2.1 命题、定理，定义&2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

第2章 常 2.1命题、定理、定义 白题 哥础过关 1,D解析：由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命 题，所以D为命题.A,B,C不能判断真假，所以不是命题故 选D. 四方法总结 判断一句话是不是命题的两个要素：①陈述句，不可以是疑 何句或析使句：②可以判断真假，即其真假为客观事实，不 带有感情因素。 2,A解析：对于A选项.“红豆生南国”是陈述句，所述事件在 唐代是事实，所以本句是命题：对于B选项，“春来发几枝 是疑问句，不是命题：对于C选项，“愿君多采撷”是析使句 不是命题：对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题 故选A, 3.A解析：因为命题“全等三角形的面积相等“的条件是两个 三角形全等，结论为这两个三角形的面积相等，所以改写成 “若P,则g”的形式为若两个三角形全等，则它们的面积相 等，故选A」 4.两个角是对顶角它们相等解析：若两个角是对顶角，则 它们相等所以命题“对顶角相等”中的条件为两个角是对顶 角，结论为它们相等 5.BD解析：对于A,平面上两组对边平行且相等的四边形不 一定是正方形，故A是假命题：对于B.根据垂直平分线的性 质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故 B是真命题：对于C,2是质数.但22=4为偶数.故C是假命 题：对于D,任何奇数的立方都为奇数，故D是其命题故 选BD. 6.B解析：①因为(A∩B)二A,AC(AUB),所以(A∩B)C (AUB),真命题：2当B=O时，A∩B=A,AUB=A,此时 (A∩B)=A=(AUB),假命题.故选B 7.①3解析：对于①.x2-2x≠0.即x(x-2)≠0，则x≠0且 x≠2，①为假命题：对于②，因为ACB且3∈A,所以3∈B ②为真合题：对于③.当时.-子2>3.③为服命 题：对于④，只有对角互补的四边形才有外接圆，④为真命 题.故答案为①③ 8.甲解析：若甲、乙两命题均正确，且1×3>0,1+3≠2，则丙 丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题若 甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两 根同号，与丁命题矛盾，故甲命题为假命题：若乙为真命题 可知方程的另一根为-1，此时丁命题也为真命题，符合题意 故答案为甲 重难聚焦 9,C解析：由方程无实数根，可知应满足4=a2-4<0,解得-2< a<2,故当a=0时符合条件，故选C 10.[4,+)解析：设P,9表示的集合分别为A,B,由5x-1> a得对则4（兮+）因为=，+）.且若 参考答案 用逻辑用语 P,则)为真命题，所以“≥1，解得a≥4，即实数1的取值 范围是[4，+x).故答案为[4.+x), 2.2充分条件、必要条件、充要条件 白题 基留过关 1.A解析：若a,b都是偶数，则a+b是偶数，充分性成立，但 +b是偶数，a,b都是奇数或都是偶数.必要性不成立.故 “a,b都是偶数”是“a+b是偶数"的充分不必要条件故选A. 2.B解析：当a=5,b=4,c=3时，易知△ABC是直角三角形. 但a2+2≠c2,所以充分性不满足：根据勾股定理.由a+ b2=2,得△ABC是直角三角形，所以必要性可证故选B. 3.B解析：少年强则国强，国强不一定少年强，所以“国强”是 “少年强”的必要条件.故选B. 4.A解析：若m=3,则A=11.9,B=3,9,A∩B=9,则 “m=3”是“A∩B=91”的充分条件：若A∩B=91,则m2= 9,m=±3，则A∩B={9时，m=3不一定成立，则“m=3”是 “A门B=9“的充分不必要条件.故选A. 5.c解折：设=-2 ,选项对应的集合为N,因 为选项是】<2"的一个充分不必要条件，所以N是 的真子集，B.C符合题意故选BC 25-16a>0. 6.A解析：由题知{4 解得a<0.故选A -<0. 7.x>-1(答案不唯一)解析：若x>-1,则不一定有x≥0：岩 x≥0，则x>-1,所以x>-1是x≥0的必要不充分条件.即x≥ 0的一个必要不充分条件是x>-1故答案为x>-1(答案不 唯一） 8.证明：先证明充分性：由a2+b2+c2=ab+ac+bc,得2(a2+ b2+r2)=2ab+2ac+2bc,整理得(a-b)+(a-c)2+(b-c)2=0, 所以a=b=c,即△ABC是等边三角形.然后证明必要性：由 △ABC是等边三角形，得a=b=c,所以a2+2+e2=ab+ac+b 综上所述，a2+b+c2=ab+c+bc是△ABC是等边三角形的充 要条件。 重难聚焦 9.B解析：由x2=4,解得x1=2,x2=-2,又“x=m”是“x2=4" 的充分条件，所以m=2或m=-2.故选B. 四重难点拨 ①若xEA是xEB的充分条件，则A二B:②若xEA是xEB 的必要条件，则BCA 10.[3,+∞)解析：因为xA是xeB的必要不充分条件，所 以B年A又A=(-,a],B=(-0,3),所以m≥3.故答案为 [3,+0) 黑整应用提优 1.B解析：由x2-x=0可得x=0或x=1,由于|x1x=0川军{x x=0或x=1,所以P是g的必要不充分条件故选B. 2.D解析：由1-x<0得x>1,所以1x>1是选项中对应集合 的真子集，结合选项可知，D符合.故选D. 黑白题009 3.BG解析：a>1可得出<1，所以~0>是<1”的充分 条件，a=-1,满足<L,但得不出>1，所以“a>1“是“1 1广的不必要条件，所以a>1”是。<1的充分不必要条件。 放A结误：当a=时，方程为好+1=0，（分1）广=0， 4 解得x=-2,所以集合A中只有一个元素，所以a=是集 合A中只有一个元素的充分条件，当a=0时，方程x+1=0 只有一个解，集合A中只有一个元素，当a≠0时.因为集 合4中只有一个元素，所以4=1P-4如=0.解得a=号所以 1 集合A中只有一个元素，可得a=0或a=4,所以“a=4 是“集合A=xlax2+x+1=0中只有一个元素”的充分不必 要条件，故B正确：如“2e11,21,但推不出2e11,2∩1， 3引，所以“x∈A”是“x∈A∩B”的不充分条件，显然x∈A门B 能得出x∈A,所以“x∈A”是“xEA∩B“的必要条件，故C正 确：由x2-3x+2≠0，可得x+1且x≠2，所以“x≠1”是“x2 3x+2≠0"的必要不充分条件，故D错误.故选BC 4.C解析：充分性：若存在集合C使得AGC.BCCC,则 C,CCCA,所以BCCA,所以ACCB,充分性成立：必要性： 若A二CB,取C=A,则A二C,BCC,C,必要性成立.故选C. 5.(1)①②3(2)④(3)①解析：①ab=0-a=0或6=0， 即a,b至少有一个为0，所以是“a,b都为0”的必要条件，也 是“4，b至少有一个为0”的充要条件：②a+b=0曰4，b互为 相反数.则a,b可能均为0，也可能为一正一负.所以是“a,b 富为0的必要条件：③a(@+6)=0aa=0或：0所以是 b都为0的要条件，国b0一8化C0则a6都 不为0，所以是“a,b都不为0"的充分条件.故答案为(1)① 23:(2)④：(3)①. 6.(-x,1]解析：若AnB=A→ACB,则b-a≤-1，即b≤a 1,要使“a=2”是“A门B=A”的充分条件，只需b≤2-1=1，所 以be(-x,1门.故答案为(-，1]. 7.解：(1)不存在理由：若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立 的充要条件，则A=B.故-m三3无解，故不存在实数m, 3m-2=4. 使得x∈A是x∈B成立的充要条件， (2)存在.由x∈A是x∈B成立的充分不必要条件得A军B, 故3≥引m且等号不同时成立，解得≥4故m≥4， 4≤3m-2. (m≥2， 即m的取值范围为[4，+). (3)存在.由xEA是xeB成立的必要不充分条件得B=A, 当B=☑.即1-m>3m-2,m <3时，符合题意：当B≠⑦，即 时，由BA得31-m且等号不同 3 1-m≤3m-2,m≥ 4 4≥3m-2. 时成立，解得m≤4放m≤2，即}≤m≤2 （m≤2， 4 综上，m的取值范围为(-e,2]. 必修第一册·SJ 压轴挑战 aO<a<3解析：由“y∈B”是“y∈A”的必要条件可知ACB, 因为A中元素为整数，故A只可能为11,2,1,2引，由点(x-1, 0)不在第一.三象限，斜-120或-1≤0即2l①或 x-a≤0 lx-a≥0. "x≤a ≤12，当a<1时，①无解，由2得a≤x≤1，此时A=xeZ☑ a≤x≤1|，故A=1},有0<a<1:当a≥1时.由①②得1≤x≤a, 此时A=x∈Z1≤x≤a.因为1∈A,只须3使A,有1≤a<3综 上，实数a的取值范围是0<a<3.故答案为1a0<a<3. 2.3全称量词命题与存在量词命题 2.3.1全称量词命题与存在量词命题 白题 基础过关 1.BC解析：A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词 命题，故A错误：BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量 词命题.故BC正确：D选项中有存在量词“存在”，是存在量 词命题.故D错误故选BC 2.D解析：对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题： 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题：对于C中含有 “任意一个”，该命题是全称量词命题：对于D中含有“有一 个”，该命题是存在量词命题故选D. 3.B解析：“x2≥5”可改写为“3xeR,x2≥5”故选B 4.C解析：与“Hx∈R,x2+1≥1"表述一致的是“不存在实数 x,使得x2+1<1成立”故选C 5.HxeR,x2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根”是 全称量词命题，故可改写为Hx∈R.x2+1≠0.故答案为HxE R,x2+1≠0. 6.B解析：A选项，0的平方等于0.A错误：B选项，当m=0 时，√m+1=1∈N,满足要求，B正确：C选项，2x+4y=3台 +2=2,若x,y均为整数，则x+2为整数，故不存在整数 x,y,使得2x+4y=3,C错误：D选项.当-2<4<2时，4= (-a)2-4=a2-4<0,此时一元二次方程x2-ax+1=0无实根， D错误故选B. 四方法总结 判断含有量词的命题的真假时要注意： ①判断全称量词命週为真时，需要证明该命对所有元素 都为真：判断全称量词命题为低时，只需举出一个反例即 可：②判新存在量词命题为真时，举出一个满足条件的例子 即可：判断存在量词命题为假时，箭要证明该命题对所有元 素都为假 7D解析：A选项，由1<4<3得<<子x不是整数，所 以A选项错误B选项，由5x+1=0得x=一了x不是整数，所 以B选项错误C选项，x=1或x=-1时，x2-1=0,所以C 12,7 选项错误.D选项，由于+x+2=(x+2)+4 >0,所以D 选项正确，故选D. 8.①②④解析：对于①，平面内垂直于同一条直线的两条直 线平行，①为假命题：对于②.负数没有算术平方根，②为假 黑白题010第2章 常用逻辑用语 2.1 命题 白题 基础过送 题组1命题的概念及表示形式 1.·下列语句为命题的是 A.对角线相等的四边形 B.a<5 C.x2-x-1=0 D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2.“红豆生南国，春来发几枝。愿君多采 撷，此物最相思。”这首《相思》是唐代山水田 园诗人王维的作品.这首诗中，在当时的条件 下，可以作为命题的是 A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 3.命题“全等三角形的面积相等”改写成 “若p,则q”的形式为 ( A.若两个三角形全等，则它们的面积相等 B.若两个三角形的面积相等，则这两个三角 形全等 C.若两个三角形的面积相等，则这两个三角 形不全等 D.若两个三角形不全等，则它们的面积不 相等 4.命题“对顶角相等”中的条件为 结论为 题组2命题真假的判断 5.(多选)下列四个命题中，属于真命题的是 ( A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正 方形 B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等 C.所有质数的平方都不是偶数 D.不存在一个奇数，它的立方是偶数 必修第册·SJ 定理、定义 限时：25mim 6.·对任意集合A和集合B,下列两个命题 ①(A∩B)C(AUB): ②(A∩B)A(AUB). A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 7.下列命题中是假命题的有 ①若x2-2x≠0，则x≠0或x≠2： ②若3∈A,ACB,则3∈B: ③若xex|-2<x<4},则1x-21<3: ④某些四边形不存在外接圆。 8.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列命题： 甲：x=1是该方程的根； 乙：x=3是该方程的根： 丙：该方程两根之和为2： 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 重难聚焦∥ 题组3根据命题的真假求参数的取值范围 9.(2025·江苏扬州高一月 考)给出命题：方程x2+ax+1=0 没有实数根，若该命题为真命题，则a的一 个值可以是 ( A.4 B.2 C.0 D.-3 10.。(2025·福建泉州高一月 考)已知p:5x-1>a,9:x>1,且 “若p,则g”为真命题，则实数a的取值范 围是 黑白题018 2.2充分条件、必要条件、充要条件 白题 基础过关 很时：25min 题组1充分条件、必要条件、充要条件的判断 6.*(2025·广东佛山高一期中)方程ax2+ 1.