专题01 集合（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题01 集合 目录 类型一、利用集合中元素的特性求解问题 1 类型二、集合的基本关系及参数问题 4 类型三、集合的基本运算及参数问题 8 类型四、集合中结构不良问题 11 类型五、集合中的新定义问题 15 20 类型一、利用集合中元素的特性求解问题 1.集合中元素的特性 ①定性（集合中的元素必须是确定的）； ②互异性（集合中的元素是不相同的）； ③无序性（集合中的元素是没有顺序的）； 2.元素与集合的关系 ①属于（用符号“”表示） ②不属于（用符号“”表示）． 例1．已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 【答案】或 【分析】根据题意中集合的性质，分类讨论分析求解即可. 【详解】因为，则，又，故. 由知，，则，即或. 因为， 若，则，由知，存在使且，显然不成立； 若，则，存在使，则. 由于的各元素之和为，则，又，故. ①当时，则，因为的各元素之和为，所以，解得. ②当时，则，故. 又，故，则. 若，则，无正整数解； 若，则，解得. 综上所述，或. 故答案为：{1,2,3,9,12}或{1,3,5,9,11} 变式1-1．设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 【答案】C 【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可. 【详解】若时，， 则，则 ， 这与题意矛盾，故不满足题意； 故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为 ，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且 ，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个， 即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由 ，得，又， 所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则 ；若，，则，且. 变式1-2．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 变式1-3．设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 类型二、集合的基本关系及参数问题 1. 集合的基本关系 ①子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). ②真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B. ③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【重要性质】 1 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为,真子集的个数为－1,非空子集个数为,非空真子集的个数为－2. 2 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3 奇数集： 例2．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合M,N,P化简变形成统一形式，然后分析判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 例3．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 变式2-1．已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 因为， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 故选：B. 变式2-2．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 变式2-3．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 类型三、集合的基本运算及参数问题 集合的基本运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 【重要性质】 1 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 例4．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 变式4-1．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 变式4-2．已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，再根据求解即可； （2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）当时，， ， 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 变式4-3．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 类型四、集合中结构不良问题 例5．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 变式5-1．从①，②，③“”是“”的充分条件，这三个条件中选择一个，补充到本题第（2）问的横线上，求解下列问题． 问题：已知集合， (1)当时，求； (2)若 ，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接计算并集得到答案. （2）三个选项均等价于，考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】（1），则，，则. （2）若选择①：，即； 若选择②：，即； 若选择③：“”是“”的充分条件，则； 综上所述：不管选择哪个均等价于， 当时，，无解； 当时，则，解得， 综上所述：. 变式5-2．在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. (1)若集合的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）根据子集确定集合元素个数，即可得实数的值； （2）根据集合与集合的关系确定集合中的元素情况，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）集合的子集有2个，集合元素个数为1 ，即解得： （2）选①：集合 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选②：集合， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是. 变式5-3．设全集为，或，． (1)若，求，. (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）根据集合的交集、并集、补集直接运算即可； （2）选①根据建立不等式组求解，选②，分与讨论，建立不等式求解，选③，分，两种情况讨论，建立不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， . （2）选①. 因为， 所以， 得. 选②. 当时，满足， 所以， 得； 当时， 因为，所以 ， 解得. 综上：. 选③. 当时，满足， 所以， 得； 当时， 因为， 所以或， 此时两不等式组均无解. 综上：. 类型五、集合中的新定义问题 例6．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 变式6-1．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，集合，当去掉元素时，剩余元素组成的集合为， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以①正确； 对于②，对于三元集，若去掉元素，剩余的元素组成的集合为， 把集合分成两个非空集合，可得集合，， 根据集合元素的互异性，可得，所以分成两个的集合的元素之和不相等， 所以三元集可能是“可分集合”，所以②不正确； 对于③中，集合，若去掉元素，剩余元素组成集合， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以③不正确； 对于④中，若四元集是“可分集合”，不妨设， 若去掉，则；若去掉，则， 所以，显然与矛盾，所以集合不可能是“可分集合”； 对于⑤中，假设五元集是“可分集合”，不妨设， 则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以或， 也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以有或， 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾， 所以假设不成立，所以五元集一定不是“可分集合”，所以⑤正确. 综上可得，只有①⑤正确. 故选：B. 【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 变式6-2．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)，其中. 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【详解】（1）因为，所以不是“一集合”． （2）设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． （3）若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 变式6-3．给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. (1)判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. (2)若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； (3)若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由“和合集”的定义判断即可； （2）由“和合集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【详解】（1）由， ， 所以， 故集合是“和合集”. （2）由题设，令， 则，是关于的方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3）若，不妨令，即， 则，，矛盾，所以； 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“和合集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“和合集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 一、单选题 1．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 2．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 3．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 二、多选题 4．