第4章 指数与对数 章末检测&真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

第4章章末检测 (时间：120分钟总分：150分)】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.(2025·江苏泰州高一月考)升温系数是 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把 目要求的 物体放在制热空调的房间里升温，如果物体 1,·(2025·江苏宿迁高一月考)化简 初始温度为0，空气的温度为0。，t小时后物 64)广的结果是 体的温度6可由公式6=6。+(0。-6，)e求得， 其中k是一个随着物体与空气的接触状况而 B 2 3 定的升温系数.现有A,B两个物体放在空气中 0.2 升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小 时后，A,B两个物体的温度分别为50。，90，假 2.(2025·江苏徐州高一期中)若1g,8 设A,B两个物体的升温系数分别为k,kB,则 -3.则x= ( A.2 B. k1 2 A.kg 2 =。ln2 C.-2 n B k,2 3.(2025·江苏扬州高一期中)若1<a<2, 1 C.ka-ka=2In 2 则√(1-a)+(2-a)的化简结果是( A.1 B.-1 D.kw-k=2In 2 C.3-2a D.2a-3 7.*(2025·江苏泰州高一期中)已知lga= 4.(2025·江苏宿迁高一期中)若lga,lgb lg(a+b+3)-lgb,则a+2b的最小值为() 是方程5x2-10x+3=0的两个实根，则ab的值 等于 ( A.5 B.3+22 C.3+42 D.9 A.2 8.#(2025·江苏南通高一月考)已知2"= C.100 D.√10 b,2=3,l0g6=c,则 () 5.(2025·江苏南京高一期中)已知a- A.b+1=ac ai=√5，则a2-a2= B.3b+a=c A.35 B.±35 C.ac+a=2b C.215 D.±21W5 D.b=ac 第4章黑白题051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求」 文字说明、证明过程或演算步骤， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 15.(13分)(2025·江苏南京高一期中)求 选错的得0分 下列各式的值 9.(2025·江苏淮安高一期中)下列结论正 确的是 A.log24=2 B.lg10=1 (2)log327+lg25+lg4-7e2. C.3h2=2 D.-In e=I 10.(2025·江苏无锡高一月考)下列各式 中一定成立的有 A(了= B.(-3)=3 C.y=(xty) D.√g=3 1l.#(2025·江西上饶高一月考)已知n> 2 且x=-Hlgm,y=1log+1l,=2l小ogz(分 n),则 A若x=y,则n>2 B.若x=y,则m+n的最大值为√2 C.若x=y=z,则m'+2m2-4m+1=0 D.若x=y=,则n2-2n+40 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2025·江苏苏州高一期中) 83 2x(-3)2 13.*(2025·江苏南京高一期中)已知a>b> L,且log.b+loga= a=b“,则a 14.#(2025·江苏泰州高一月考)若实数a, b,c满足3+3=36,3”+3+3=3+，则3 的最大值为 必修第一册·SJ黑白题052 16.(15分)(2025·江苏无锡高一月考)17.(15分)(2025·江苏泰州高一期中)已 (①计算：(0.081)-[3×（日）°]× 知m=lg2,10°=3. (1)求10的值； 8+6)方： (2)用m,n表示log1s20. (2)化简：a·6).6 9a·6 第4章黑白题053 18.#(17分)(1)当a=-1时，解关于x的方19.(17分)(2025·江苏徐州高一期中)我 程e(a)=1 们知道，任何一个正实数x都可以表示成x a×10(1≤a<10,n∈Z).当n≥0时，记x的 (2)当a=5时，要使对数log (+知)有意 整数部分的位数为f(a×10),例如 f代1.02×10)=2：当n<0时，记x的非有效数 义，求实数x的取值范围： 字的个数为f(a×10),例如f(1.02× (3)若关于x的方程og2 (+a) 102)=2. (1)求f(1.02×10),f(1.02×101),并写出 log2[(a-4)x+2a-5]=0有且仅有一个 解，求实数a的取值范围， f八a×10)的表达式（不必写出过程）： (2)若x=2m,且取1g2≈0.301，求n,a以及 f(a×10): (3)已知keN”,猜想f(2)与f(2)的大小 关系，并证明你的结论。 必修第一册·SJ黑白题054 第4章真题演练 黑题 真题体验 很时：25min 考点1指数与对数运算 指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类 1,(全国高考)设alog4=2,则4“=( 数与生物个体总数生物丰富度指数d越大，水 B 0.6 1 质越好如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N,变为N,生物丰 2.(2022·天津）化简(2l0g3+loga3)· 富度指数由21提高到3.15，则 () (1og32+log2)= ( A.3N2=2N B.2N2=3N A.1 C.2 5 0 C.N=N D.N=N 11.(北京高考)根据有关资料，围棋状态 3.(2022·浙江)已知2=5,10g3=b,则 空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇 4-36= ( 宙中普通物质的原子总数N约为10”.