2025年中考数学第三阶段复习考点过关练习：不规则扇形阴影面积

2025年中考数学第三阶段复习考点过关练习： 不规则扇形阴影面积 1．如图，是半圆O的直径，点P在的延长线上，切于点C，，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 2．如图为的直径，且，点C是弧上的一动点（不与A，B重合），过点B作的切线交的延长线于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分面积． 3．如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)求阴影部分的面积． 4．如图，在中，，以为直径作交斜边于点．连接并延长交的延长线于点，交于点．为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 5．如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 6．如图，中，，，以为直径的与交于点，过作，垂足为，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 7．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 8．如图，是的直径，是的切线，切点为B，． (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点E，且，，求阴影部分的面积． 9．如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 10．如图，是⊙的直径，为⊙的切线，D为⊙上的一点，，延长交的延长线于点E． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 11．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 12．如图1，在中，，，是半圆的直径，点在半圆上运动，射线与射线相交于点． (1)判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，，，连接． ①求证：是半圆的切线． ②求图2中阴影部分的面积． 13．如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 14．如图，在中，，平分交于点，为上一点，，经过，的分别交、于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 15．如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，不规则图形面积的求解等知识点． （1）连接，证明即可； （2）先由求出相关线段，证明，然后再由即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 2．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）如图：连接，先由切线的性质得，由为的直径，得，因为点E是的中点，所以，可证明得，即可证明结论； （2）先由、求得，由圆周角定理得，再根据三角形的中位线定理证明得，由得，则，根据勾股定理求得，即可由求出图中阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， 与相切于点B， ， ， 是的直径， ， ， 点E是的中点， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是关键． （1）证明，则，由得到，则，即可证明结论成立； （2）求出和，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接． 四边形是平行四边形， ，． ． ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ， ； 是的半径， 与相切； （2）解：在中，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，得到，推出，即可得到结论； （2）由得到是等边三角形，得出，求出，得到． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， 为中点， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由垂径定理得到，然后求出，即可证明出； （2）首先得出，然后得到，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为是的直径，弦， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2）由（1）的结论，知， 所以 ． 6．(1)为的切线，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，扇形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先求出，得出，证明，进而可得出结论； （2）根据圆周角定理得出，再得出，再根据三角函数求出，根据求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∴到是边的中线， ∴， 在中，，即， 解得， 所以， ∴，， ∴， 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 8．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式及三角函数的应用．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据，得，，进而得，证明，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明； （2）设，求出的长，得出，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：设， 在中解得， ， 在中， ， ， ，， ，均为的切线， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接、， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，证明，即可证明结论成立； （2）作于点F，连接，证明是等边三角形，得到，求出，则，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵为⊙的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵点D在上， ∴是⊙的切线； （2）如图，作于点F，连接， 由可得：是斜边的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ． 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由与相切于点A，得，则，由于点E，得，则，所以，则； （2）作于点F，由是的切线，得，可证明四边形是矩形，由的直径，得，而，则是等边三角形，所以，，则，求得，，由，求得，即可由求得． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：作于点F，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的直径，且， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、圆周角定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．(1)是定值，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，而，，即可得到答案； （2）①如图，连接，求解，，证明，可得，进一步可得结论； ②过作于，求解，，，，，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：是定值，理由如下： 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴是定值． （2）解：①如图，连接， ∴，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是半圆的切线； ②过作于， ∵，，， ∴，，，，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，求解不规则图形的面积，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线与相切于点，点在上，是的半径则有所求结论． （2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径，根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ， 又， ， ， 直线与相切于点， ， ， 点在上，是的半径， 直线是的切线． （2）解：设半径，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， 故图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明，则，得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）先求出，进而求出，推出，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，由计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ， ∴， 是的半径， 是的切线； （2）解：∵， ， 是的平分线， ， ∴， ，， ∴， ∴， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定、直角三角形的性质、勾股定理，扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定、解直角三角形是解题的关键． 15． 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$