广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试题

学 校 ：_ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 在 密 封 线 内 答 题 无 效 2024- 2025学年高一下期末考试数学模拟卷详解 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.若复数 z= i(1- 4i)，则 |z+ 2i| = ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【详解】由题意，复数 z= i 1-4i = 4+ i，所以 z+2i = 4+3i = 42+32= 5．故选：C. 2.若A 1,-k ,B 3,4 ,C 7,5 ，且A ,B ,C三点共线，则 k的值为 ( ) A. - 7 2 B. 7 2 C. - 3 D. 3 【详解】由点A 1,-k ,B 3,4 ,C 7,5 ，可得向量AB  = 2,k+4 ,BC  = 4,1 ，因为A ,B ,C 三点共线，可得AB  ⎳BC  ，则 2 4 = k+4 1 ，所以 k=- 7 2 ．故选：A. 3.已知锐角三角形边长分别为 2， 3， x，则 x的取值范围是 ( ) A. (1 , 13 ) B. (1 , 5) C. ( 5 , 13 ) D. 不确定 【详解】由三角形是锐角三角形， c> b，所以只需要A ,C为锐角，则 cosA= b 2+c2-a2 2bc > 0，即 13- a2> 0，解得 0< a< 13； cosC= a 2+b2-c2 2ab > 0，即 a2- 5> 0，解得 a> 5，综上可得， 5< a< 13，即 a的取值范围为 ( 5 , 13 )．故选：C. 4.已知单位向量 a , b  满足 a ⋅ (a+ 3b  )= 0，则 a在 b  上的投影向量为 ( ) A. b  B. - b  C. 1 3 b  D. - 1 3 b  【详解】因为 a ⋅ (a+ 3b  )= 0，可得 a2+ 3a ⋅ b  = 0，所以 a ⋅ b  =- 1 3 ，则向量 a在 b  上的投影向量为 a⋅b  b    2 b  = - 13 1 b  =- 1 3 b  ．故选：D. 5.若m , n , l表示直线， α , β , γ表示平面，则下列命题中，正确命题为 ( ) A. m⊥l n⊥l ⇒m⎳ n B. m⊥α n⊥α ⇒m⎳ n C. m⊥α m⊥β ⇒ α⊥ β D. γ⊥α γ⊥β ⇒ α⎳ β 【详解】对于A中，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以A错误； 对于B中，由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以B正确； 对于C中，由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以C错误； 对于D中，在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，所以D错误．故选：B. 6.在四面体ABCD中， E , F分别为棱AC , BD的中点，AD= 6 , BC= 4 , EF= 7，则异面直线 AD与BC所成角为 ( ) ·第 1 页 共 9 页· A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 【详解】如图所示，取CD的中点G，连接EG，FG，则FG⎳BC，EG⎳AD，则∠EGF为异面 直线AD与BC所成的角 (或补角)，因为FG= 1 2 BC= 2，EG= 1 2 AD= 3，所以 cos∠EGF= 4+9-7 2×2×3 = 1 2 ，所以异面直线AD与BC所成角为 π 3 ．故选：D. 7.已知角 α , β∈ (0 , π)，且 sin(α- β) + cos(α+ β) = 0 , sinαsinβ= 2cosαcosβ，则 tan(α- β) = ( ) A. 2 B. 1 3 C. - 1 3 D. - 2 【详解】因为 sinαsinβ= 2cosαcosβ，可得 α≠ π 2 , β≠ π 2 ，则 cosαcosβ≠ 0，可得 sinαsinβ cosαcosβ = 2， 即 tanαtanβ= 2，又由 sin α-β + cos α+β = 0，即 sinαcosβ- cosαsinβ+ cosαcosβ- sinαsinβ= 0，可得 sinαcosβ- cosαsinβ- cosαcosβ= 0，等式两边同时除以 cosαcosβ，可得 tanα- tanβ= 1， 则 tan(α- β) = tanα- tanβ 1+ tanαtanβ = 1 3 ．