则下 25 5 A.25 B.5 C. D. 9 列各数中与”最接近的是（参考数据：g3= 4（天津高考)若2”=5=10，则+ 0.48) ( a b A.103 B.109 C.103D.10 ( 12.(2022·北京)在北京冬奥会上，国家速 A.-1 B.Ig7 C.1 D.log 10 滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨 5.(湖南高考)若a>0,a= 9, 则 临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了 贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处 log:a= 的状态与T和gP的关系，其中T表示温 6.…(安徽高考) 6 81 +1og4 度，单位是K:P表示压强，单位是bar下列 结论中正确的是 4 ( logs 5 lg P 7.(重庆高考)若x>0,则(2x+3行)(2x- 图态 超临界状态 3)-4x(x-x)= 液态 8.(2024·全国甲理)已知a>1 气态 且1 1 logsa log,4 —，贝 0 200 2503003504001 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于 9.*(天津高考)已知log2a+log2b≥1，则3“+ 液态 9的最小值为 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态 考点2指数与对数的实际应用 C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超 10.(2024·北京)生物丰富度指 临界状态 数d= 是河流水质的一个评价 D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临 界状态 第4章黑白题0558.In6 解析：因为 $$e ^ { x } = \frac { 6 } { x } ，$$ ，所以 $$\ln e ^ { x } = \ln \frac { 6 } { x } ，$$ x=ln6-lnx， 为 所以 x+lnx=ln6. .故答案为In 6. 9.解：(1)原式 $$= \lg 5 + \lg 2 \left( \lg 2 + \lg 5 \right) + \log _ { 2 } 5 \cdot { \log _ { 5 } } 2 + 5 = \lg 5 +$$ lg2+1+5=1+1+5=7. $$\left( 2 \right) \lg 1 8 = \frac { \log _ { 1 } 1 8 } { \log _ { 1 0 } 1 0 } = \frac { \log _ { 6 } \left( 6 \times 3 \right) } { \log _ { 1 0 } 1 0 } = \frac { 1 + \log _ { 3 } } { \log _ { 3 } 1 0 } = \frac { 1 + n } { \log _ { 1 0 1 } }$$ ，因为 $$\log _ { 6 0 } 3 = m ，$$ $$U \frac { \log _ { 3 } 3 } { \log _ { a } 0 . 6 } = m ， 则 \frac { n } { \log _ { a } 0 . 6 } = m ，$$ 所以 $$A . \frac { n } { \log _ { 6 } \frac { 6 } { 1 0 } } = m ， 则 \frac { n } { 1 - \log _ { 6 } 1 0 } = m ，$$ 所以 $$\log _ { 0 } 1 0 = 1 - \frac { n } { m } ，$$ lg $$\lg 1 8 = \frac { 1 + n } { \log _ { b } 1 0 } = \frac { 1 + n } { 1 - \frac { n } { m } } = \frac { m + n } { m - n } .$$ 压轴挑战 D 解析：由题意得 $$\log _ { 6 } m = \log _ { 6 } 5 \cdot { \log _ { 4 } } 3 ， \log _ { 6 } n = \log _ { 6 } 5 \cdot { \log _ { 6 } } 2 ，$$ ，所 $$1 0 ! \cdot { \log _ { 6 } } m n = \log _ { a } m + \log _ { 6 } n = \log _ { a } 5 \cdot { \log _ { 6 } } 5 \cdot { \log _ { a } } 2 = \log _ { 6 } 5 .$$ $$\left( \log _ { 6 } 3 + \log _ { 6 } 2 \right) = \log _ { 6 } 5 ，$$ 所以 m=5. .故选 D 第4章章末检测 1.C 解析：由题意可得 $$\left( 6 \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( \frac { 4 } { 2 5 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left[ \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } =$$ $$\frac { 2 } { 5 }$$ .故选 C. 2.A解析： $$\because \because \log _ { 2 } \frac { 1 } { 8 } = - 3 ， \therefore x ^ { - 3 } = \frac { 1 } { 8 } ， x ^ { 3 } = 8 ， \therefore x = 2 .