重庆市七校联盟2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

七校联盟2025年春期期末考试 高一数学试题 命题学校：重庆市合川中学 命题人：苏佳何珊熊丽 审题人：何正玲 本试卷分第1卷（逃择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.考试结束后，将答题卷交回。 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1,(原创)已知ā=(2，x),b=1,3),若a⊥b,则x=( 2 c.-3 D. 3 2.(原创)样本数据2,3,5,8,11,14,15,17的第25百分位数是( A.4 B.3 C.5 D.8 3.（原创)要得到函数y=sin与x的图象，只需将函数y=sin(x-)的图象( 3 A.向左平移严个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的二， 纵坐标不变 3 2 B.向左平移乃个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6 C个单位，再把所得各点的横坐标缩短到 纵坐标不变 D. 向左平移？个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 3 4,(原创)已知事件A,B互斥，且事件A发生的概率P(A0=名，且事件B发生的概 5 率P(B)=, 则事件A,B都不发生的概率是( A. B. 4 c. 11 6 15 D. 15 15 15 5.(改编)在空间四边形ABCD中，AB=CD,且AB与CD所成角为30°，E,F分 别为BC,AD的中点，则EF与AB所成角的大小为( A.75° B.75°或15 C.150° D.30° 七校联盟2025年春期期末考试高一数学试题第1页共4页 扫描全能王创建 6.(原创)如图，在△4BC中，AD=3AC,P是BD上一点若xAC=P-3B, 则实数x的值为( 1 B. 16 c.16 0.3 7.(改编)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=6, b-2/6,cosc .△ABC外接圆的半径为() A.6 B.3 C.36 D.9 B 8.(改编)如图，在直三棱柱ABC-AB,G中，底面ABC是正三角形， AB=2,AA=2N2,BC边上的中点为D.三棱柱ABC-AB,C截去 三棱锥C-ACD后所得几何体的表面积为() A.9W2+3V3 B.9+3V3 C.12 D.8V2+3V3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分， 有选错的得0分 9.(原创)在复平面内，复数z对应的点为(-1,2)，则（) A.月=5 B.2z=5 c.2=2-i D.复数w对应的点满足w-z-2,则w对应的点围成的封闭图形面积为4π 10.（原创)下列说法正确的是() A.用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个 体m被抽到的概率是0.1 B.已知数据，2，，0的方差为2，则数据2x1,2+1,,21o+1的方差为8 C.已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3,5,7， 则新样本的平均数为6 D.假设P(A)=0.6,P(B)=0.8,且A与B相互独立，则P(AB)=0.48,P(AUB)=0.92 11.(改编)如图，正方体ABCD-AB1CD1的棱长为2，E,F分 别是AD,DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列 结论正确的为() A.三棱锥C一A1B:P的体积为4 B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C.三棱锥F-ACD的外接球表面积为9π D.一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC的中点的最 短距离为√13 七校联盟2025年春期期末考试高一数学试题第2页共4页 扫描全能王创建 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(原创)某中学高一年级有男生640人，女生480人为了解该年级男、女学生的身 高差异，采用分层随机抽样若样本容量为70，则应抽取的女生人数为 13.(改编)已知非零向量a,5满足6=(1,4)，（位，）=于，若(a-6列1a,则a在5方向 上的投影向量的坐标为 14.（改编)在三棱锥P-ABC中，AB=V5BC=√5，∠ABC=∠BCP=∠PAB=90°， cos∠CPA=5,则PA的长度 ,三棱锥P一ABC外接球的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤， 15.出分)（原已架高数f)=加6x++0≤6<孕：f0=号 (1)求f(x)的解析式： (2)设函数g(x)=f(x)-c0s3x,求g(x)的对称轴和单调区间， 16.