·(2025·江苏徐州高一期中)已知a,beR, 5.x+4=0(a≠0)有两个异号实根的一个充要 则“a.b都是偶数"是“a+b是偶数”的( 条件是 A.充分不必要条件 A.a<0 B.a>0 B.必要不充分条件 C.a<2 D.a<-1 C.充要条件 7.#(2025·山东泰安高一月考)写出“x≥0” D.既不充分又不必要条件 的一个必要不充分条件： 2.(2025·浙江湖州高一月考)设a,b,c分 别是△ABC的三条边，则“△ABC为直角三角 题组3充要条件的证明 形”是“a2+b2=e2”的 8.求证：a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等 ( A.充分不必要条件 边三角形的充要条件.（这里a,b,c是△ABC B.必要不充分条件 的三边边长) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.(2025·江苏镇江高一期中)梁启超在 《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富 则国富，少年强则国强”的口号.其中“国强” 是“少年强”的 ( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.(2025·山东菏泽高一月考)若集合A= {1,m2},B=3,9},则“m=3”是“A∩B= 重难聚焦 {9”的 题组4根据充分条件、必要条件、充要条 A.充分不必要条件 件求参数 B.必要不充分条件 C.充要条件 9.*(2025·福建厦门高一期 D.既不充分又不必要条件 中)若“x=m”是“x2=4”的充 题组2充分条件、必要条件、充要条件的探索 分条件，则m的一个值可以是 ( 5.（多选)(2025·江苏扬洲高-月考)“ A.0 B.2 C.4 D.16 10.*(2025·福建莆田高一期 x<2”的一个充分不必要条件可以是 中)已知A=(-,a],B= A.x>-1 B.0<x<1 (-o,3),且x∈A是x∈B的必 c 1 D.x<2 要不充分条件，则a的取值范围是 第2章黑白题019 黑题 应用提优 1.(2025·浙江丽水高一期中)已知p:x2 x=0,q:x=0,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(2025·河北石家庄高一月考)“1-x<0” 成立的一个必要不充分条件是 A.x>1 B.x>2 C.x<3 D.x>0 3.(多选)(2025·山东青岛高一月考)下列 说法正确的是 A.“a>1“是1<1“的充要条件 B.“a=}是“集合A=xlax2+x+1=0中只 有一个元素”的充分不必要条件 C.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 条件 D.“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的充分不必要 条件 4.设U为全集，A,B为集合，则“存在集合C 使得ACC,BCCC”是“ACCB"的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.若a,b都是实数，试从①ab=0:②a+b= 0:③a(a2+b2)=0:④ab>0中选出适合的条 件，用序号填空。 (1)“a,b都为0”的必要条件是 (2)“a,b都不为0”的充分条件是 (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件 是 必修第册·SJ 陕时：30min 6.#(2025·江苏连云港高一期中)已知集 合A={x|-1≤x≤1|，B={xlx≥b-a,若 “a=2”是“A∩B=A”的充分条件，则实数b的 取值范围为 7.:苏教教材变式(2025·福建泉州高一月考) 已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|1-m≤ x≤3m-2. (1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立 的充要条件？若存在，求出实数m的值， 若不存在，请说明理由。 (2)是否存在实数m,使得x∈A是xeB成立 的充分不必要条件？若存在，求出实数m 的值，若不存在，请说明理由， (3)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立 的必要不充分条件？若存在，求出实数m 的值，若不存在，请说明理由. 压轴挑战 #(2025·广东佛山高一月考)已 知集合A={x∈Z1点(x-1,x-a)不在 第一、三象限}，集合B={t11≤1<3引 若“yeB”是“y∈A”的必要条件，则实数a的取 值范围是 黑白题020