$$ 故选A. 3.C 解析：因为 1<a<2， 则 2-a>0， ，所以 $$\sqrt [ 3 ] { \left( 1 - a \right) ^ { 3 } } +$$ $$\sqrt [ 4 ] \left( 2 - a \right) ^ { 4 } = 1 - a + 1 2 - a | = 1 - a + 2 - a = 3 - 2 a$$ .故选C. 4.C 解析：由韦达定理可得 lga+lgb=2， ，所以 lg gab=lg a+ lgb=2， ，所以 $$a b = 1 0 ^ { 2 } = 1 0 0 .$$ .故选 C. 5.C 解析：由 $$1 a ^ { \frac { 1 } { 2 } } - a ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt 5 和 \left($$ $$\left( a ^ { \frac { 1 } { 2 } } - a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = a - 2 + a ^ { - 1 } = 5 ， 1$$ a+ $$a ^ { - 1 } = 7 ，$$ 故 $$a ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { \left( a ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { a + 2 + a ^ { - 1 } } = \sqrt 9 = 3 ， 若$$ $$a - a ^ { - 1 } = \left( a ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( a ^ { \frac { 1 } { 2 } } - a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) = 3 \sqrt 5 ，$$ 故 $$a ^ { 2 } - a ^ { - 2 } = \left( a +$$ $${ a ^ { - 1 } } \right) \cdot \left( a - a ^ { - 1 } \right) = 2 1 \sqrt 5 .$$ .故选 C. 6.C 解析：由题意可知 $$5 \theta _ { 0 } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 0 } - \theta _ { 1 } \right) e ^ { - 2 e _ { A } } ，$$ ，则 $$\left( \theta _ { 0 } -$$ $${ \theta _ { 1 } } \right) \cdot { e ^ { - 2 n } } = 4 \theta _ { 0 } \textcircled 1 ， 9 \theta _ { 0 } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 0 } - \theta _ { 1 } \right) e ^ { - 2 i }$$ ，则 $$\left( \theta _ { 0 } - \theta _ { 1 } \right) e ^ { - 2 k } B =$$ $$8 \theta _ { 6 } \textcircled 2 ， \frac { \textcircled 1 } { \textcircled 2 } \pi$$ $$\frac { \left( \theta _ { 0 } - \theta _ { 1 } \right) e ^ { - 2 x _ { n } } { \left( \theta _ { n } - \theta _ { 1 } \right) e ^ { - 2 - n } } = } = \frac { 4 \theta _ { 0 } } { 8 \theta _ { n } } ，$$ 则 $$e ^ { - 2 k _ { A } + 2 k _ { B } } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ $$- 2 \left( k _ { A } - k _ { B } \right) = \ln \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，化简可得 $$k _ { A } - k _ { B } = \frac { 1 } { 2 } \ln 2 .$$ .故选 C. 7.C解析：由 lga=lg(a+b+3)-lgbcoslga+lgb=lg(a+b+3)e lgab=lg(a+b+3)， ab=a+b+3， ，又 ab=a+b+3⇔(a-1)(b-\right. 1)=4， 结合 lga=lg(a+b+3)-lgb， ，知 a-1>0，b-1>0， 又 $$a + 2 b = \left( a - 1 \right) + 2 \left( b - 1 \right) + 3 \ge 2 \sqrt { \left( a - 1 \right) \times 2 \left( b - 1 \right) } + 3 = 4 \sqrt 2 + 3 ，$$ 当且仅当 a-1=2(b-1)， ，即 $$a = 1 + 2 \sqrt 2 ， b = 1 + \sqrt 2$$ 时等号成立， 因此可得， a+2b 的最小值为 $$4 \sqrt 2 + 3 .$$ .故选 $$C _ { 1 }$$ 8.A 解析：因为 $$2 ^ { n } = b ， 2 ^ { b } = 3 ，$$ $$a = \log _ { 2 } b ， b = \log _ { 2 } 3 ， a c =$$ $$\log _ { 2 } b \cdot { \log _ { b } } 6 = \log _ { 2 } 6 = \log _ { 2 } 3 + 1 ，$$ ，故 b+1=ac. .