已知集合，，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】求得集合的关系判断选项A；求得集合判断选项B；求得集合判断选项C；利用为偶数判断选项D. 【详解】根据题意，可得集合A表示除以2余数为1的自然数集， 集合表示除以3余数为1的自然数集， 集合表示除以4余数为1的自然数集， 集合表示除以3余数为2的自然数集， 或， 则，所以选项A正确； 或N，选项B不正确； ，选项C正确； 若，则为偶数，故，选项D正确． 故选：ACD． 5．用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验. 三、解答题 6．已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求得，，结合集合交集、并集的运算，即可求解； （2）由得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，集合， ， 由集合交集和并集的定义与运算，可得，. （2）由非空集合，， 因为，可得，因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 7．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，分别对进行讨论再结合，从而可求解. （2）分别对进行讨论再结合，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，由，可得； 当时，，由，可得； 综上所述：的取值范围为. （2）当时，，此时，故符合题意； 当时，，由，可得，解得； 当时，，由，可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 8．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 9．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 10．设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草． (1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草： ， ； (2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草； (3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草． 【答案】(1)存在三叶草，；不存在三叶草. (2)证明过程详见解析 (3)证明过程详见解析 【分析】（1）先找到有共同元素的三个集合，再验证即可得到答案. （2）每个 可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值,然后再研究存在三叶草时，各个维度的坐标需满足的条件，然后用反证法证明. （3）需要证明当集合数量足够大时，必然存在三叶草，这里可以用鸽巢原理和集合的对称性来证明. 【详解】（1）对于，检查是否存在三个集合使得两两交集相等； 选取三个集合，，，发现交集分别为，，，不满足. 再尝试其他组合，第1，2，5个集合，，， 它们的交集均为，因此存在三叶草. 对于，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草. （2）给定 ，其中：，，，； 每个 可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值. 我们需要证明不存在三个集合 使得它们两两的交集相同， 假设存在三叶草，则需要满足 意味着： 和 在相同维度上取值相同; 和 在相同维度上取值相同; 和 在相同维度上取值相同; 这意味着 在所有维度上的相同性必须一致, 换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同; 由于每个维度只有 2 种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如 ）; 或者两两不同（如 ），但这是不可能的，因为每个维度只有 2 种取值; 因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同, 这意味着 ，但题目要求集合两两不同，矛盾. 因此，不存在三叶草. （3）固定一个集合，考虑其他集合与的交集， 的子集有 种可能，因此 有 种可能； 对于每个，定义， 下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理， 它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1个鸽巢被两只或多只鸽子占据， 即若有个鸽巢，个鸽子，则至少有1个巢内有至少2个鸽子， 至少数公式：当鸽子数不能被鸽巢数整除时，至少有一个鸽巢中会有（商+1）个鸽子， 另外，规定当，为整数时，，当时，， 其中，由鸽巢原理（相当于只鸽子飞回个巢）， 可知存在至少 个 使得 相同， 当时，由是两两不同的一元集合组成的集合序列， 可得,所以存在三叶草. 当时，至少存在2个 使得 相同，假设为， 则，同理 对于集合也是如此，即, 对于集合也是如此，即, 对于集合也是如此，即, 找到三个集合 满足 . 当 时， 中一定存在三叶草. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 目录 类型一、利用集合中元素的特性求解问题 1 类型二、集合的基本关系及参数问题 4 类型三、集合的基本运算及参数问题 8 类型四、集合中结构不良问题 11 类型五、集合中的新定义问题 15 20 类型一、利用集合中元素的特性求解问题 1.集合中元素的特性 ①定性（集合中的元素必须是确定的）； ②互异性（集合中的元素是不相同的）； ③无序性（集合中的元素是没有顺序的）； 2.元素与集合的关系 ①属于（用符号“”表示） ②不属于（用符号“”表示）． 例1．已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 变式1-1．设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 变式1-2．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1-3．设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 类型二、集合的基本关系及参数问题 1. 集合的基本关系 ①子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). ②真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B. ③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【重要性质】 1 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为,真子集的个数为－1,非空子集个数为,非空真子集的个数为－2. 2 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3 奇数集： 例2．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）． A． B． C． D． 例3．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 变式2-1．已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 变式2-3．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 类型三、集合的基本运算及参数问题 集合的基本运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 【重要性质】 1 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 例4．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 变式4-1．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 变式4-2．已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 变式4-3．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 类型四、集合中结构不良问题 例5．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 变式5-1．从①，②，③“”是“”的充分条件，这三个条件中选择一个，补充到本题第（2）问的横线上，求解下列问题． 问题：已知集合， (1)当时，求； (2)若 ，求实数a的取值范围． 变式5-2．在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. (1)若集合的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 变式5-3．设全集为，或，． (1)若，求，. (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 类型五、集合中的新定义问题 例6．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 变式6-1．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-2．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 变式6-3．给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. (1)判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. (2)若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； (3)若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 一、单选题 1．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 2．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 3．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 4．已知集合，，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 7．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8．已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 9．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 10．设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草． (1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草： ， ； (2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草； (3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$