精品解析：河南省郑州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

郑州市2024～2025学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则中的长为（ ）． A. B. 2 C. D. 3. 在中，若，，，则（ ）． A. B. C. 2 D. 8 4. 数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（ ）． A. 7 B. 11 C. 13 D. 17 5. 已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（ ）． A. 等边三角形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 6. 已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（ ）． A. B. C. D. 8. 数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若，，则面积的最大值为（ ）． A. 3 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）． A. 若，则点Z的集合是圆 B. 若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C. 若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D. 若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 10. 已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（ ）． A. 数据，，…，的平均数是7 B. 数据，，…，的方差是16 C. 数据，，…，，，，…，的平均数为3 D. 数据，，…，，，，…，的方差为4 11. 如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为 D. 点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，若与垂直，则______． 13. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 已知，角的对边分别是，已知，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值． 16. 康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） （3）庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求角A； （2）点M在线段上，且满足．若，求的面积． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点．求： （1）求直三棱柱外接球球O的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别是与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，，求； （2）若，，且，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E，F分别为，中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2024～2025学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义写出即可. 【详解】由共轭复数的概念及，则. 故选：A 2. 已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则中的长为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜二测画法求原图中相关线段长，进而求中的长. 【详解】由题设及斜二测画法知，原图中，且高， 显然是的中点，所以. 故选：B 3. 在中，若，，，则（ ）． A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用余弦定理求边长即可. 【详解】由余弦定理知. 故选：A 4. 数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（ ）． A. 7 B. 11 C. 13 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】应用百分位数的求法求第70百分位数. 【详解】由题设，数据从小到大依次为， 所以，故第70百分位数是第5个数，为11. 故选：B 5. 已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（ ）． A. 等边三角形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图， 当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 6. 已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系，应用平面的基本性质及线面平行的判定判断各项的正误. 【详解】A：，，则平行或异面，错； B：，，则或，错； C：，，则可能平行、相交、异面，错； D：，则平面中必存在一条直线， 而，则，，，故，对. 故选：D 7. 为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求目标概率. 【详解】由题意，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. 故选：C 8. 数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若，，则面积的最大值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用正余弦边角关系将已知条件化为，代入已知三角形面积公式求其最大值. 【详解】由，则， 根据正余弦边角关系，有，整理得， 所以三角形面积， 当，时，最大面积. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）． A. 若，则点Z的集合是圆 B. 若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C. 若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D. 若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各项复数模的关系式，确定对应点轨迹，即可得. 【详解】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对； B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对； C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对； D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错. 故选：ABC 10. 已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（ ）． A. 数据，，…，的平均数是7 B. 数据，，…，的方差是16 C. 数据，，…，，，，…，的平均数为3 D. 数据，，…，，，，…，的方差为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用均值、方差的性质求新数据的均值和方差判断A、B，应用分层抽样的均值和方差求法判断C、D. 【详解】由题意，， A：由题设，数据平均数为，对； B：由题设，数据方差为，对； C：由题设，数据平均数为，错； D：由题设，数据方差为 ，对； 故选：ABD 11. 如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为 D. 点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用反证思想，假设平面，得到，再由得到矛盾；B过作，得，结合线面平行的判定即可判断；C过作，则异面直线与所成角，即为与所成角，根据已知并利用余弦定理、向量数量积的运算律等求的大小即可；D首先确定的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆弧上，进而求轨迹长，即可判断. 【详解】A：若平面，平面，则，又，故， 而面，面，则， 由于直线外一点与直线垂直的直线有且仅有一条，故有矛盾，错； B：过作，，则， 又，则，且，所以， 故为平行四边形，则，平面，平面， 所以平面，对； C：过作，则异面直线与所成角，即为与所成角， 面，面，则， 由题设为平行四边形，则，故，， 由，， 而，，故， 所以， 所以，则，对； D：若与底面所成的角为，面，，则的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆弧上， 由上分析易知，，且到的距离， 故的轨迹与的交点为，则，所以， 所以，故，则轨迹长度在之间， 显然不在该范围内，错. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，若与垂直，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为：5 13. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图及弧长公式求圆锥底面周长，进而确定底面半径，再应用圆锥表面积的求法求解. 【详解】由弧长公式知，圆锥底面周长为， 若圆锥的底面半径为，则，即， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 14. 已知，角的对边分别是，已知，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理将展开，再结合正弦定理将边化为角，进而得出关于的表达式，最后根据的范围求解的取值范围. 【详解】因为，根据余弦定理， 所以. 根据正弦定理的. 因为. 所以 化简得，. 继续化简为. 因为，所以， 所以. 等式两边同时除以得. 因为，所以. 令，则，所以，在时单调递减， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求参数值； （2）写出复数对应点坐标，由点在直线上列方程求参数值. 【小问1详解】 由纯虚数知，可得，故，则； 【小问2详解】 由题设，对应点为，且在上， 所以，则， 所以或. 16. 康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） （3）庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 【答案】（1）84 （2）86.67 （3）． 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图应用以区间中点值乘以频率求和计算平均数即可； （2）应用频率分布直方图应用频率和为计算中位数即可； （3）先应用分层抽样得出抽取人数，再应用古典概型计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 平均数为． 【小问2详解】 ∵，， ∴中位数落在内，令中位数为m， 则，解得． 【小问3详解】 ∵评分在、内的频率分别是0.15，0.3， ∴在中抽取人，记为a，b． 在中抽取人，记为A，B，C，D． 从6人中随机抽取2人，则有： ，，，，，，，，， ，，，，，，共15个基本事件， 设“选取的2人评分分别在、内各1人”为事件M， 则满足条件M的有：，，，，，，，， 共8个基本事件． ∴． ∴选取的2人评分分别在和内各1人的概率为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求角A； （2）点M在线段上，且满足．若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理，再结合二倍角正弦公式计算结合角的范围即可求解； （2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， ∵，∴，，即， ∵，∴，． 【小问2详解】 令，，则． 又，四边形为菱形，为的角平分线． ，， ，即， 由余弦定理可得：， 即：，解得：， ∴． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点．求： （1）求直三棱柱外接球球O的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设是等边三角形，结合棱柱的结构特征求其外接球的半径，进而求其表面积； （2）由等体积法，结合棱柱的体积公式求点面距； （3）在平面中，延长、，使得，连接，由线面角定义有即为平面与平面所成的角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 由题设，易知是等边三角形． 设三角形，三角形的外心分别是、， 直三棱柱的外接球半径是R， 由题意知，，， ∴， ∴直三棱柱外接球的表面积为． 【小问2详解】 由题意知，，， ∴，， 设点到平面的距离为d，且点到平面的距离为3， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 在平面中，延长、，使得，连接， ∵直三棱柱中，M为的中点， ∴， ∴． 又直三棱柱中，平面， ∴即为平面与平面所成的角． 在中，，， ∴， 平面与平面所成角的余弦值是． 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别是与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，，求； （2）若，，且，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E，F分别为，中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，两边平方可得答案； （2）计算出、，利用平面向量的夹角公式可得答案； （3）设，，利用平面向量的线性运算得出、关于的关系式，利用余弦定理可和平面向量数量积的运算性质化简得出，再由辅助角公式、三角函数的性质可得答案； 【小问1详解】 ，， ，； 【小问2详解】 ，， 同理：． 又， ∴，，； 【小问3详解】 在仿射坐标系中，设，， ∵，∴． 又∵E，F分别为，中点， ∴， ∴， ， 即， 又，∴中，，， 有正弦定理可得：， ∴，． 又，∴， ∴ （其中） 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $