5.3 函数的单调性 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

5.3阶段综合 黑题 阶段强化 很时：45min 1,(多选)已知函数f(x)的定义域是6.函数y=f(x)是实数集上的单调增函数 [-2,4],且f(x)在区间[-2,1]上是增函 且a+b>0,则 ( 数，在区间[1,4]上是减函数，则以下说法 A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 一定正确的是 B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) A.f1)>f4) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) B.f八-2)=f4) D.f八a)-fb)<f-a)-f-b》 C.f(-1)<f(2) 7.(2025·江苏连云港高一期中)已知函数 D.f(x)的最大值为f1) f(x)=1x+21+x-3,若f(a)>f(3-2a),则实数 2.(多选)(2025·江西宜春高一月考)下列 a的取值范围是 ( 函数值域为[1，+)的是 A.(-0,-2) B.(-,-1) A.y=x+I B.y=x2+2x+2 C.(1,+) D.(3,+0) 1-x 1 C.y= D.y=x--+1(x≥1) 8.已知函数f(x)不是一次函数，且当x∈ 1+x 3.*(2025·四川自贡高三期中)函数f代x)在 [-2,-1]时，f(x)∈[-2，-1]，且在区间 (-4,7)上是增函数，则使y=f(x-3)+2为增 [-2,-1]上单调递增.写出一个满足要求的函 函数的区间为 数f八x)= A.(-2,3) B.(-1,7) 9.。(2025·广东深圳高一期中)已知函数 C.(-1,10) D.(-10.-4) (x)=在(2，+)上单调递减，则实数a 4.(2025·江苏苏州中学高一期中)已知函 的取值范围是 数f八x)=wx2-4x-5在(a,+e)单调递增，则a 10.已知函数y=f(x)的定义域为R,给定下 的取值范围是 列三个语句： A.(-0,-1] B.(-,2] ①y=f(x)在区间(-0,1]上是单调增函数， C.[2,+) D.[5,+0) 在区间(1，+0)上也是单调增函数： 5.(2025·湖南长沙高一期中)已知函数 ②y=f(x)在区间(-，1]上是单调增函数， 「-x2-ax-7,x≤1， f(x)= 是(-，+0)上的增 在区间[1，+∞)上也是单调增函数： ,x>1 ③y=f(x)在区间(-，1)上是单调增函数， 函数，则a的取值范围是 在区间(0，+)上也是单调增函数 A.[-4,0) B.[-4,-2] 其中是“函数y=f(x)在R上是单调增函数” C.(-9,-2] D.(-e,0) 的充分条件的有 个 第5章黑白题069 11.(2025·江苏苏州高一期中)设函数14.鞋(2025·四川成都高一期中)已知定义 lx-a|+2,x≤2， 在R上的函数fx)=-3x+1,g(x)=x2+1. f(x)= x2-ax+2a,x>2, 若f(2)是函数f(x) (1)若3xe[0,2]使得八x)≥2-21+1成立， 的最小值，则实数a的取值范围是 求实数t的取值范围： 12.(2025·福建泉州高一期中)已知函数 (2)设h(x)=2[g(x)-1]+4mx- 2m-1 八)s 3 x-I (m>0),对Hx,2∈[1,3]，都有 (1)判断函数f(x)在(1,2)上的单调性，并 1h(x1)-h(x2)1≤32，求实数m的取值 用定义证明： 范围。 (2)求函数)在[，3]上的值线 压轴挑战 种(2025·江苏无锡高一期中)已知函数 f(x)=-x2+2xlx-al+l(aER). (1)当a=-2时，求函数f(x)的单调区间（不需 13.#(2025·江苏南通高三月考)已知函数 证明) f(x)=x2+x-31+1(teR). (2)当a=2时，求函数f(x)在区间[0,3]上的 (1)若f(x)在(-3,2)上单调递增，求1的取 最大值和最小值 值范围； (3)当a>0时.函数f(x)在(m,n)上既有最大 (2)若>0，设函数f八x)在区间[-2，-1]上的 值又有最小值，是否存在正整数入，使 最大值为g(),求g(t)的表达式，并求 n-m≤aA恒成立？若存在，请求出入的最 出g(t)的最小值. 小值：若不存在，请说明理由。 必修第一册·SJ黑白题070压轴挑战 1.A解析：因为y+3- =1+4在xe[2,5上单调递减，所 5若m≤2，则八)-的最大值为5，符合题 以2s43 意：若2<m≤5八x)的最大值为f(2)与f(5)中较大的.由 2,显然 2)=5),即15-m+m=12-m1+m,解得m= 当2<m≤？时，)的最大值为5，当m>子时x)的最大 7 值不为定值综上可得，当m≤子时)在：e[2,5上的 最大值是5.故选A. 2.(-x,5]解析：由题意知，对于任意的1e[1,2],存在∈ [-1,3],使得f八x1)≥g(）,即需满足八x)≥g(x)m,函 数x)=x+4在[1,2]上单调递诚，所以八x)=(2)=4, 当a>0时，g(x)=x+20-1在区间[-1,3]上单调递增.则 g(x)m=a-1,所以4≥a-1,解得a≤5，所以0<a≤5，当a<0 时，g(x)=ax+2a-1在区间[-1,3】上单调递诚，则g(x)m= 5a-1,所以4≥5a-1,解得a≤1，所以a<0,当a=0时 g(x)=-1<4,符合题意.综上，的取值范围是(-0,5].故答 案为(-，5]. 四重难点拨 若函数八x)定义域为D1,g(x)定义域为D,则 ①x1eD1,x2eD2x1)≤g(x2)台/八x)m≤g(x): ②Vx1eD,3x,eD2,）≤g(x)/x)mn≤g(x)n: ③3x1eD1,x3eD2)≤g(x)x)m≤g(x)m； ④3x1eD1,x2∈D2fx,)≤g(x2)fx)n≤g(x)mi ⑤Hx1eD,32eD,x)≤g()台yly=(x)川S|yly= g(x). 5.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.AD解析：函数在区间[-2,1]上是增函数，在区间[1,4]上 是减函数，则f(1)>f(4),函数f(x)的最大值为f(1), 八-2)(4)的大小关系不确定，(-1)，f(2)的大小关系也 不确定，故AD选项正确，BC选项错误故选AD, 2.BD解析：因为函数y=x+1的值城为R,故A不符合；因为 y=x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，所以函数的值域为[1，+0），故 B符合：因为y==-1+ -1,故函数的值城域为 1+x x+1 (-x,-1)U(-1,+x),故C不符合：因为函数y==￥ 在[1，+)上均单调递增.所以当x=1时，y=x- 1(x≥1)有最小值1，故函数的值域为[1，+)，故D符合.故 选BD. 3.C解析：函数y=八x-3)+2可看作在函数八x)的基础上将 八x)图象向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， 因此平移后的增区间为(-1,10).故选C 4.D解析：函数f(x)=√-4x-5中，x2-4x-5≥0，解得x≤ -1或x≥5，而函数u=x2-4x-5在(-0，-1门上单调递减，在 [5,+x)上单调递增，又函数y=m在[0，+）上单调递增， 必修第一册·SJ 因此函数f(x)的单调递增区间是[5，+)，依题意， (a,+)[5,+),解得a≥5，所以a的取值范围是 [5,+x),故选D. -x-ax-7,x≤1 5.B解析：函数爪x)= 0 是(-，+)上的增 ,x>1 a<0. 函数则{-g≥1， 2 解得-4≤a≤-2.放选B. -1--7≤a. 6.A解析：因为a+b>0,所以a>-b,b>-a.又因为函数y=f八x) 在R上单调递增，所以f(a)>f(-b),f(b)>f八-a),所以 f代a)+八b)>-b)+-a).故选A. 7.C解折=x+21+r-3=2-l-2>3-2a. (-5,x<-2. 则)2a解得a>1.故选C 8.(x+2)2-2(答案不唯一）解析：设八x)=a(x+2)2-2,满足 f代-2)=-2，又因为f(-1)=-1.可得a=1.所以f(x)= (x+2)2-2故答案为(x+2)2-2(答案不唯一）. 9.(-x,-1)U(1,2]解析：因为f(x)=-1= x-0 a(x-a)+-1mt,且函数八x)=r-4在(2，+∞)上单 x-0 x-0 调递减，则a-1>0,解得a<-1或a>1,则函数f八x)的减区间 为(-x,a),(a,+),由题意可得(2，+)S(a,+),可 得a≤2，综上所述，实数a的取值范围是(-，-1)U(1,2] 故答案为(-，-1)U(1,2], 10.2解析：对于①，令f八x)= ,,满足y=x)在区间 lx-5,x>1, (-©，1]上是单调增函数，在区问(1，+x)上也是单调增 函数，但是函数y=(x)在R上不单调，故①错误：对于②， y=八x)在区间(-，1门上是单调增函数，在区间[1，+) 上也是单调增函数，即任意的x,e(-%,1)都有(x,)< f1),2e(1,+)都有f(x2)>f(1),所以f)>f(x,),设 任意的x,xeR且x<x4,若x,x4e(-,I],则f代x)< 八x),若，4e[1,+0),则f()<f(x4),若 (-,1],xe[1,+x),则八x)<x),所以函数y=f(x) 在R上是单调增函数，故②正确：对于③，y=f(x)在区间 (-,1)上是单调增函数，在区闻(0，+x)上也是单调增 函数，结合②可知，函数y=八x)在R上是单调增函数，故 3正确.故答案为2. 1.[2,4解析：因为)=-at2.2当u<2且≤2 x2-x+2a,x>2, 时，则x)=1x-al+2≥2=fa),这与fx)m=f2)矛盾，不 符合题意，所以a≥2.因为二次函数y=x2-ar+2a的对称轴 为直线x=分，当兮≤2时，即当2≤a≤4时，则函数) 在(2，+x)上为增函数.根据题意，侧有f(2)=2-a+2= a-2+2=a≤4-2a+2a=4,此时，2≤a≤4当2>2时，即a>4 时，当>2时)=（号）=2a子，由题意可得2） a≤2a-4,整理可得a2-4a≤0，解得0≤a≤4，此时a不存 在综上所述，实数a的取值范围是[2,4].故答案为2,4] 黑白题040 12.解：(1)函数八x)在(1,2)上单调递减，证明如下： 任取西e1.2)且则)九)= -1x2-1 x(x2-1)-(x,-1)(xx-x)-(x-x) (x1-1)(x2-1) (x,-1)(2-1) ()-().(,因 (x-1)(x1-1) (x1-1)(x-1) 为<4<2，所以-1>0，-1b06<0因为2 ↓子山所以1，可得西柄，所 ,))-50.即>).所 (-1)(x2-1) 以西数e号在(1,2上单调递说 (2)任取e[2,3,且<，即2≤<，≤3，则≤ 11≤11，L<1,可得>x,且-1> 宝2写丙 十 0,-1>0,需1-3<0，所以f(x,)-(x)= (1-）(x3--x） <0,即fx,)<),所以函数fx)在 (x1-1)(x2-1) [2,]上为增函数放当[号3]时，函数)在 [号，2]小上单调递减，在红2.3上单调递增，所以) 3 2-若4又为（） 2 f3)=3- 2 所以x)=,因此函数)在[，3]上的值城 9 9 为号] 13.解：(1)当1=0时(x)=x+1,则八x)在(-，2)上单调递 增，满足条件：当1≠0时代x)=x2+x-31+1的对称轴为直 线x=- 云，要使f(x)在(-，2)上单调递增，则 1<0. 2 解得-4≤1<0综上.若)在(-2,2)上单调 递增，则：的取值范围为[}，0] (2)当>0时x)=2+x-3+1的对称轴为直线x=2 0.所以)在(，）上单调递诚，在（+）上 单调递增：当-1≤ 2即1≥时ge0=)-2y -l1,当≤-2即0≤时，g0=)-1）=-2。 当-2之-1.卿x封-2=1-1-=-2.当 2 1=-2,即1=3时，8)=x)m=-1)=-2)=3 当-1-2.即}时ge)=到-=-2)=-1，当 参考答案 -1k-2.甲兮时g0=)n5-1)=-2a综上， -21.0<<3 8(t)= -1,≥3 所以当=时)g(行）=-号 14.解：(1)由3x∈[0,2]使得f(x)≥2-21+1成立，只需保证 在xe[0.2]上fx)n≥2-2+1，可知f八x)m=f（0)=1≥ 2-21+1.即2-21≤0-→0≤1≤2 (2南)知6=244m2写且m>0,则h(的图 象开口向上且对称轴为直线x=-m<0,x,2∈[1,3]，都 有1h(x,)-h(x)1≤32.即在x∈[1.3]上h(x)m- h(x)m≤32，由h(x)在xe[1.3]上单调递增，得h(3)- h(1)=16+8m≤32，可得m≤2综上，0<m≤2 四重难点拨 x离2eD,l/)-八)1≤Mx)m八x)n≤n. 压轴挑战 解：(1)当a=-2时.可得x)=-x2+2xx+2引+1，去绝对值后可 得x)=44+1≥-2. -3x2-4x+1,x<-2. 易知函数y=x2+4x+1关于直线 x=-2对称，所以其在[-2.+x)上单调递增，函数y=-3x2-4x+ 1关于直线子对称，所以其在(-，-2)上单调递增，又易 知两函数在x=一2处的函数值相等，图象如图①所示： y=f 可知函数(x)的单调递增区间为(-，+)，无单调递减 区间 (2)当a=2时，可得fx)=-x2+2xlx-2+1,当x≥2时八x)= x2-4x+1,根据二次函数性质可知f(x)在[2,3]上单调递增：当 x<2时，∫(x)=-3x2+4x+1,根据二次函数性质可知(x)在 [0,号]上单调通增，在（号，2）上单测递减：又0)=1 (号)）了2)=-33)=-2，因此可知函数x)在区间 [0,a]上的最大值为/（仔）子，最小值为2）=-3 (3)存在当>0时x)=-x2+2xlx-al+1,若x≥a,则f八x)= x2-2ar+1,由二次函数性质可得八x)在[a,+)上单调递增， 若x<a,则f八x)=-3r+2x+1,由二次函数性质可得，/八x)在 (,号]上单调递增，在（行）上单调递减：又函数x) 在(m,)上既有最大值又有最小值，所以最大值为（行） +1,最小值为风@)=1-己，当x<a时，令x)=-3x+2r*1 黑白题041 1,解得号当≥0时，令)=-2加+1=1号解得 2w3 x=0 2a:因此区间(m,a)中需包含区间（行，），且两边范 23 围不超出=号和=a+2图象如图2所示： 2 3≤m<3 即满足 因此可得- 23a 骨-m≤行，所以n-m≤a叶 a<n≤a+ 3· 23a.a4+23 ≤a.又a>0,可得A≥4+23 恒成立即可 3 3 3 3 显然2<4+2 3<3,所以A的最小值为3 5.4函数的奇偶性 白题 基础过关 1,AC解析：根据函数奇偶性的定义和性质可得，图象关于坐 标原点对称的函数满足(-x)=-(x),所以是奇函数， 即A正确；图象关于y轴对称的函数满足八-x)=(x),所以 是偶函数即C正确：奇函数在原点处可能没有意义，例如 y=是奇函数，但其图象不过坐标原点。即B错误：同理，函 数)一为偶函数但与y轴不相交，即D结误放选AC 2.D解析：AB选项，因为∫(x)是在R上的奇函数，所以 八x)+/-x)=0,且(0)=0，AB正确：C选项，因为f(-x)= 八x),所以八x)·八-x)=-(x)≤0，当x=0时，等号成立. C正确：D选项，当x=0时，-x)=0,此时无意义， f-x)1 D错误故选D. 3.B解析：因为奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称， 因此可知满足题意的为选项B. 