故选 A. 9.ABC 解析：根据对数的性质可知， $$\log _ { 2 } 4 = 2 ， \lg 1 0 = 1 ，$$ $$3 ^ { \log _ { 3 } ^ { 2 } } = 2 ， - \ln { e = - 1 } ，$$ A BC正确，D错误.故选 ABC. 参考答案 10.BD解析：(（0）广=nm7,A错误：-3=3=5， B正确：罗=(+y)产，c错误：阿=()) (g)=3,D正确故选BD 11.ACD解析：对于选项A,由x=y得og,m=|logn+1|= ae,(2n1.又m<2n,所以m·21,所以n2m又0cm< 1.所以m心了，故选项A正确：对于选项B,易知m>0,>0。 所以m+n≥2m=2,当且仅当m=n=2时取等号，故 造项B精误，对于选现G.由速项A加：六兮所以宁 a=受六2分云1，得到（受小>0，所以 em=2(受)）（受六）广所以（侵 厂整理得m422-加+1=0，故选项C正确：对于选项 D由y:得2=（n广-受<2，即2-2r 3 >0,故选项D正确.故选ACD. 2号期（层）产（层扩门户 (2)7 g 13.4解折：a>b1,且g6+风a=子即 5 -+log a=- log a 2 设周61以-解得=2或宁合去。 即1g,a=2a=6.a=6(b2)=b5=62,2b=6, 解得6=2或b=0(舍去)，.a=4故答案为4 14.号解折：由基木不等式得343≥2V分=2V严， 当且仅当3”=3，即a=b时等号成立.所以3≥2√3 解得3"≥4.又因为3”+3+3=3r,所以3+3=3= 3多，化简得号1因为3”≥4，所以，e o]所以1ge[经小即时e[子小所以 3e,]故答案为子 15解：(1)原式-寸（号）广0-h3-10=3 1=0 (2)原式=1og (3g10-2=2-2= 黑白题029 a". 17.解：(1)因为10=3，所以n=g3,又m=g2,所以3m2- 2 （32-23=g2e3=所以10 22 3 (2)因为n=g3,m=g2,所以1g20=g20-g2x10) g15 .30 le 2 lg 2+lg 10 1g2+1m+1 1g3+lg10-lg2g3+1-1g2n+1-m 18.解：(1s(小1…士12号 （(2)对数%(5)有意义，则+5>0，解得x<-了或 >0,所以实数x的取值范围为(-，)U(0,+)》。 (3kg(a）-e[(a-4x+2a-5j=0.即 e(+a）=la-4+2-51,即+a (a-4)x+2a-5>0①. 方程两边同乘x,化简得(a-4)x2+(1-5)x-1=0,即[(a 4)x-1]·(x+1)=0② 当a=4时，方程2的解为x=-1,此时将x=-1代人①式， m-1=3>0,符合要求： 当a=3时，方程②的解为x=-1,此时将x=-1代人①式， a-1=2>0,符合要求： 当a≠4且a≠3时，方程2的解为x=-1或x= -1是方程①的解，则+a=a-1>0,即a>L, 若x=是方程①的解，则+n=2a-4>0,即>2 a-41 则要使方程①有且仅有一个解，则1ca≤2 综上，方程（任）e[(a-4+2-5]=0有且仅 有一个解，实数a的取值范围是(1,2]U3,4. 19.解：(1)1.02×10)=3f1.02×10)=1.由题意，当n≥0 时，ax10整数部分的位数为m+1,当n<0时，a×10的非有 效数字的个数为-，所以ux10)=+1,≥0， (-n.n<0. (2)由x=2m,得1gx=100lg2=30+0.1,所以x=100a1= 10×10,故a=101,n=30fa×10)=31. (3)猜想：2)=f(2*),当k∈N时，2为正整数且不可 能是10的倍数，所以存在meN,使得10<2<10，此 时2)=m+1,而10<2<10"，所以(2)=m+1,所 必修第一册·SJ 以2)=f2). 第4章真题演练 1.B解析：由alg4=2可得lkog4°=2，所以4“=9，所以4= 9故选B 2c解桥：原式=(2x之s3+3)(g2+g2= 号e3e2=2放选C 3C解折：因为2”=5,6=e3=宁s3,即2”=3，所以 4.4-(2)25225 423故选C 4.C解析：2=分=10a=log,10,6=g,10.a+方 1ogl0iog10g2+lg5=lg10=1.故选C 53解折：。子：号两边同时取次方得a=(信)）。 (号厂…gg=hg(号)=3放答案为3 6. 解桥：原式=【（层广]+s(任×）忍 1故答案为 7.-23解析：原式=(22-(3)-4支.x+4r士.x 42-3-4宁+4r宁片=4-27=-23.故答案为-23， &4祭析：由题0这。子：能理 31 5 (lg2a)2-5log2a-6=0=log2a=-1或log2a=6,又a>1,所以 1og2a=6=og,2°，放a=2°=64.故答案为64. 9.18解析：由loga+logb≥1得ab≥2，且a>0,b>0.又3°+ 9=3+3≥2√3·3=2/3*因为a+26≥2√2ab≥ 2√2×2=4（当且仅当a=2b时取等号），所以3°+9°≥ 2√3=18.即3+9的最小值为18.故答案为18. 10.D解析：由题意得-- 7w=2.1,=3.15,则2.1nN,目 3.15lnN2,即2nN,=3引nN2,所以g=N故选D. 1.D解折：设兴两边取对数k: 3 °100=g3 k10=361×g3-80=9级.28，所以x=103,即最接近 10.故选D. 12.D解析：当T=220,P=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处 于固态，故A错误；当T=270,P=128时，2<lgP<3,此时二 氧化碳处于液态，故B错误：当T=300,P=9987时，gP与 4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，故C错误：当T= 360.P=729时.2<1gP<3.故此时二氧化碳处于超临界状 态，故D正确.故选D. 黑白题030