精品解析：上海市宝山区教育学院附属中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

上海市宝教院附中2024－2025学年第二学期七年级期中考试数学试题 考生注意： 1、本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分100分，答题纸共4页． 2、作答前，在答题纸指定位置写上姓名、班级、座位号．将核对后的二维码贴在答题纸指定位置． 3、所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题（每题2分共16分） 1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 3. 在中，，则是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 三角形的高线交于一点 D. 三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 5. 如图，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ） A B. C. D. 7. 如图，是中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（ ）． A. B. C. D. 与的长短关系不确定 8. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 二、填空题（每空3分，共30分） 9. 已知，①用含的代数式表示，则__________；②当时，__________；③当时，则的取值范围为：__________． 10. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 11. 根据图中的数据，可得的度数为_________________． 12. 如图，《周礼考工记》记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”．即：宣矩，欘宣（矩）．问：图为中国古代强弩图，图为强弩图部分组件示意图．矩，欘，则____度． 13. 如图，在三角形中，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是______． 14. 如图，如果平分，，，那么的度数是______． 15. 如图，已知面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为____． 16. 如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 三、计算题（共20分） 17. 解不等式： 18. 解不等式组： 19. 解不等式组，并在数轴上表示解集 20. a、b、c为三角形三边，化简： 四、解答题（共34分） 21. 尺规作图：在图中画出边上的中线、及的平分线 22. 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 23. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 24. 如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 25. 已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F． （1）当 绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到时，在图2种情况下，求证：． （3）当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝教院附中2024－2025学年第二学期七年级期中考试数学试题 考生注意： 1、本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分100分，答题纸共4页． 2、作答前，在答题纸指定位置写上姓名、班级、座位号．将核对后的二维码贴在答题纸指定位置． 3、所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题（每题2分共16分） 1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断A，B，取特殊值判断C，D即可． 【详解】解：A：∵a＞b，∴a-3＞b-3，故A错误，不符合题意； B：∵，∴，∴，故B正确，符合题意； C：当c=0时，，故C错误，不符合题意； D：a=1，b=-2时，a2＜b2，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 3. 在中，，则是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和等于，列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 【详解】解：设三个内角的度数分别为，，则 ， 解得， ∴，， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 三角形的高线交于一点 D. 三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线等知识点，根据三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线逐项判断即可． 【详解】解：A．三角形角平分线是线段，故本选项错误，不符合题意； B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意； C．锐角三角形和直角三角形的高线交于一点，钝角三角形的高线不相交，故本选项错误，不符合题意； D．三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 6. 某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 7. 如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（ ）． A. B. C. D. 与的长短关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点G，使，连接，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【详解】如图，延长至点G，使，连接， 是边上的中线， , 又， 是垂直平分线， ， 又 (SAS)， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键． 8. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 二、填空题（每空3分，共30分） 9. 已知，①用含的代数式表示，则__________；②当时，__________；③当时，则的取值范围为：__________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】①由移项即可得到，②把代入即可得到答案；③利用不等式的性质得到，即可得到的取值范围． 【详解】解：①由得到， ②当时，， ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，， 【点睛】此题考查了不等式的性质的应用、代入法、代数式的值等知识，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 10. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中的两个方程相加可推出，则根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 根据图中的数据，可得的度数为_________________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12. 如图，《周礼考工记》记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”．即：宣矩，欘宣（矩）．问：图为中国古代强弩图，图为强弩图部分组件示意图．矩，欘，则____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新概念的理解，直角三角形两锐角互余，角度的计算，首先求出矩，欘宣矩，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在三角形中，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故答案为：． 14. 如图，如果平分，，，那么的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的相关计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再用平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15. 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长交于E，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，设的面积为m，于是得到结论． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P，， 又知，， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴和等底同高， ∴， 设的面积为m， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 三、计算题（共20分） 17. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．根据解一元一次不等式的步骤即可解得答案． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题关键；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 则不等式组的解集为：． 19. 解不等式组，并在数轴上表示解集 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，按照解不等式的一般步骤，先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 20. a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 四、解答题（共34分） 21. 尺规作图：在图中画出边上的中线、及的平分线 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的概念，尺规作图---作线段的垂直平分线和角的平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 作线段的垂直平分线与线段的交点即为线段的中点，连接中点与点即为中线；以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以该两交点为圆心，大于两交点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧在内部交于一点，以点为顶点，过该交点作射线，即为所求． 【详解】解：如图，中线，射线即为所求： 22. 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 【答案】5<c <9 【解析】 【分析】由a2+b2=10a+8b-41，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 【详解】解：∵满足a2+b2=10a+8b-41， ∴a2-10a+25+b2-8b+16=0， ∴（a-5）2+（b-4）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-4）2≥0， ∴a-5=0，b-4=0， ∴a=5，b=4； ∴5-4＜c＜5+4， ∵c是最长边， ∴5＜c＜9． 【点睛】考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 23. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形外角和性质的综合，理解垂线的定义，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，外角和性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理，垂线和角平分线的定义可得，，根据三角形外角和的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：是高，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 24. 如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 25. 已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F． （1）当 绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到时，图2种情况下，求证：． （3）当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）不成立， 【解析】 【分析】（1）首先利用证明，得，再证明是等边三角形，且，得可证明结论； （2）将顺时针旋转120°，得，利用证明，得，可得结论； （3）将顺时针旋转120°，得，同理利用证明，得，可得结论． 【小问1详解】 ∵ ∴, 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 如图，将顺时针旋转120°，得， ∴ ∵ ∴点A与点C重合， ∵ ∴ ∴点G、C、F三点共线， ∵ ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 不成立，，理由如下： 如图，将顺时针旋转120°，得， ∴， 由（2）同理得，点C、F、G三点共线， ∵ ∴点A与点C重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在与中， ， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $