第3章 不等式 章末检测&真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

第3章 章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.(2025·江苏苏州高一月考)权方和不等 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 式作为基本不等式的一个变化，在求二元变 目要求的 量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正 1.·(2025·江苏南通高一月考)不等式 数a,,满足0，≥（a+b ,当且仅当 -x2+2x>0的解集为 x Y x+y A.{xlx<0或x>2 =时，等号成立则}士，16 3x1-3x 0<x< )的最 B.{xlx<-2或x>0 x Y C.{xl0<x<2 小值为 A.16 B.25 D.{xl-2<x<0 2.·(2025·江苏苏州高一期中)已知x>0,则 C.36 D.49 7.。(2024·江苏扬州中学高一月考)已知实 x-1+4的最小值为 数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2, A.4 B.5 则a,b,c的大小关系是 C.3 D.2 A.c≥b>a B.a>c≥b 3.(2025·江苏泰州高一月考)a,b,c∈R, C.c>b>a D.a>e>b b>c,下列不等式恒成立的是 8.#(2025·江苏无锡高一期中)设正实数x, A.a+b2>a+e2 y,2满足x2-y-x+42=0,则当二取得最大值 B.a2+b>a2+c C.ab2>ac2 时， 46.1 + 的最大值为 ( x Y z D.a2bza'c 4.(2025·江苏南京二十九中高一月考)已 A.2 C.1 知xeR,则-1≤x≤2”是-2 0”的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 x+1 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 A.充分不必要条件 选错的得0分。 B.必要不充分条件 C.充要条件 9.(2025·江苏扬州中学高一期中)下列说 D.既不充分又不必要条件 法中，正确的是 5.(2025·江苏无锡高一月考)已知方程 若导总则 x2+2ax+a+6=0的两根分别是x,和2，且满 足xx2+x,x号≥10，则实数a的取值范围是 B.若a>6,b>0,则} ( C.若a>b,c<d,则a-c>b-d A.[-5,-1] B.[1,5] C.[-5,-2] D.(3,5] D.若b>a>0,m>0,则+m0 b+mb 必修第一册·SJ黑白题042 10.(2025·江苏徐州高一月考)已知a,b∈四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 R,且a+b=1,那么下列不等式中一定成立 文字说明、证明过程或演算步骤 的是 15.(13分)(2025·江苏宿迁高一月考)设 ( y=mx2+(1-m)x+m-2. Ab≤ (1)若m=2,求不等式y>0的解集： (2)解关于x的不等式mx2+(1-m)x+ B.(1+)(1+6)≥9 m-2<m-1(m∈R). C.√a+b≤√2 D.i4 11,#(2025·江苏南京高一月考)关于x的不等 式ax2+bx+c≥0的解集为xlx≤-1或x≥4{， 下列说法正确的是 A.a>0 B.不等式e2-加如<0的解集为x-子1 3 C.。+c的最大值为-4 D.关于x的不等式x2+br+c<0解集中仅有 两个整数，则a的取值范弱是（兮，】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(2025·江苏南通高一月考)若命题 “3xeR,使+(a-l)x+4<0”是真命题，则 实数a的取值范围是 13.*(2025·江苏徐州高一月考)已知实数 x,y满足0≤2x+y≤3，-2≤x-y≤1，则x的取 值范围是 ,4x+5y的取值范 围是 14.#(2025·江苏苏州高一月考)已知a,b 为正实数且将足少3行则46的 最小值为 第3章黑白题043 16.*(15分)(2025·江苏连云港高一月考)17.