(15分)（改编）如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD, BC=AD=2,AB=1,CD=5. (I)若E是PD中点，证明CE∥平面PAB. (2)证明：平面PAB⊥平面PAD: 17.(原创)(15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 sin24+cos2C=cos2B+sinBsinA. (1)求C; (2)若a=2,A=年求△c的周长. 七校联盟2025年春期期末考试高一数学试题第3页共4页 扫描全能王创建 18.(原创)(17分)学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一 次测试.已知参加此次测试的学生的分数x(=1,2,·,50)全部介于45分到95分之 间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：[45,5)，[55,65)，，[85,95]， 整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求m的值 频率 (2)估计此次数学测试分数的平均数x与中 位数.（保留一位小数) 0.036组距 (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在 65,85)内的学生中抽出5人，查看他们 0.020 的答题情况，再从中选取2个人进行面 0.014 试，求这2人中至少有一人分数在[75,85) 0.006 内的概率 0455565758595测试分数 19.(17分)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 (,z2)(31,2∈C)视为一个向量，记作ā=(，2).类比平面向量的线性运算可以定 义复向量的线性运算；两个复向量a=(名，2)，P=(乙，z)的数量积记作.B,定义 为aB=名马+z2;复向量a的模定义为园=Vaa. (1)设正-(6,8)，0-2，)，求复向量ā与的模： (2)已知对任意的实向量a与，都有a:≤，当且仅当à与平行时取等号： ①求证：对任意实数a,b,cd,不等式ac+bdlsva2+bV&2+d成立，并 写出此不等式的取等条件： ②求证：对任意两个复向量ā与，不等式a·可s仍然成立： (3)当a=同时，称复向量ā与平行.设a=1+,2-),=(,z),zeC, 若复向量a与币平行，求复数z的值。 七校联盟2025年春期期末考试高一数学试题第4页共4页 器 扫描全能王创建七校联盟2025年春期期末考试 高一数学答案 一、选择题 题号 1 23 45678 9 10 11 答案 BD ABD BCD 8.详解： 解：由题意得AD=2-1=5,CD=22+1=3,4C=22+2=25, 从而AD+CD=AC,2,所以AD⊥CD, 所以5号0=5x=9e=5,5n 2 2 5e-x2x25-25.54=45,5-0+2x25=35 所以， 35+5+5+2W5+4W2+35=W5+35 2 所以三棱柱ABC-AB,C截去三棱锥C-ACD后几何体的表面积为92+3√5. 二、填空题： 12.30: 13 14.√2 v5 6 14.详解：如图，作PE⊥平面ABC于点E,连接EA,EC, BCC平面ABCE,ABC平面ABCE,所以PE⊥AB,PE⊥BC, 因为BC⊥CP,CP∩PE=P,CP,PEC平面PEC,所以BC⊥平 面PEC, ECC平面PEC,所以EC⊥BC,同理得EA⊥AB, 四边形EABC为矩形，BC=1,则PA2=1+PE2,PC2=3+PE2, 在△PAC中，AC=√AB2+BC=2,由余弦定理得 PA+PC2-2PA·PCcos.∠CPA=4, 即1+PE+3+PE-2+PE+PEx5=4,解得PE=l,PM=5 4 设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则三梭锥P-ABC外接球即为四棱锥P-ABCE外接球， 即为以EA,EP,EC为棱长的长方体的外接球， 故由PE=1得(2R=PE2+EM+EC2=1+1+3=5,解得R=5 所以球的体积为r=号R。55 I 6 三、解答题： 15.解： 3 1)fo)=sin0+1=),sin0= :0≤0<g,0=四 2 6 ∴f(x)=sin(3x+)+l 6 5分 七校联盟225年春期期末考试高一数学答案第1页共4页 (g()()-ow3in3nw3 6 2 Bsin3x-cos3x+1 2 7分 =sin3x-)+1 6 对称轴：3x-交-石+k红，k∈Z.即x=2+红，keZ…9分 62 93 单调增区间：-T+2kπ<3x-T≤T+2k元，k∈Z, 2 62 解-号号知ss台+子E之 93 0分 单调减区间：+2kx≤3x-s3江+2k,keZ, 2 62 解得2如+名kx≤x 9+5 5r+2kπ，keZ 93 ll分 g(x)的对称轴x= 2江+2k1,keZ 2红keZ区间为不+kx。 93 93 减区间为： +2k1l,k∈Z .5π 13分 16.