4.2 对数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

4.2对数 4.2.1对数的概念用4.2.2 对数的运算性质 白题 基础过关 很时：25min 题组1对数的概念及性质 题组3 对数的运算性质 1.·给出下列说法： 8.(2025·天津蓟州区高一月考)1g2+lg5= ①零和负数没有对数： ) ②任何一个指数式都可以化成对数式： B.1 C.10 D.10 ③以10为底的对数叫作常用对数： ④以e为底的对数叫作自然对数. 9.(多选)若x>0,y>0,则下列各式中，恒等 其中正确的个数为 ( 的是 () A.1 B.2 C.3 D.4 A.Ig x+lg y=lg(xty)B.Ig *=lg x-lg y 2.·(多选)下列指数式与对数式的互化，正 确的一组是 ( C.Ig 2=(Ig x)2 D.Ig A.e°=1与ln1=0 10.(2025·江苏泰州高一月考)若xog23= 27-写与wg月 11 1,则3+3= () 5 c 10 C.10g24=2与4=2 D.log5=1与5'=5 11.*计算：2l0g26-l0g29= 3.有以下四个结论：①g(g10)=0: 12.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 ②ln(lne)=0:③若10=lgx,则x=10: ④若e=nx,则x=e2,其中正确的是( A.①②B.②④ C.①③ D.③④ 题组4对数的换底公式 4.(2025·天津西青区高一期中) 13.·(2025·天津河东区高一月考)化简 log(logx)=0,则x= ( 1og3×og4×og5×log8的值为 ()》 A.0 B.1 C.5 D.625 A.1 B.3 C.4 D.8 题组2对数恒等式 14.(多选)(2025·福建厦门高一期中)下 5.·设5(2-)=25，则x的值等于( 列数值和1og23相等的是 A.10 B.13 A.log 6 B. c.g3 log 2 lg 2 D.2log3 C.100 D.±1001 6.(2025·江苏宿迁高一期中)计算15.(2025·江苏南通高一期中)若2= ( 50则 ( A.7 B.7 C.2 D.2 A.0 B.1 C.2 D.3 7,关于x的方程3=23的解为 16.(2025·江苏徐州高一期中)已知1g2= a,g3=b,则log5= 第4章黑白题049 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·天津滨海新区高一期中)在b=5.已知a>b>c>1,且log(1gx)=log,(logy)= log(a-)(4-a2)中，实数a的取值范围是 l1og(1ogz)=0,则有 ( A.I<<y<x B.0<z<y<x<1 (←✉u2,w)B.(g号u(后2) C.0<x<y<z<1 D.I<x<y<z 6.(2025·广东广州高一期中)若2=3= c.(g2 D.(22 12>L,则4+8的取值范围是 () 2.(多选)(2025·河南漯河高一期中)以下 A.[1,4] B.[1,+o) 式子中，计算正确的是 C.(22,+0) D.[4,+o) A.2+e5=10 7.已知正数a,b满足b=4,且a+log2b=3, log28 3 则a+b= B log,4 2 8.若e=6,则x+lhx= C. g,25+hg5)(ge,8+lg）=2 9.鞋(2025·江苏泰州高一月考)(1)求值： D.log,9+log 2=0 lg5+lg22+lg2·lg5+log25·log2s4 3.(2025·江苏南京高一月考)沙漏也叫作 +75; 沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏 (2)设logos3=m,log63=n,用m,n来表示 (如图)上方装有acm的细沙，细沙从中间小 lg18. 孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙 量为ycm3,且y=a·e"(b为常数)，经过 8min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细 沙是开始时的g,需经过的时间为 ( A.8 min B.16 min C.24 min D.26 min 压轴挑战∥ 4.*(2025·江苏南通如皋中学高三月考)方 程logx=logx·logox的实数解有 益已知m=5e3,n=2g,则mn= ( A.0个 B.1个 () C.2个 D.3个 A.2 B.3 C.4 D.5 必修第一册·SJ黑白题050当m为偶数，n为偶数时，a”>0,此时a=a°，符合题意， 故D正确.故选A 6.（0,2)解析：(1-2)= ,要使得其有意 (1-2x) 义，则清足1-2>0，解得x<放答案为(-.号)） .A0D解折：A,==a,放正确：B号==a, 放错误：C(o)=a号=a,故正确：Da石=小。 √后==a,故正确放选ACD 8B解折：V2压x(曾) =5×55÷23=5×23=8.故选B. 解析：10=3,10=4,107=10÷10=(10)2÷ 10=34=子故答案为号 4 10解：原武=(2)+[()广门-1-3=2 4、19 8 （2)原式=6m号6=6b 黑题 应用提优 1,D解析：对于A选项，根据负指数幂的定义，=（≠ 0)得到3.2=而不是，所以A选项错误对于B选项， 根据分数指数幂的定义，a产=，则2=2，而不是 2,所以B进项错误对于C选项.(-8)=1-81=8，所 以C选项错误对于D选项，a子÷a=a=a又因为a表 示a的立方根，即ā，所以D选项正确故选D. 2.C解析：(5)5.(5)2=(5)25=[(5)2]5=5.故 选C 3.A解折学a点=3·(e)=3x4是：3x(2。 3×2=3×8=24.故选A. 4.B解析：因为a<1,所以√(a-1了+后=1a-11+a=1-a+ a=1.故选B. 5.ABC解析：因为a+a=4,所以a>0,对于A,因为(ai+ a)2=a+n+2=6,所以a+a7=6,故A正确：对于B, 因为(a+a')2=a2+a2+2=16,所以a2+a2=14,故B正确： 对于C,a3+a3=(a+a')(a2+a2-1)=4×13=52,故C正确： 对于D,因为(a-a)2=a2+m2-2=12,所以a-a=±23，故 D错误.故选ABC. 6.C解析：因为a,beR,且3a-b-2=0,则3-b=2,所以27'+ 3=3+3≥2V3·3=2V3T=23=6,当且仅当 3产=3，即。=行6：-1时取等号，即27宁的最小值为6 故选C. 参考答案 7.[-3,3]解析：√(a-3)(2-9)=√/(a-3)(a+3)=1a-3引 √a+3,要使1a-31a+3=(3-a)√a+3成立，需 -3≤0解得ae[-3,3],即实数a的取值范围是[-3,3. a+3≥0. 故答案为[-3,3]. 8.a2 解标：-(×)广] 【)门广-(o)n做答案为 9解：()原武=1+（居）广x(贸)广2=1+音× +9*410+27=19 (2)原式=16·(b)2·(a6) 4…(a28).(a26) 4(e)小() =4a2宁了263。=4a3b.因为 (。)。 4=27.b=16,所以原式=4×27下×16=6. (-)）(1） 10.解：(1)原式= x3+x3+1 )）… x+1 x3-1 a-a-6 a2+a2-2 (2)原式=+n1(a-a)-a (a2)3-(a2)1 +a-a)y2_(a2-a2)(a+1+a) (a2+a+1)(a-a'） a-a"I (a+a4+1)(a-a') (a-a')=(ata）+(a-a')=2a. 压轴挑战 证明：因为2”·3=2·3=6，故2·3=1,21·31=1， 所以21=3,2=3，所以210=3110,2-0= 31b10,故2-1=2-1，故(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 4.2对数 4.2.1对数的概念 +42.2对数的运算性质 白题基础过关 1.C解析：零和负数没有对数，命题①正确：(-1)2=1，不能 写成对数式，命题②错误：以10为底的对数叫做常用对数， 命题③正确：以：为底的对数叫作自然对数，命题④正确： 故正确命题是①③④.故选C 2.ABD解析：根据指数式与对数式的互化公式a=b一 logb=N(a>0且a≠1，V>0)可知，ABD正确：对于C, 1og24=24=2,故C错误故选ABD. 3.A解析：由对数定义可知，g(g10)=g1=0,①正确： 黑白题027 1n(lne)=n1=0,2正确：对③，10=gx=x=10".错误：对 ④，e=nx→x=e,错误故选L 4.C解析：lg(logsx)=0,lgx=4°=1，∴x=5=5.故 选C. 5.B解析：由对数的性质，得52--2x-1=25,所以x=13 故选B. 8B解折：（付）广 =(2)2=22=7.故选B 7.log,5解析：因为3=2=5，可得x=log5,所以方程 3=2的解为x=log5.故答案为log5. 8.B解析：由对数的运算可得lg2+lg5=g(2×5)=g10=1,故 选B. 9.BD解析：对于A,gx+gy=g(xy),故选项A不正确；对于 B,根据对数的运算法则得g工=gx-gy,故选项B正确： 对于Clg=2g,故选项C不正确：对于D,lg二=g了 =g广之-g=兆g,故选项D正确故选BD 10.A解析：由题得lg,3=1,所以3=2，所以3+3=2+ 6 36 11.2解析：2g,6-lg9=hg,62-og9=lg:)=lbg:9 10g,2=20g,2=2.故答案为2 [(x-2y)2=xy. x-2y>0. 12.4解析：2lg(x-2y）=gx+gy,. 解得 x>0. Jy>0. x=4y. 、三=4故答案为4 B解析：由题意可得lg3Xg,4Xg5x%8=加X n5,h8_n8_3n2=3.故选B. In 4 In 5 In 2 In 2 14.BC解析：对于A,g6= og(2×3)1+logz3 log,4 2 -≠l0g23, 1 1 故A错误：对于B,2g2,3,放B正确：对于C, log:3 由对数换底公式可得g3=竖2故C正确；对于D 1og23.1og23 2log3=2× =4log3≠log,3,故D错误故 log:2 -2×1 选BC. 15.B解折：a=g20.6=le,20,}=g2,gw5. 2 =2hgn2+logn5=log4+1ogw5=log20=1.故选B 6 四重难点拨 根据对数的换底公式可以得到16吧，b-吧a 必修第一册·SJ 16.1。解析he,5=g5g23g故答案为 ath lg 6 lg 2+lg 3 a+b ath 四方法总结 用几个对数式来表示另一个对数式时，首先利用换底公式 统一底数，再利用对数的运算性质配凑得出结果 黑题 应用提优 1.B解析：要使式子b=log)(4-a2)有意义，则 3a-1>0, 3-1≠1，解得}a<2或2 3<a<行或 <mc2故A,C,D错误故选B 4-m2>0. 四方法总结 对数式中，底数大于0且不等于1，真数大于0， 2.ABC解析：对于A,2=2×25=2×5=10,故A正确： 对于B ®4g22g2子故B正确：对于C, log281g,2_3log22_3 e25+e5）·(e8+g）:(25x写) g(8x）=g5xhe4=h4=2,故C正确：对于D 1o%9+log2=2 2≠0，故D错误故选ABC 3.C解析：依题意有ae=了0，即6“=子，两边取对数得 个8私=n1=-n2所以63.得到y=ae.当上方细沙 2,1 是开始时的。时，有ae学= 所以e节：安两边取对 数得n2 8=1m8=一3m2,所以=24.故选C. 4C部折-出6一品地l所以n0 或nxn6n9=26=n36,所以x=1或x=36,所以方 In 3 程logr=logx·logx的实数解有2个.故选C 5.C解析：g(ogx)=lg(logy=log（g:=0, ∴og(（logx=0,g(ogy=0,ag(log=0. 0.a>b>c>1,.0< a b c <1,.0<x<c<1.故选C 6.D解析：设2=3=2=>1，所以x=og2k>0,y=logk> 0=>0,w2g3,=s2.所以子 .4 y 当且仅当：=2时，等号成立故选D. 7.4或5解析：b=4,∴a=log4=2log2,由a+logb=3得 出24：3，由换底公式可得2过0忌 1o唱，b=3,可得1ogb=1或logb=2.①当1ogb=1时，b=2,此 时，a=2log2=2.