(15分)(2025·江苏南通高一月考)某 已知正数x,y满足y=4x+y 农户计划在一片空地上修建一个田字形的 (1)求y的最小值； 菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为 (2)求2x+y的最小值 36m2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十 字形过道，纵向部分路宽为1m,横向部分路 宽为2m. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所 用篱笆最短？此时该菜园的总面积为 多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时 矩形用地的长和宽分别为多少？ 必修第一册·SJ黑白题044 18.#(17分)(2025·江苏盐城高一月考)已19.（17分)(2025·江苏扬州中学高一月 知a>0,b>0,且a+b=2,求证： 考)若任意x满足a≤x≤b(a<b),都有不等 (1)a2b+ab2≤2： 式ax2+bx+c≥0恒成立，则称该不等式ax2+ (26a≥2 bx+c≥0为“[a,b,c]不等式”. a+1b+1 (1)已知不等式mx+m≥0为“[0，m,m]不等 式”，求m的取值范围： (2)判断不等式-x2+2x+2≥0是否为 “[-1,2,2]不等式”，并说明理由： (3)若-1≤a<b,b>0,c=b-a3,证明：不等式 ax2+br+c≥0是“[a,b,c]不等式”. 第3章黑白题045 第3章 真题演练 黑题 真题体验 限时：30min 考点1不等式的性质及其应用 9.(天津高考)若a>0,b>0,则+0+b的最 1.*(四川高考)若a>b>0,c<d<0则一定有 a b2 ( 小值为 A.a a b 10.*(天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则 B.e d c D.9_b (+1)(2y+1)的最小值为 y de 考点3一元二次不等式及其应用 2.(过宁高考)已知-1<x+y<4且2<x-y<3, 11.(2023·新课标全国I)已知集合M= 则z=2x-3y的取值范围是 .(答案用 |-2,-1,0,1,21,N={x1x2-x-6≥0，则 区间表示) M∩N= () 3.(江苏高考)设实数x,y满足 A.1-2,-1,0,1 B.{0,1,2 3≤≤8,4≤≤9，则的最大 C.{-2 D.{2 值是 12.(全国高考)不等式-2 x+3>0的解集是 考点2 基本不等式的应用 4.*(浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是 A.(-3,2) “ab≤4”的 ( B.(2,+o) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.(-0,-3)U(2,+0) C.充分必要条件 D.(-0,-2)U(3,+∞) D.既不充分也不必要条件 13.+(天津高考)设xeR,则“1x-21<1”是 5.(多选)(2022·新高考全国)若 “x2+x-2>0”的 () x,y满足x2+y2-y=1,则 () A.充分而不必要条件 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 B.必要而不充分条件 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 C.充要条件 6.(浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy, D.既不充分也不必要条件 则3x+4y的最小值是 ( 14.(重庆高考)关于x的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为 C.5 D.6 (x1,x2),且x2-x,=15,则a= ( 7.(天津高考)已知a>0,b>0.且ab=1.则 石六。的最小值为 N.2 15.(山东高考)当x∈(1,2)时，不等式 8.m(江苏高考)已知5xy2+y=1(x,yeR), x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范 则x2+y2的最小值是 围是 必修第一册·SJ黑白题0463(a）费 25 24(22a-)4 1 3251 1,当且仅当a文=2 y2>0时，等号 2. 8244 )22. 成立，综上所述，当y=2x>0时， 工有最大 3(售) 值1，所以：的取值范围为[1，+e).故答案为[1，+3). 第3章章末检测 1.C解析：因为不等式-x2+2x>0,所以x2-2x<0曰x(x-2)< 0→0<r<2.