故选：B. 8.已知A ,B ,C为单位圆O O 为坐标原点)上不同的三点，且∠AOB= 2π3 ，若OC  = λOA  + μOB  (λ , μ∈R)，则当w= 3 2 +1 λ+ μ取最大值时， λμ 为 ( ) A. 3 2 B. 3+1 2 C. 2 3+10 11 D. 2 2 【详解】设圆O的半径为 1，以O为原点，OB  方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A - 1 2 , 3 2 ，B 1,0 ，设C cosθ,sinθ , 0≤ θ< 2π，因为OC  = λOA  + μOB  λ,μ∈R ，所以 cosθ=- 12 λ+μ sinθ= 32 λ  ，所以 λ= 2 3 sinθ， μ= cosθ+ 1 2 λ= cosθ+ sinθ 3 ， 所以w= 3 2 +1 λ+ μ= 3+1 sinθ+ cosθ= 3+1 2+1 sin θ+φ ，其中 tanφ= 13+1 ， 当且仅当 θ+ φ= π 2 + 2kπ , k∈ Z时，w= 3 2 +1 λ+ μ取得最大值，此时 tanθ= tan π2 -φ = 1 tanφ = 3+ 1，则 λ μ = 2 3 sinθ cosθ+ sinθ3 = 2sinθ sinθ+ 3cosθ = 2tanθ tanθ+ 3 = 2 3+2 2 3+1 = 2 3+10 11 ． 故选：C. ·第 2 页 共 9 页· 在 密 封 线 内 答 题 无 效 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.关于平面向量，下列说法正确的是 ( ) A. 若 a > b   ，则 a> b  B. 若 a= b  ，则 a⎳ b  C. 若 a⎳ b  , b  ⎳ c，则 a⎳ c D. 若 a= b  , b  = c，则 a= c 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若 a= b  ，则 a⎳ b  ，故B正确； 对于C，若 b  = 0  ，则 a⎳ b  , b  ⎳ c，但 a与 c不一定平行，故C错误； 对于D，若 a= b  , b  = c，则 a= c，故D正确；故选：BD． 10.已知函数 f (x) =Acos(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0 , |φ|< π)的部分图象如图所示，将函数 f (x)的图象向 左平移 π 6 个单位长度后得到 y= g(x)的图象，则下列说法正确的是 ( ) A. φ=- 5 6 π B. f x+ π 3 =-f -x+ π 3  C. 函数 g(x)为奇函数 D. 函数 g(x)在区间 5π 12 , 3π 4 上单 递减 【详解】对于A中，由函数 f x =Acos ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象，可得A= 2，且 3 4 × 2π ω = 5π 12 + π 3 ，可得 ω= 2，所以 f x = 2cos 2x+φ ．又由 f 5π12 = 2cos 2× 5π 12 +φ = 2， 所以 2× 5π 12 + φ= 2kπ , k∈ Z，所以 φ=- 5π 6 + 2kπ , k∈ Z，因为 φ < π，所以 φ=- 5π6 ，即 f x  = 2cos 2x- 5π 6 ，所以A正确； 对于B中，由 f x+ π 3 = 2cos 2x- π 6 ，且-f -x+ π 3 =-2cos 2x+ π 6 ，因为 2cos 2x- π 6  + 2cos 2x+ π 6 不恒为 0，所以B错误； 对于C中，将函数 f x 的图象向左平移 π6 个单位长度得到 g x = 2cos 2 x+ π6 - 5π 6    = 2cos 2x- π 2 = 2sin2x，则 g x 为奇函数，所以C正确； 对于D中，当 x∈ 5π 12 , 3π 4 ，可得 2x∈ 5π 6 , 3π 2 ，因为 y= sinx在 5π 6 , 3π 2 上单 递减，所 ·第 3 页 共 9 页· 以函数 g x 在区间 5π12 , 3π 4 上单 递减，所以D正确．故选：ACD． 11.如图，矩形ABCD中，AB= 2AD= 2 , E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE (A1∉平面BCDE) ,若M在线段A1C上 (点M与A1 ,C不重合)，则在△ADE翻折过程中，给出下 列判断，其中判断正确的有 ( ) A. 