4.AB解析：对于A,令y=f(x),定义域为R,f(-x)=-x x),=x是奇函数，故A正确：对于B,令y=x),定义域 为-，0u0+)且)÷-(）-0. 可得y=是奇函数，放B正确：对于C,令y=x)y=2 的定义域为[0，+x),是非奇非偶函数，故C错误：对于D, 令y=f八x),定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f代x),所以 y=x2是偶函数，不是奇函数故D错误故选AB. 5.A解析：函数f(x)=x·IxI的定义域为R,又f(-x) 一x·-x|=-xx=一x),所以函数f八x)是奇函数故选A 6.y=(答案不唯一)解析y=是奇函数，且在(0，+x) 上单调递减，符合题意故答案为y=(答案不唯一》. 必修第一册·SJ 偏e同+01e 的定义域为1，不关于原点对称，f(x)不是奇函数也不 是偶函数 (2)函数的定义域为[-1,1]，关于原点对称又，(-x)= (-x)2-21-x1+1=x2-21x1+1=fx)f(x)是偶函数 (3)函数的定义城为(-，0)U(0,+),关于原点对称当 x<0时-x>0,则f-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=fx),当x> 0时，-x<0,则f-x)=(-x)2-x=x2-x=-fx).综上，对x∈ (-0,0)U(0,+x),都有f八-x)=-八x),x)为奇函数 四易错提醒 证明奇偶性的第一步必须先检验定义域是否关于原点对称 8.C解析：因为代x)为定义在[-1,2a+1]上的偶函数，所以 -1+2a+1=0,解得a=0.故选C. 四重难点拨 具有奇偶性的函数的定义减关于原点对称 9.BC解析：由题意，函数f(x)是定义在(-，0)U(0,+∞) 上的偶函数，当xe(-,0)时，(x)=x-1,①当a>0时， f八a)f-a)=[f-a)]2=(-a-1)2=4,解得a=1或a=-3(舍 去)：②当a<0时，a)f-a)=[f(a)]2=(a-1)2=4,解得 a=-1或a=3(舍去)综上可得，a=-1或1.故选BC 10.A解析：依题意，八x)是奇函数，结合图象可知2(-1)+ -2)=-20-2)=-2x1-3号=-7故选 11.-3解析：方法一：设x>0,则-x<0,所以八-x)=(-x)2+ (-x)=x2-x=x),所以fx)=-x2+x又当>0时，j(x)= a2-bx,所以a=-1,b=-1,故2a+b=-3. 方法二：因为f(x)为奇函数，所以有f(1)=-f(-1), 2)=-2),代入得0-6=-[(-1)+(-1)]=0. 解 (4a-26=-[(-2)2+(-2)]=-2, 得a-故fx) 1b=-1. (,x≤0因为代x)定义域为R, -x2+x,x>0. f0)=0,当x>0时，-x<0f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x -(-x2+x)=-八x),所以f(x)为奇函数，符合题意，故2a+ b=-3.故答案为-3 四重难点拨 已知奇偶性求参数有两种解法： ①根据定义代入八-x)和八x)的关系求解参数：②先利用特 殊值代入求出参数，再检验一般性 12.(-2.-1)U(0.1)U(2.+)解析：当x>0时，fx)>0 →x)>0,由图象可知当x∈(0,1)U(2,+)时，(x)>0: 当x<0时，x)>0→/八x)<0.根据偶函数图象关于y轴对 称，结合图象可知当xe(-2,-1)时，(x)<0,因此不等式 /x)>0的解集为(-2，-1)U(0,1)U(2,+x).故答案为 (-2,-1)U(0.1)U(2.+0) 13.解：(1)选0：由0，则0，即人-)产由)是奇 函数则=)=，所以当<0时)=二可得 2x 2t≥0. fx）= 2x 2*0 黑白题042