(1)证明：如图取PA中点F,连接BF,EF, 2分 在△PAD中，E,F分别是PD、PA中点 ∴EFAD且EF=AD 2 4分 又：BC∥AD,BC=AD ∴.BC∥EF,.四边形BCEF为平行四边形 .CE∥F,CE￠平面PAB,BFC平面PAB .CE∥平面PAB 7分 (2)证明：如图取AD中点O,连接CO 8分 :BC∥AD,BC=AD=A0=2 2 ∴.BC∥AO,即四边形BAOC为平行四边形， ∴.BA∥CO,BA=CO=1 在△COD中，C0=1,OD=2,CD=√5.C02+OD2=CD2, ō ∴.CO⊥OD ,AB⊥AD 10分 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, AP⊥AD 11分 又AP,ABC平面PAB,AP∩AB=A, .AD⊥平面PAB: 13分 ,ADC平面PAD: ∴.平面PAB⊥平面PAD .15分 法二： 证明：如图取AD中点O,连接CO 8分 七校联盟2025年春期期末考试高一数学答案第2页共4页 BC//AD.BC=AD=AO=OD=2 ∴，BC∥AO,即四边形BAOC为平行四边形， ∴.BA∥CO,BA=CO=1 在△C0D中，C0=1,OD=2,CD=√5，C02+OD2=CD2, .CO⊥OD .AB⊥AD10分 ,PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB, .平面PAB1平面ABCD1分 又，平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD .AD⊥平面PAB, 13分 ,ADC平面PAD, ∴.平面PAB⊥平面PAD 15分 17.(1)解：：sin2A+cos2C=cos2B+sinBsinA .'sin24+1-sin2C=1-sin2 B+sin Bsin 4 sin2 A+sin2 B-sin2C=sin Bsin A 3分 由正弦定理可得：a2+b2-c2=ab 5分 由余弦定理可得：cosC=+b2-c ab I 2ab 2ab2 0≤C<πC= 3 7分 3交 (2)解：在△4BC中，由(1)可得C= 12 8分 sin B=sin 5z =sin(=6+ 10分 12 46 4 由正弦定理可得： a b sin 4 sin B sinC' 即、2 、 b in交 ,则C=V6,b=V3+1l3分 sin 4 12 则△4BC的周长CABc=a+b+c=2+5+1+V6=3+V5+V6 .15分 18.(1)解：(0.006+0.014+m+0.036+0.020)×10=1, .m=0.024 3分 (2)解：由(1)可得m=0.024,该次考试测试分数的平均数的估计值 x=10×(50×0.006+60×0.014+70×0.024+80×0.036+90×0.020)=75分 6分 设测试分数中位数为a, 测试分数在[45,75)频率：0.006×10+0.014×10+0.024×10=0.44 测试分数在[45,85)频率：0.006×10+0.014×10+0.024×10+0.036×10=0.8 ,0.44<0.5<0.8.75<a<85… 8分 则0.44+(a-75)×0.036=0.5,a≈76.7 410分 (3)解：分数在[65,75)的人数记为x:50×0.024×10=12(人) 分数在[75,85)的人数记为y:50×0.036×10=18(人) x:y=12:18=2:3, 44e+4+440444444+…+444040444 12分 七校联盟225年春期期末考试高一数学答案第3页共4页 则抽取5人中，分数在[65,75)有2人，编号分别为a1,a2,分数在[75,85)有3人，编号为 b,b2,bs 13分 样本空间 2={(a1,a2),(a,b),(a1,b2),(a,b),(a2,b),(a2,b2),(a2,b),(亿，b2),(b,b),(b2,b)} 共10种 15分 记事件A=“至少一人分数在[85,95)”，则(A)=9, 则P氏0=10 17分 19.【详解】 (1)因为-(6,8)，所以d·d=100,所以d的模为10： 因为(1-2,0，所以2·p=6 可得B的模为V6 444分 (2)①设实向量a=(a,b),B=(c,d), 则a.B=ac+bd,园=a2+F,=e2+dF,而a=lac+bd, 根据己知a,s,当且仅当a与平行时取等号，即ad-bc=0, 所以ac+bdsV层+B.C+d正，当且仅当ad-bce=0时等号成立：7分 ②因为云=(=()，所以a-+国 由复数的三角不等式云+司s司+习-同+同， a=(y.6=(s)由as, 得 5+s1,所以k+为G+居+店， +V写+ 所以同sf+非团同+同=++-所 综上所知，a·Bsa‖1. (3)②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k, 使得可=， 根据题意，若复向量a=(1+i,2-i)与阝=(，z)平行， 传》 根据同+同s+V同+同 中等号成立的条件， 应有同-同，则问-2-- 11+i 2 解得k= 所以-) 所以z= 17分 七校联盟225年春期期末考试高一数学答案第4页共4页