当M为A1C的中点时，与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使DE⊥A1C C. 当四棱锥A1-BCDE体积最大时，点A1到平面BCDE的距离为 2 2 D. 当二面角A1-DE-B的大小为 π 3 时，异面直线A1D与BE所成角的余弦值为 3 4 【详解】对于A中，取DC的中点F，连接MF ,FB，可得四边形BFDE为平行四边形，所以 BF⎳DE，因为BF⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以BF⎳平面A1DE，又因为M ,F分别为 A1C和CD的中点，所以MF⎳A1D， 同理可得MF⎳平面A1DE，因为BF∩MF=F，且BF , MF⊂平面BMF，所以平面BMF⎳平面A1DE，又因为BM⊂平面BMF，所以BM⎳平面 A1DE，所以与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，连接CE，取DE的中点H，连接A1H ,CH，可得 A1H⊥DE，又因为A1H∩A1C=A1，A1H ,A1C⊂平面A1HC，所以DE⊥平面A1HC，因为CH ⊂平面A1HC，所以DE⊥HC，必有DC=CE，但DC= 2 ,CE= 2，两者不等，所以不可能有 DE⊥A1C，所以B错误； 对于C中，由△ADE是等腰直角三角形，则A到DE的距离是 2 2 ，当平面A1DE⊥平面BCDE 时，此时四棱锥A1-BCDE体积最大，点A1到平面BCDE的距离为A1H= 2 2 ，所以C正确； 对于D中，由A1H⊥DE，且HF⊥DE，可得二面角A1-DE-B的平面角∠A1HF，当二面角A1 -DE-B的大小为 π 3 时，即∠A1HF= π 3 ，因为A1H=HF= 2 2 ，所以△A1HF为等边三角形， 可得A1F= 2 2 ，又由BE⎳DF，所以异面直线A1D与BE所成得的角，即为直线A1D与DF所成 得的角，即∠A1DF，则 cos∠A1DF= A1D2+FD2-A1F 2 2A1D ⋅FD = 1+1- 12 2×1×1 = 3 4 ，所以D正确．故选： ACD. ·第 4 页 共 9 页· 学 校 ：_ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 在 密 封 线 内 答 题 无 效 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.某校高一共有学生 800人，现采用分层抽样的方法从中抽取 80人进行体能测试，若这 80人中有 39人是男生，据此估计该校高一男生有______人. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为： 80 800 = 1 10 ，所以该校高一男生的人数估计为： 391 10 = 390. 故答案为： 390. 13.已知 sinα= 5 5 ，则 sin 2α- π 2 =______． 【详解】因为 sinα= 5 5 ，则 sin 2α- π 2 =-cos2α= 2sin2α- 1=- 3 5 ．故答案为：- 3 5 . 14.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为 304 3 ，上底面A1B1C1D1，下底面ABCD的边长分别为 4， 6，记 AC , BD交于点 O , A1C 1 , B 1D 1 交于点 O1，则 OA 1= ______，若四棱台 ABCD - A1B1C1D1的各个顶点均在球O2的表面上，则球O2的表面积为______． 【详解】如图，连接OO1，则OO1⊥底面ABCD，由题意可得A1B1= 4，AB= 6，∴该正四棱台 的体积V= 1 3 × 42+62+ 42×62 ⋅OO1= 304 3 ，∴OO1= 4，连接OA1，故OA1= OO21+O1A21 = 4 2+ 2 2 2= 2 6；设O1O2= x，则A1O2= 2 2 2+x2= x2+8，AO2= 4-x 2+ 3 2 2， 由AO2=A1O2，解得 x= 13 4 ，∴ A1O2= 134  2 +8= 3 33 4 ，即球O2的半径R= 3 33 4 ，∴球 O2的表面积为 4πR2= 297 4 π． 故答案为： 2 6， 297 4 π. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知复数 z1= (m+ 1) +mi , z2= 1+ i，其中m∈R , i为虚数单位． (1)若复数 z1 ⋅ z2为实数，求实数m 值； (2)在复平面内，若复数 z= z1+ 2 z2 对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． ·第 5 页 共 9 页· 【详解】 (1)由复数 z1= m+1 +mi， z2= 1+ i，可得 z1·z2= 1+ 2m+1 i，因为复数 z1·z2为实 数，所以 2m+ 1= 0，解得m=- 1 2 . (2)由复数 z= z1+ 2 z2 = m+3 +mi，因为复数 z= z1+ 2 z2 对应的点在第一象限，则满足 m+3>0 m>0  ，解得m> 0，所以m的取值范围是 0,+∞ . 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 2的菱形，∠DAB= 60°，△PAD是以PA为 斜边的等腰直角三角形， △PCD是以 PC为斜边的等腰直角三角形， F、 G、 H分别是 PB、 CD、PA的中点． (1)求证：GF⎳平面PAD (2)求直线PB与平面ABCD所成角． 【详解】 (1)连接FH ,HD， 因为F为PB中点，H为PA的中点，所以HF⎳AB，且HF= 1 2 AB， 又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点， 所以DG⎳AB，且DG= 1 2 AB， 所以HF⎳DG，且HF=DG，所以四边形HDGF为平行四边形， 所以GF⎳HD， 因为GF⊄平面PAD ,HD⊂平面PAD， 所以GF⎳平面PAD； (2)连接BD，由题PD⊥AD，PD⊥CD，且AD ,CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D， 所以PD⊥平面ABCD， 所以直线BP在平面ABCD内的射影为直线BD， 所以直线PB与平面ABCD所成角即为∠PBD， 在菱形ABCD中，∠DAB= 60°，所以BD=AB=AD= 2， 在△PAD中，PD=AD= 2， 所以在Rt△PBD中，PD=BD= 2，所以该三角形为一个等腰直角三角形， 所以∠PBD= 45°，即直线PB与平面ABCD所成角 45°. ·第 6 页 共 9 页· 在 密 封 线 内 答 题 无 效 17.在△ABC 中，内角A，B，C对应的边分别是 a， b， c，且 bcosC+ ccosB= 2acosA． (1)求角A； (2)若AB的长为 3，AC边上的中线BD长为 7，求△ABC的周长． 【详解】 (1)因为 bcosC+ ccosB= 2acosA ,由正弦定理得 sinBcosC+ sinCcosB= 2sinAcosA，即 sinA= 2sinAcosA，因为 0<A< π，可得 sinA≠ 0，则 cosA= 1 2 ，所以∠A= π 3 . (2)在△ABD中，因为AB= 3 ,BD= 7，由余弦定理得AB2+AD2-BD2= 2 ⋅AB ⋅AD ⋅ cosA， 即 9+AD2- 7= 2× 3×AD× 1 2 ，解得AD= 1或AD= 2， 当AD= 1时，AC= 2AD= 2，则BC2=AB2+AC2- 2 ⋅AB ⋅AC ⋅ cosA= 7，即BC= 7，此时 周长C= 5+ 7； 当AD= 2时，AC= 2AD= 4 ,则BC2=AB2+AC2- 2 ⋅AB ⋅AC ⋅ cosA= 13，即BC= 13，此时 周长为C= 7+ 13， 综上所述，△ABC的周长为 5+ 7或 7+ 13 . 18. ·第 7 页 共 9 页· 19. ·第 8 页 共 9 页· 学 校 ：_ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 在 密 封 线 内 答 题 无 效 （欢迎关注微信公众号：伍海军） ·第 9 页 共 9 页· 学 校 ：_ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 在 密 封 线 内 答 题 无 效 2024- 2025学年高一下期末考试数学模拟卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.若复数 z= i(1- 4i)，则 |z+ 2i| = ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.若A 1,-k ,B 3,4 ,C 7,5 ，且A ,B ,C三点共线，则 k的值为 ( ) A. - 7 2 B. 7 2 C. - 3 D. 3 3.已知锐角三角形边长分别为 2， 3， x，则 x的取值范围是 ( ) A. (1 , 13 ) B. (1 , 5) C. ( 5 , 13 ) D. 不确定 4.已知单位向量 a , b  满足 a ⋅ (a+ 3b  )= 0，则 a在 b  上的投影向量为 ( ) A. b  B. - b  C. 1 3 b  D. - 1 3 b  5.