故选C. 2C解折当0时…213，且仅当 x=2时取等号，所以x-1+4的最小值为3，故选C 3.B解析：对于A,若c<b<0,则6<2，选项不成立，故A错 误：对于B,因为b>e,故a2+b>a2+c,故B成立，对于C,D,若 a=0,则选项不成立，故C,D错误故选B. 4.B解析：由2≤0=-1<x≤2，设集合A=x1-1≤x≤2， x+1 B=x1-1<x≤2，则B为A的真子集所以“-1≤x≤2”是 -2 “+≤0“的必要不充分条件放选B 5.C解析：因为方程x2+2ax+a+6=0的两根分别是x1和2， 所以4=4a2-4(a+6)≥0，解得a≤-2或a≥3，x1+x2=-2a, x2=a+6.因为xx2+x1号=xx,(x1+x2）≥10，所以(a+6)· (-2a)≥10.解得-5≤a≤-1，所以实数a的取值范围是 [-5,-2.故选C 6.B解析：由0c<{则0<3x<1,1-3>0,放+16= 3r1-3x3x 5,当且仅当即时等号 42。(1+4)2 成立故选B. 7.A解析：c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，c≥k.b+c=6-4n+ 3a2①，c-b=4-4a+a2②..①-②，得2b=2+2a2.即b=1+ 1123 1n2-n=(a-2)+0.b=1a>ac≥bu故选 8.D解析：x2-y-+4:2=0.y=x2-x+42.又xy,:均为正 号12 实数， 2 1 一≤ x 43 a x -1 且收当2时取等号)（号）-分此时=2y x2-+42=(2z）2-2·2+42=62,. 46121 X 必修第一册·SJ 上-（日）广，？≤？，当且仅当：=时取等号，满足 题意46上的最大值为号放选D x 9,ACD解桥：对于A,可知>0，不等式2>之两边同乘 有0>6，放A正确：对于B,若a=-2,6=-1,则上-子 6=-1,故B错误；对于C,由a>b,c<d,知a>6,-c>-d,由不 等式同向可加性的性质知C正确：对于D,利用作差法知m b+m a=-a)m由6>0.m>0,知(b-0)m>0.b(b+m)>0,2tm bb(b+m) b+m :化学0，所以滑片放D正确放选m bb(b+m) 10.ABC解析：因为a+6=1,所以a+h=1≥2√ad,即b≤} 4 当组仅当a=b时，等号成立，放A正确：(+。)(： 名)）1女1品≥9，组仅当6时，等 号成立，故B正确：(a+石)=1+2ad≤2，即a+不≤ 反，当组仅当a=6=了，等号收立，故c正确：。方 2 2石≥4，故D错说放选C 11.ACD解析：不等式ax2+bx+c≥0的解集为|x|x≤-1或 x≥41，故x=-1和x=4是方程ax2+br+c=0的两个根，所 a>0, b 以a =-1+4,解得6=-3a,c=-4,故A正确：对于 C=-1×4, a B,cx2-br+a<0可变为-4ar2+3x+a<0=4x2-3x-1>0,解得 o1或放B错误：对于C,(-o)=。4a -0 -(行如)-4.当且仅当4a,即a-时：等号度立. 所以+e的最大值为-4.C正确：对于D.+br+c<0的不 等式可变为x2-3ar-4n<0,记二次函数y=x2-3ar-4a,由于 x=0时，y=-4a<0,故0是x+x+c<0的一个整数解，对称 轴直线：之0，由于不等式4红(<0解集中仅有两个 整数，则x2+r+c<0的另一个整数解是1，则当x=1时，y= 1-7a<0,同时还婴满足当x=-1和x=2时，y=x2-3x- 4如≥0，即什仁00解得a≤号，放D正确放法AD (1-a≥0， 12.(-,0)U(2,+)解析：由题意得2+(a-1)x+=0 有两个不相等的实数根，4=(a-1)2-4×>0.即a2-2a> 0,a<0或a>2故答案为(-，0)U(2,+e). 「241 13.33J [-2,13]解析：因为0≤2x+y≤3，-2≤x 黑白题024 y≤1，所以-2≤≤4，即-号≤≤手设4+5y=m(2x+ +a(x-)=(2m+a)x+(m-n),故m+n4所以 (m-n=5, m=3,故4r+5y=3(2x+y)-2(x-y).又0≤3(2x+y）≤ (n=-2. 9,-2≤-2(x-y)≤4，所以-2≤4x+5y≤13.故答案为 【号号]-2.5. 14.】解折：3+2(a+6)=3a*a+2b,。 111 2bta*32,且a, 6为正实数3+a+a+2b=2(3+a+a+2b)(1+ (a+26'a+3= 21+1+a+3,a+26) ）≥8，当且仅当”-即a=1, 6=时，取等号3+2(a+6)=3a+a+2b≥8，则a+b≥ 3放答案为 15.