第二十四章 相似三角形（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 3．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知在△ABC中，G是△ABC的重心，GE∥BC，BC＝8，那么GE的长度为（） A． B．2 C． D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A． B． C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点． 给出以下结论：①；②． 其中正确结论是（   ）． A．①错误，②正确； B．①正确，②错误； C．①和②都错误； D．①和②都正确． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．若，则 ． 8．如图，若平行于，为中点，，则 ． 9．如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 10．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号） 11．如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为 ． 12．如图在中，，斜边上的高交于D，若，则的长度等于 ． 13．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    14．在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 15．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 16．如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 17．在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本题10分）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 20．（本题10分）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 21．（本题10分）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 22．（本题10分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 23．（本题12分）阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 24．（本题12分）已知：在梯形ABCD中，ADBC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O作OE⊥OB，交BC的延长线于点E． (1)当BC＝EC时，求证：AB＝OE； (2)设BC＝α，用含α的代数式表示线段BE的长，并写出α的取值范围； (3)联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长． 25．（本题14分）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B C D A 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．/ 8． 9．/ 10．/ 11．3 12．6 13．72 14．3 15． 16．或 17． 18．或或或 三、解答题（共9小题，共78分） 19．（10分） 【解析】（1）证明：∵分别是的高线， ∴．（2分） ∵， ∴；（4分） （2）在中，， ∴， ∴．（6分） ∵， ∴．（8分） ∵， ∴， ∴， ∴．（10分） 20．（10分） 【解析】（1）∵， ∴，， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形．（4分） （2）如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①（6分） ∵，， ∴， ∴即② 由①×②得，， ∵，， ∴， ∴，（8分） ∵， ∴， ∴， ∴即．（10分） 21．（10分） 【解析】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则，（2分） ∵点是的中点， ∴， 则， ∴，（4分） ∵， ∴．（5分） （2）， ∵， ∴，（7分） 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．（10分）    22．（10分） 【解析】（1）解：，， ．（3分） ， ，（5分） ， ， ； 答：旗杆的高度为；（7分） （2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）．（10分） 23．（12分） 【解析】（1）解：①若，则；（2分） ②若，则．（4分） （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴．（8分） ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴．（12分） 24．（12分） 【解析】（1）证明：∵，O是AC的中点， ∴，． ∵， ∴．（2分） ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴．（6分） （3）解：设，则． ①当时，延长BO交AD于点G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形BGDE是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（负根舍）．（8分） ②当时，分别过点O、E作，，垂足分别为点M、N，延长BO交AD于点G，如图， 由∠ABC=90°及BC∥AD知，四边形ABEN是矩形， ∴EN=AB=6，AN=BE． ∵， ∴， ∵OA=OC， ∴OB=OG，AG=BC．　 ∴，， ∴， ∴． ∵AB∥OM， ∴（10分） ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴或-（负根舍）． 综上所述满足条件的BC的长为或．（12分） 25．（14分） 【解析】（1）证明：∵，， ∴，（2分） 在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴， 又∵，且， ∴只能，， ∴此时有：，（8分） 设，那么， ∴，， ∴， ∴；（10分） （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）． ∴， ∴， ∴，（12分） 又∵， ∴， ∴设，那么， ∴， ∴， ∴．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列说法正确的个数有（   ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 3．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知在△ABC中，G是△ABC的重心，GE∥BC，BC＝8，那么GE的长度为（） A． B．2 C． D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A． B． C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点． 给出以下结论：①；②． 其中正确结论是（   ）． A．①错误，②正确； B．①正确，②错误； C．①和②都错误； D．①和②都正确． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．若，则 ． 8．如图，若平行于，为中点，，则 ． 9．如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 10．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号） 11．如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为 ． 12．如图在中，，斜边上的高交于D，若，则的长度等于 ． 13．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    14．在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 15．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 16．如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 17．在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本题10分）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 20．（本题10分）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 21．（本题10分）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 22．（本题10分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 23．（本题12分）阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 24．（本题12分）已知：在梯形ABCD中，ADBC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O作OE⊥OB，交BC的延长线于点E． (1)当BC＝EC时，求证：AB＝OE； (2)设BC＝α，用含α的代数式表示线段BE的长，并写出α的取值范围； (3)联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长． 25．（本题14分）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章相似三角形·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【解析】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴设， ∴． 解得． 故选：B． 3．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，与的相似比为，与的相似比为， ∴设， 则，， ， ∴与的相似比为， 故选：B． 4．如图，已知在△ABC中，G是△ABC的重心，GE∥BC，BC＝8，那么GE的长度为（） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】解∵G是△ABC的重心，BC＝8 ∴CD=4， ∵GE∥BC ∴△AGE∽△ADC ∴，即，解得 故选C. 5．下列说法中，正确的是（　　） A． B． C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】解：选项，，题目中右侧为标量，符号表述不严谨，选项错误； 选项，，不一定等于，选项错误； 选项，向量的模长相等仅说明长度相同，但方向可能不同，因此与不一定相等，选项错误； 选项，向量相等要求方向与长度均相同，则模长必然相等，选项正确． 故选：． 6．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点． 给出以下结论：①；②． 其中正确结论是（   ）． A．①错误，②正确； B．①正确，②错误； C．①和②都错误； D．①和②都正确． 【答案】A 【解析】解：如图，连接，过点F作交于点N， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ． 由折叠性质可得， ， 为等腰三角形， 由折叠性质可得， 由可得， 又， 即， ， ． 又， ∴四边形为平行四边形， ，即F为的中点， 由折叠可得， 又， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ，， 在中，， ， 故①错； ∵F为中点，， 中点， ， ， ， ， 故②正确； 综上，只有②正． 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．若，则 ． 【答案】/ 【解析】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 8．如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【解析】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】解：平行四边形中，， 点是边的三等分点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号） 【答案】/ 【解析】解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 11．如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为 ． 【答案】3 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，得，， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 12．如图在中，，斜边上的高交于D，若，则的长度等于 ． 【答案】6 【解析】解：由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：6． 13．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【解析】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 14．在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 【答案】3 【解析】解：如图， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：3． 15．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 【答案】 【解析】解：在中，是边的中点， ， 又∵，， ， 故答案为：． 16．如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 【答案】或 【解析】解：在中，，，， ∴， 如图所示，过点作于点，设， 第一种情况，当时， ∵， ∴， ∴是角平分线， ∵，即，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 第二种情况，当时，， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或 ． 17．在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得：只能过点作 于点， 交于点， 设则， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为： ． 18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 【答案】或或或 【解析】解：若△是等腰三角形，与相似， 如图1， 当，时， ， ， 如图2， 当，时， ， ， 当是等腰三角形，与相似时， 如图3， 当，时， ， ， 如图4， 当，时， ， 设， ， ， ， ， 综上所述：或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本题10分）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本题10分）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． （2）如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴① ∵，， ∴， ∴即② 由①×②得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即． 21．（本题10分）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见解析 【解析】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    22．（本题10分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)多次测量，求平均值（答案不唯一） 【解析】（1）解：，， ． ， ， ， ， ； 答：旗杆的高度为； （2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）． 23．（本题12分）阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【解析】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 24．（本题12分）已知：在梯形ABCD中，ADBC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O作OE⊥OB，交BC的延长线于点E． (1)当BC＝EC时，求证：AB＝OE； (2)设BC＝α，用含α的代数式表示线段BE的长，并写出α的取值范围； (3)联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)BC的长为或 【解析】（1）证明：∵，O是AC的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． （3）解：设，则． ①当时，延长BO交AD于点G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形BGDE是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（负根舍）． ②当时，分别过点O、E作，，垂足分别为点M、N，延长BO交AD于点G，如图， 由∠ABC=90°及BC∥AD知，四边形ABEN是矩形， ∴EN=AB=6，AN=BE． ∵， ∴， ∵OA=OC， ∴OB=OG，AG=BC．　 ∴，， ∴， ∴． ∵AB∥OM， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴或-（负根舍）． 综上所述满足条件的BC的长为或． 25．（本题14分）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)见解析， 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴， 又∵，且， ∴只能，， ∴此时有：， 设，那么， ∴，， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴设，那么， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$