若m , n , l表示直线， α , β , γ表示平面，则下列命题中，正确命题为 ( ) A. m⊥l n⊥l ⇒m⎳ n B. m⊥α n⊥α ⇒m⎳ n C. m⊥α m⊥β ⇒ α⊥ β D. γ⊥α γ⊥β ⇒ α⎳ β 6.在四面体ABCD中， E , F分别为棱AC , BD的中点，AD= 6 , BC= 4 , EF= 7，则异面直线 AD与BC所成角为 ( ) A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 7.已知角 α , β∈ (0 , π)，且 sin(α- β) + cos(α+ β) = 0 , sinαsinβ= 2cosαcosβ，则 tan(α- β) = ( ) A. 2 B. 1 3 C. - 1 3 D. - 2 8.已知A ,B ,C为单位圆O O 为坐标原点)上不同的三点，且∠AOB= 2π3 ，若OC  = λOA  + μOB  (λ , μ∈R)，则当w= 3 2 +1 λ+ μ取最大值时， λμ 为 ( ) A. 3 2 B. 3+1 2 C. 2 3+10 11 D. 2 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.关于平面向量，下列说法正确的是 ( ) A. 若 a > b   ，则 a> b  B. 若 a= b  ，则 a⎳ b  C. 若 a⎳ b  , b  ⎳ c，则 a⎳ c D. 若 a= b  , b  = c，则 a= c ·第 1 页 共 4 页· 10.已知函数 f (x) =Acos(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0 , |φ|< π)的部分图象如图所示，将函数 f (x)的图象向 左平移 π 6 个单位长度后得到 y= g(x)的图象，则下列说法正确的是 ( ) A. φ=- 5 6 π B. f x+ π 3 =-f -x+ π 3  C. 函数 g(x)为奇函数 D. 函数 g(x)在区间 5π 12 , 3π 4 上单 递减 11.如图，矩形ABCD中，AB= 2AD= 2 , E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE (A1∉平面BCDE) ,若M在线段A1C上 (点M与A1 ,C不重合)，则在△ADE翻折过程中，给出下 列判断，其中判断正确的有 ( ) A. 当M为A1C的中点时，与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使DE⊥A1C C. 当四棱锥A1-BCDE体积最大时，点A1到平面BCDE的距离为 2 2 D. 当二面角A1-DE-B的大小为 π 3 时，异面直线A1D与BE所成角的余弦值为 3 4 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.某校高一共有学生 800人，现采用分层抽样的方法从中抽取 80人进行体能测试，若这 80人中有 39人是男生，据此估计该校高一男生有______人. 13.已知 sinα= 5 5 ，则 sin 2α- π 2 =______． 14.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为 304 3 ，上底面A1B1C1D1，下底面ABCD的边长分别为 4， 6，记 AC , BD交于点 O , A1C 1 , B 1D 1 交于点 O1，则 OA 1= ______，若四棱台 ABCD - A1B1C1D1的各个顶点均在球O2的表面上，则球O2的表面积为______． ·第 2 页 共 4 页· 在 密 封 线 内 答 题 无 效 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知复数 z1= (m+ 1) +mi , z2= 1+ i，其中m∈R , i为虚数单位． (1)若复数 z1 ⋅ z2为实数，求实数m 值； (2)在复平面内，若复数 z= z1+ 2 z2 对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 2的菱形，∠DAB= 60°，△PAD是以PA为 斜边的等腰直角三角形， △PCD是以 PC为斜边的等腰直角三角形， F、 G、 H分别是 PB、 CD、PA的中点． (1)求证：GF⎳平面PAD. (2)求直线PB与平面ABCD所成角． 17.在△ABC 中，内角A，B，C对应的边分别是 a， b， c，且 bcosC+ ccosB= 2acosA． (1)求角A； (2)若AB的长为 3，AC边上的中线BD长为 7，求△ABC的周长． ·第 3 页 共 4 页· 18. 19. （欢迎关注微信公众号：伍海军） ·第 4 页 共 4 页·