解：(1)若m=2,则y=mx2+(1-m)x+m-2=2x2-x=x(2x 1)>0,解得x<0或x>2,所以不等式y>0的解集为 (-*.0u号} (2)不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1,即mx2+(1-m)x-1= (mx+1)·(x-1)<0,当m=0时，x-1<0,解得x<1.不等式 的解集为(-，1)：当m>0时，不等式的解集为 ()背1<m<0时，不等式的解集为(-，)U (）:当m-1时，不等式的解集为1： 当c1时，不等式的解集为(，日)U1,+力 16.解：(1)因为>0，y>0,所以xy=4x+y≥2√4y=4xy,解 得≥16，当且仅当y=4x时取等号.由y=4x且写=4x+y, 解得x=2,y=8,所以当x=2,y=8时，y取得最小值16. (2)由y=4x+y,得y= =->0,则>1，所以2x+y=2x+ 4x 2a-0*2+4≥220 +6=42+6, x-1 x-1 当且仅当2(x-1)即x=2+1时取等号，所以当x号 √2+1，y=4+22时，2x+y取得最小值4,2+6. 17.解：(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为xm,则 36」 所需湾值的长度为秋2x(:的）又药2，·西 12.当且仅当x=6时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽 均为6m时，所用篱笆最短，此时该菜园的总面积为(2×6+ 1)×(2×6+2)=182(m2) (2)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为xm,菜园的 总面积为ym2,则y=(2x+1)(2x6+2）=146+4r+72≥ 146+2,4e.2=146+242,当且仅当4=72，即x=32 参考答案 时，等号成立，此时另一边长度为36=62(m),即矩形的 32 长和宽分别为62m,32m时，菜园的总面积最小 18.证明：(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2ab,因为a>0,b>0,2=a+ b≥2b,所以0<ab≤1，当且仅当a==1时，等号成立， 所以a26+ab2≤2. （2)4+2.+2-a2,2-b.a-a)+2+ a+1+6+1 a+1 b+1 a+1 (B-6)+2_4(a+1)(a-1)+2,6(6+1)(-l)+2=a2+6-a b+1 + b+1 6+2+2 +品品++2（白-2(a+6-2+ 2(a+b+2)-2= 8 (a+1)(b+1) btatb+1-2ab+2= +32ab+2,由(1) 8 知0d≤1.则ar3≤4，ob>-1,则3产-2>-2， 则8-2ab+2≥8×-2+2=2，当且仅当a=b=1时，等号 ab+3 成立所以>2 19.(1)解：由mx+m≥0及m>0,得x≥-L,因为1x10≤x≤m≤ x1x≥-1，所以m>0 (2)解：-x2+2x+2≥0不是“[-1,2,2]不等式”.理由如下： 方法一：二次函数y=-x2+2x+2图象的对称轴为直线x=1, 当x=一1时，二次函数取得最小值，且最小值为-1-2+2= -1<0,所以-x2+2x+2≥0不是“[-1,2,2]不等式” 方法二：由-x2+2x+2≥0，得x2-2x-2≤0，解得1-3≤x≤ 1+5.因为1-5>-1.所以-x2+2x+2≥0对-1≤x≤2不恒 成立，所以-x2+2x+2≥0不是“[-1,2,2]不等式” (3)证明：由题意得ax2+bx+b-a3≥0，①当a=0时，b>0,则 r+b≥ab+b=b>0,符合题意.②当a>0时，b>a>0,研究二次 函数y=r+br+b-a的图象，该二次函数图象的对称轴为 直线x= <0,则当x=a时，二次函数取得最小值，且最 2a 小值为a3+ab+h-a3=ab+b>0.符合题意.③当-1≤a<0时， b>0,由二次函数y=ax2+bx+b-a3的图象可知，当x=a或 x=b时，二次函数取得最小值，当x=a时，y=a3+ab+b-a= ab+b=b(a+1)≥0：当x=b时，y=ab+b2+b-a3=b2(a+1)+ b-a'>0.故ar2+br+c≥0是“[a,b,c]不等式”. 第3章真题演练 1.D解析：已知a>b>0,c<d<0,所以- >0，所以-分 1 d c 2.(3,8)解析：设：=2x-3y=a(x+y)+b(x-y),则 1 a+b=2,解 a2' a-b=-3, 5 2(xy. b= 2, -1+<4且2-3.