实数 学 习 目 标 1 2 3 了解立方根的定义，会用根号表示一个数的立方根，能说出平方根与立方根的区别与联系. 知道开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方根，体会立方根的唯一性. 能用立方根解决一些简单的实际问题. 问题引入 已知某种植物细胞的形状可以近似地看作棱长为1的正方体，当这样的一个细胞体积增大1倍时，它的“棱长”是多少？ 棱长3＝体积 1 13＝ 2 x3＝ x＝？ 类比平方根的定义，说说你的猜想？ 概念引入 一般地，如果x3＝a，那么x叫作a的立方根(cube root)，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”． 例如，(－3)3＝－27，－3是－27的立方根，即＝－3； 又如，x3＝2，x是2的立方根，即x＝． 概念讲解 求一个数的立方根的运算叫作开立方 (extraction of cubic root). 开立方与立方互为逆运算. 可以通过立方运算来求一个数的立方根． 检验x是不是a的立方根，只要看x3是不是等于a即可. 试一试 在下图中填空： x x3 立方 开立方 ＋1 －1 27 －1 －8 ＋2 1 8 －2 －27 3 －3 开平方和开立方有什么不同? 归纳总结 立方根与平方根的区别与联系． 平方根 立方根 区 别 联系 关 系 名 称 概念不同 如果x2＝a (a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根． 如果 x3＝a ，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根． 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 ± 被开方数的取值范围不同 被开方数是非负数，即 a≥0 被开方数是任意数 运算关系 开方运算与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究 0 0的平方根和立方根都是0 典例分析 例1 下列各数有立方根吗？如果有，求出它们的立方根． (1) 64； (2)－； (3) 0.027； (4) 9； (5) 0． 解：5个数都有立方根． (1) ∵ 43＝64， ∴ 64的立方根是＝4； (2)∵ ＝－，∴－的立方根是 ＝－； (3) ∵ 0.33＝0.027， ∴ 0.027的立方根是＝0.3； (4) 9的立方根是； (5) 0的立方根是0． 新知巩固 1．求下列各数的立方根： －8，0.001，，－1000，4. 解： ∵ ＝－8， ∴ －8的立方根是＝－2； ∵ ＝0.001， ∴ 0.001的立方根是＝0.1； ∵ ，∴的立方根＝； ∵ ＝－1000， ∴ －1000的立方根是＝－10； 4的立方根是. 新知巩固 2．求下列各数的立方根： －0.027，－，0.125，1，1331. 解： ∵ ＝－0.027， ∴ －0.027的立方根是＝－0.3； ∵ ，∴的立方根＝； ∵ ＝0.125， ∴ 0.125的立方根是＝0.5； ∵ ＝1， ∴ 1的立方根是＝1； ∵ ＝1331， ∴ 1331的立方根是＝11. 新知巩固 3．求下列各式中的x： (1) x3＝－0.064； (2) 8x3＝125； (3) x3＋4＝3； (4) (x－1)3＝27. 解：(1) x＝， x＝－0.4； (2) x3＝， ∵x＝， ∴x＝； (3) x3＝－1， ∵x＝， ∴x＝－1； (4) ∵ x－1＝， ∴ x－1＝3， x＝4. 归纳总结 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数. 立方根的性质： 讨论交流 根据立方根的定义，，等于多少？ 解：根据立方根的定义，得，． 你有什么猜想？你能说明理由吗？ 猜想：a． 理由如下：根据立方根的定义，如果x3＝a ，那么x＝， 把x＝代入得，＝a . 新知巩固 填空： (1) ＝_______；＝_______； (2) ＝_______；＝_________； (3) ＝_________；＝_______. －4 －4 －7 －7 观察上面各式，你有什么发现？ 归纳总结 立方根中三个重要的关系式： ＝a ()3＝a ＝ 典例分析 例2 有一个球形容器，它的容积为36π m³，求这个球形容器的半径(壁厚忽略不计). 解：设球的半径为rm． 由题意，得：πr3＝36π， 解得： r＝3(m)． 答：这个球形容器的半径为3m． 新知巩固 1．两个球形探空气球的体积分别约为5 120 m3和80 m3，试计算它们的半径比（球的体积公式：V球=R3，R为球的半径). 解：由球的体积公式可知： 新知巩固 2．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的多少倍？ 解：设原棱长为a，扩大后的棱长为a'． 由正方体的体积公式得：(a')3＝64a3， 解得： a'＝4a． 答：棱长扩大到原来的4倍． 思维提升 例3 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b＋1的立方根是3. (1)求a，b的值； (2)求a＋b的算术平方根. (2)由(1)可得a＋b＝16， ∴a＋b的算术平方根为4. 解：(1)由题意得， 解得， 课堂小结 立方根 定义 如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根． 性质 正数的立方根是正数． 0的立方根是0． 负数的立方根是负数． 运算 求一个数的立方根的运算叫作开立方. 三个重要的关系式 ＝a；()3＝a；＝． 感谢聆听！ $$