则a+b=4:②当logb=2时，b=4,此时，a= 1o唱，4=1，则a+h=5.因此，a+h=4或5.故答案为4或5. 黑白题028 8.h6解桥：因为e=,所以he=n。,即x=h6-ln, 所以x+lnx=n6.故答案为ln6 9.解：(1)原式=lg5+lg2(lg2+lg5)+log5·log2+5=g5+ lg2+1+5=1+1+5=7. (2)g18= gl18lg(6x3)_1+lag3三1+n因为go3=m,所 log 10 log,10 log,10 log,10 以 g6m,即n 62m,所以”6m, og610 1-lg102m, 所以og101h故g18=0吧10，nm-” 压轴挑战 D解析：由题意得logm=ng5·log3,lgn=log5·o吧62，所 以log mn=log,m+ogn=log5·log3+log65·logs2=logs5· (log3+log2)=og65,所以mm=5.故选D. 第4章章末检测 1.c解析：由题意可得(6）=（去）=[（号）门 子故毒C 2A解折：佩名-3名2=8=2放选人 3.C解析：因为1<a<2,则2-a>0,所以(1-a)+ /(2-a)=1-a+12-al=1-+2-a=3-2a.故选C. 4.C解析：由韦达定理可得ga+gb=2,所以gab=ga+ lg6=2,所以ab=10=100.故选C 5.C解桥：由a立=5得(o-。)）广=a-2*a=5,pa叶 =7,故n-√=va2n=5=3故 a-a=(d+a)(a-a)=35,故2-a=(a+ a'）·(a-a')=215.故选C. 6.C解析：由题意可知50。=0。+(0-0，)e,则(8。- 0,)·c41=40①，90。=0。+(8。-81)e2m,则(0。-0，)cg= 可得 80②，② 得g。-投则2 -2(k-,)=l血2，化简可得-km=2n2故选C 7,C解析：由lga=lg(a+h+3)-lg belg a+lgb=lg(a+b+3) lgab=lg(a+b+3),则b=a+b+3,又ab=a+b+3台(a-1)(b- 1)=4,结合ga=g(a+b+3)-g6,知a-1>0,b-1>0,又 a+2h=(a-1)+2(b-1)+3≥2√/(a-1)×2(b-1)+3=4w2+3. 当且仅当a-1=2(b-1).即a=1+22,6=1+2时等号成立， 因此可得a+2b的最小值为42+3.故选C. 8.A解析：因为2"=b,2=3.所以a=lgb,b=log,3,ac= 1og,b·og6=og6=log3+1,故b+1=c.故选A. 9.ABC解析：根据对数的性质可知，log4=2,g10=1, 32=2,-ne=-1,故ABC正确，D错误故选ABC 参考答案 10.BD解析：(（0）广=nm7,A错误：-3=3=5， B正确：罗=(+y)产，c错误：阿=()) (g)=3,D正确故选BD 11.ACD解析：对于选项A,由x=y得og,m=|logn+1|= ae,(2n1.又m<2n,所以m·21,所以n2m又0cm< 1.所以m心了，故选项A正确：对于选项B,易知m>0,>0。 所以m+n≥2m=2,当且仅当m=n=2时取等号，故 造项B精误，对于选现G.由速项A加：六兮所以宁 a=受六2分云1，得到（受小>0，所以 em=2(受)）（受六）广所以（侵 厂整理得m422-加+1=0，故选项C正确：对于选项 D由y:得2=（n广-受<2，即2-2r 3 >0,故选项D正确.故选ACD. 2号期（层）产（层扩门户 (2)7 g 13.4解折：a>b1,且g6+风a=子即 5 -+log a=- log a 2 设周61以-解得=2或宁合去。 即1g,a=2a=6.a=6(b2)=b5=62,2b=6, 解得6=2或b=0(舍去)，.a=4故答案为4 14.号解折：由基木不等式得343≥2V分=2V严， 当且仅当3”=3，即a=b时等号成立.所以3≥2√3 解得3"≥4.又因为3”+3+3=3r,所以3+3=3= 3多，化简得号1因为3”≥4，所以，e o]所以1ge[经小即时e[子小所以 3e,]故答案为子 15解：(1)原式-寸（号）广0-h3-10=3 1=0 (2)原式=1og (3g10-2=2-2= 黑白题029