-2x-2(xy)<2且5c2(x y)< k)+)放答案为3.8。 黑白题025 当2=9，y=3,即x=3,y=1时等号成立故答案为27 4.A解析：当a>0,b>0时，a+b≥2√ab,则当a+h≤4时，有 2√/ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立：当a=1.b=4时 满足ab≤4，但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述，“a+ b≤4”是“b≤4”的充分不必要条件.故选A. 5.BC解析：x2+y2-y=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3 (停）广解得-2≤≤2，当且仅当=y-1时y=-2, 当且仅当x=y=1时x+y=2,所以A错误，B正确：由x2+y2 =1可变形为4-1=≤空解得2≤2，当且 仅当x=y=±1时取等号，所以C正确：因为x2+y2≥ 2√y=21yl,当y<0,即x,y异号时，x+y2≥-2xy,由 -1可变形为1(+)=y≤，解得 ≥子，当且仅当=y.即x=y=- 3y= 3或x “3y=3 时取等号，所以D错误.故选BC 8c解断e知可爱1则-（侯）水加 9,4凸，≥B,卫=5，所以3+中的最小值是5放选C 555x5x5t5 74解析：0>0,6>0，b=1a+b>0.++ib%中 驰，8-+6,8≥2，x及4，当且仅当a+h=4时 2b a+b 2 a+h 2a+h 取等号，结合ab=1,解得a=2-√3，b=2+3或a=2+√3」 b=2-√3时，等号成立，故答案为4. 8.5解析：5xy+y=1,y0且F= 5…2+= 1-y 5y25≥2 第4章 4.1指数 4.1.1根式+4.1.2指数幂的拓展 白题基础过关 1.D解析：m"-2,m=±2.故选D. 2.D解析：8=-2,9(-8)了=64=2=2，故A错误： √(3-r)产=13-r1=π-3，故B错误：n>1,neN”,当n 为奇数时，a=a:当n为偶数时，a”=1al,放C错误； (a)=a(n>1,neN·)成立，故D正确.故选D. 3.x解析：由x<0可得3经+F+1x1=3x+(-)+(-x)=x 故答案为x, 4.ABD解析：对于A,(-x)5=-G(x≠0)，左边x<0,右边> 0,故A错误：对于B,行=y,当y<0时，分=-y,故 必修第一册·SJ 一高-时取等号的最小值为专故答案为号 9.22解析：a>0,b>0.. *6≥2 1 I u 6,2,b=22,当且仅当。三2且方=b,即a=b=2 62 b 时等号成立.所以亡日6的最小值为2.点故答案为2，迈 解析：由x+2y=4,得x+2y=4≥2√2y,得xy≤2。 (x+1)(2+.2y+x+2+1_2t5=2+5≥2+ 59 y 2 当且仅当x=2y,即x=2y=1时等号成立答案为2 9 11.C解析：因为N=xlx2-x-6≥01=(-0，-2]U[3,+0), 而M=1-2,-1,0,1,2,所以MnN=-21.故选C. 12C解折：号a(-243动0解得2或-3故选C 13.A解析：由1x-21<1.可得1<x<3,即x∈(1,3)：由x2+ x-2=(x-1)·(x+2)>0,可得x<-2或x>1,即xe (-,-2)U(1,+)(1,3)是(-，-2)U(1,+x)的 真子集，故“1x-2<1"是“x2+x-2>0"的充分不必要条件 故选A 14.A解析：因为关于x的不等式x2-2ar-8a2c0(a>0)的解 集为(x1x),所以x,+x3=2a,x高，=-82，又3-x1=15,所 以(P=(+户-4=36=15，解得a=号因 为6>0所以a弓放选人 15.(-x,-5]解析：令y=x2+mx+4,则y=x2+mx+4的图象是 开口向上的抛物线，要使当x∈(1,2)时，y<0恒成立，只需 满足 +m1+4≤0解得m≤-5 22+m·2+4≤0， 省数与对数 B错误：对于C,由分式指数幂可得>0，则（任）。 任广了款cE确：对于：吉若故 D错误故选ABD. 四易错提醒 偶次根号具有双重非负性，即被开方数与开方结果均为非 负数 5.A解析：对于A,因为a<0,当m为奇数，n为偶数时，a"<0, 此时a无意义，不合题意，故A错误：对于B,因为a<0, 当m为偶数，n为奇数时，a">0,此时a=a°，符合题意， 故B正确：对于C,因为a<0,当m为奇数，n为奇数时，a“< 0,此时a=a,符合题意，故C正确：对于D,因为a<0, 黑白题026