2025年中考数学三轮复习备考-分式方程的实际应用常考热点专题提升训练

2025年中考数学三轮复习备考-分式方程的实际应用 常考热点专题提升训练 1．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． (1)问：、两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要购进、两款玩偶1200个，且款的数量不小于款的一半，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 2．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共20个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． (1)小明摸到黑球的概率是__________； (2)盒子里装有黑、白两种球各多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 3．“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 4．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 5．2024年12月31日，国家卫生健康委面向公众发布的《体重管理指导原则（2024年版）》指出，有研究预测，如果得不到有效遏制，2030年我国儿童超重肥胖率将达到．某校为了增强学生的身体素质，降低肥胖率，计划购买一批足球和篮球供同学们锻炼使用．经市场调查发现：购买1个足球比1个篮球的价格多5元，用640元购买足球和用600元购买篮球的数量相同． (1)求足球和篮球的单价分别是多少元． (2)某商店推出了打折优惠活动：足球以九折出售，篮球以八折出售．学校计划在该商店购买足球和篮球共100个，且要求足球的数量不少于篮球数量的2倍，请你帮助学校选择花费最少的购买方案． 6．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 7．某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 8．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 9．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 10．超市准备购进甲、乙两种商品，甲商品的进货单价比乙商品多20元/件，用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同． (1)求甲商品的进货单价； (2)甲、乙两种商品的售价分别为160元/件、120元/件，要求：购进这两种商品共200件，且全部销售的总利润不少于10800元． ①超市购进甲商品最少为多少件？ ②若购进甲商品不超过155件，且销售甲商品时优惠元/件．超市要获得最大利润应如何进货？ 11．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 12．某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元； (2)若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 13．为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求，两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢商场促销：种书架九折优惠，若购进种书架不少于种书架的数量的，请你设计一种方案，怎么购买，两种书架，可以使学校花费最少？ 14．两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型． (1)“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ (2)由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价． 15．某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元 (2)购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，则购进款个，先根据“款的数量不小于款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得 经检验，是该方程的解， ， 答：款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元． （2）解：设购进款个，则购进款个， ∵款的数量不小于款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则 ， 随的增大而减少， 当取得最小整数解400时，取得最大值，最大值为 此时，则 答：购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 2．(1) (2)盒子里装有白球5个，黑球15个 (3)往盒子里再放入5个白球 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用白球的频率，结合频率估计概率求解即可； （2）总数乘以黑、白球的概率即可； （3）设需要往盒子里再放入个白球，根据“摸到白球的概率为”列方程求解即可． 【详解】（1）解：小明摸到黑球的概率是， 故答案为：； （2）盒子里装有白球为（个）， 则黑球的个数为（个）； 答：盒子里装有白球5个，黑球15个； （3）设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：需要往盒子里再放入5个白球． 3．件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 4．10人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 5．(1)足球的单价是80元/个，篮球的单价是75元/个 (2)购买足球67个，购买篮球33个，学校总花费最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，再设足球的单价是元／个，则篮球的单价是元／个，然后列出分式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买足球m个，则购买篮球个．得，解得．依题意，得，再运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设足球的单价是元／个，则篮球的单价是元／个． 由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：足球的单价是80元/个，篮球的单价是75元/个． （2）解：设购买足球m个，则购买篮球个． 由题意，得， 解得． m为正整数， m的最小值为67． 设总花费为w元， 由题意，得， ， w随着m的增大而增大， 当时，w有最小值， 此时，， 答：购买足球67个，购买篮球33个，学校总花费最少． 6．(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 7．(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 8．(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 9．(1)甲公司有人，乙公司有人； (2)购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解题的关键． （）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的倍”，再建立分式方程求解即可； （）设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数，根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，根据题意得 解得： 检验：把代入 故是所列方程的解． 则（人） 答：甲公司有人，乙公司有人； （2）解：设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数， 根据题意得 ∴， ∴， 当时， 符合题意； 当时， 符合题意； 当时， 不符合题意； 综上所述，购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 10．(1)甲商品的进货单价是100元/件． (2)①超市购进甲商品最少为140件；②超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的图形与性质，读懂题意，得出分式方程，一元一次不等式，求出一次函数的解析式，是解答本题的关键． （1）设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件，根据用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同．列出分式方程求解即可； （2）①设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，根据全部销售的总利润不少于10800元，建立一元一次不等式，求解即可； ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元，则，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件， 得， 解得；经检验，是原分式方程的解； 即甲商品的进货单价是100元/件． （2）解：①甲商品的利润为：（元）； 乙商品的利润为：（元）； 设超市购进甲商品件，则购进乙商品件； 得， 解得，即超市购进甲商品最少为140件． ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元， 则， 其中； ， ， 当时，值最大， 即超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 11．(1)去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确找出数量关系是解题的关键． （1）设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍”列方程即可求解； （2）先求出今年A、B两种品牌的单价，再设学校今年购买个A品牌足球，根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则去年B品牌足球的单价为（元）， 答：去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元． （2）解：今年A品牌足球的单价为（元）， 今年B品牌足球的单价为（元）， 设学校今年购买个A品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：学校至少要购买50个A 品牌足球． 12．(1)A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元 (2)学校共有3种购买方案 (3)购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，正确理解题意、得出方程和不等式组是解题的关键； （1）设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元，根据题意列出关于x的方程，解方程并检验后即得答案； （2）设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台，根据购买费用不少于14000元且不高于14400元，即可得到关于m的不等式组，解不等式组后再取其解集的整数值即可； （3）设购买两种机器人的花费为y元，根据题意得到y关于m的函数关系式，结合（2）的结果利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴， 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； （2）解：设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台， 根据题意可得：， 解得：， ∵m为整数， ∴，11，12； 答：学校共有3种购买方案； （3）解：设购买两种机器人的花费为y元， 则， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，元， ∴购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 13．(1)种书架的单价为500元，种书架的单价为600元； (2)购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少． 【分析】本题主要考查分式方程，一次函数，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设种书架的单价为元，种书架的单价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购买种书架个，学校花费为元，由此列式得到，根据购进种书架不少于种书架的数量的，得到购买种书架的取值范围，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元， ∴， 解得， 经检验是原方程的根，， 答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元； （2）解：设购买种书架个，学校花费为元， ， ，随着的增大而增大， ， ， 当时，取得最小值， 答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少． 14．(1)每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元 (2)每袋香甜味桃片的售价为50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元， 根据题意，得，解得， 答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元； （2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元， 根据题意，得， 整理，得， 解得（负值已舍去） 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：每袋香甜味桃片的售价为50元． 15．(1)一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元 (2)该商场应将型电烤箱的售价定为1900元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元，根据每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，列放出即可解答． 【详解】（1）解：设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元； （2）解：设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元． 根据题意，得． 解得，． 因为力求尽快清空库存，所以应降价500元． （元）． 答：该商场应将型电烤箱的售价定为1900元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$