12.3分式的加减（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

12.3分式的加减 题型一 同分母分式的加减法 1．计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 4．计算： ． 5．计算 ． 6．计算： ． 7．化简： ． 8．化简 ． 9．计算： (1)； (2)． 题型二 异分母分式的加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 2．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2)． 题型三 分式加减混合运算 1．观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 3．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 分式加减的实际应用 1．有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 2．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 3．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 4．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 5．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 6．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 7．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 题型五 化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．已知，求代数式的值． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求值：，其中． 8．按要求计算下列各题： (1)化简：． (2)先化简，再求值：，其中． 题型一 分式加减乘除混合运算 1．计算 ． 2．计算： ． 3．化简：． 4．化简： 题型二 分式的恒成立 1．已知，则 ， ． 2．已知，则 ． 3．若恒成立，则的值是 ． 4．已知，其中为常数，则 ． 5．已知，求A、B的值． 6．已知是恒等式，请分别求、的值． 题型三 整式与分式相加减 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．计算：的结果是 ． 5．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 6．化简： (1) (2) 7．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 1．已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： …… 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式： ． (2)请猜想第个等式，并说明理由． 3．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 4．阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 5．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 6．阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 7．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 8．阅读下列材料： 【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：． 【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：，    由于，所以，即，所以的最小值为2． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______； (3)求分式的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3分式的加减 题型一 同分母分式的加减法 1．计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减． 直接同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：原式= ． 6．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，根据同分母分式的加减法运算即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 7．化简： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．同分母分式相减，分母不变，分子相减，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 8．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，平方差公式的应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先把分子相减，然后约分即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则计算即可． （2）根据分式的加减法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型二 异分母分式的加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 2．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的通分与约分，把两个分式通分，再按照同分母分式相减法则进行计算，最后再约分即可． 【详解】 ， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键． （1）先通分，再把分子合并同类项后分解因式，再约分即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 分式加减混合运算 1．观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 【答案】①；正确的化简过程见解析 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤①错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①， 正确的化简过程如下： 原式 ， 故答案为：①． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 3．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【答案】(1)因式分解，三 (2)过程见解析， 【分析】本题考查异分母分式的加减运算： （1）根据因式分解的定义，判断即可；第三步，去括号时，出现错误； （2）通分后进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐同学化简的第一步是因式分解；第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号； 故答案为：因式分解，三； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型四 分式加减的实际应用 1．有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 4．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 5．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 6．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 7．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【答案】(1)； (2)甲队谁先完成任务，理由见详解 【分析】本题考查了分式加减运算，完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意可得出，解出即可．则 （2）用比较出大小即可． 【详解】（1）解：甲共用时间为天，，解得， 乙用的时间为， （2）解：甲队先完成任务，理由如下： ， ∵，且， ∴，， ∴ ∴乙的时间更长，即甲队先完成任务， ∴甲队先完成任务． 题型五 化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算分式的除法，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先去括号，将除法化为乘法，化简得到，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 将该分式分子分母因式分解，括号里面进行通分，除法改写为乘法，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将括号里的式子通分计算，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入求值． 【详解】解：， 当时，原式 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是准确化简分式．先将小括号内通分，再将后的分式分子、分母分解因式，再将分式化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 8．按要求计算下列各题： (1)化简：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，利用乘法分配律，进行计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； 当时，原式． 题型一 分式加减乘除混合运算 1．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则计算即可，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 4．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 题型二 分式的恒成立 1．已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 2．已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：5． 3．若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 4．已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 6．已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 题型三 整式与分式相加减 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简，涉及公式法因式分解、约分、整式减法运算等知识，先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案．熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 4．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，从给定的等式中抽象出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给定的等式，进行作答即可； （2）根据给出的等式，猜想出第个等式，根据分式的加法运算，进行证明即可． 【详解】（1）解：第5个等式为． （2）第n个等式为：． 证明：左式右式， 猜想成立． 6．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 7．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 1．已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： …… 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式： ． (2)请猜想第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察等式，即可求解； （2）由各个等式结构即可得出规律． 本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可． 【详解】（1）． （2）第个等式：． 理由：左边右边， 所以猜想结果正确． 3．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】(1) (2)1，3 (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 4．阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 5．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 6．阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)0或6或或 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知条件中的真分式的定义进行判断即可； （2）根据题意，逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式； （3）把分子写成的形式，然后逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式，再根据x为整数，求分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴， 解得：，，，， 则所有符合条件的值为0，，，． 7．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 8．阅读下列材料： 【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：． 【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：，    由于，所以，即，所以的最小值为2． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______； (3)求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）根据真分式的定义求解即可得； （2）将原分式变形为，由此即可得； （3）先将分式变形为，根据求出最大值即可得． 【详解】（1）解：∵分式的分母的次数是2，分子的次数是1， ∴分式是真分式， 故答案为：真． （2）解： ， ∵分式可以变形为（为实数）， ∴， 故答案为：． （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴分式的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$