精品解析：四川省广安中学2024-2025学年八年级下学期第一次阶段性考试数学试卷

四川省广安中学2024-2025学年八年级下学期第一次阶段性考试数学试卷 一、单选题 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要使有意义，的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①如果不等式解集为，那么 ②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小 ③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形 ④各边对应成比例的两个多边形相似 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 写出一个比大的无理数：_________． 12. 平行四边形一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 13. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 14. 计算：__． 15. 如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为_________． 16. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 20. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． （1）求长； （2）连接，判断的形状并说明理由． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 22. 问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 勾股定理：______． 尝试证明： （2）善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明． 解决问题： （3）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请设法求出旗杆的高度． 23. 如图，三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、G，沿DG折叠，使点A的对应点A′落在BC边上；继续将纸片折叠，使BD与DA′重合，CG与GA′重合，折痕分别为DE，GF，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．连接AA′，则AA′为△ABC的高线． （1）若△ABC面积为10，则矩形DEFG的面积为______； （2）若点A′恰好是边BC的中点，求证：四边形ADA′G为菱形； （3）当△ABC满足什么条件时，矩形DEFG为正方形，请说明理由． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 25. 在中，，，点D在边上． （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．求证：； （2）如图2，在线段上取一点F，使得，过点D作，交于点H，连接，过点B作垂直于的延长线于点G，，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安中学2024-2025学年八年级下学期第一次阶段性考试数学试卷 一、单选题 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的相关性质与判定：从角的关系，只要由一个角为直角，则为直角三角形；从边的关系，满足最大的边的平方等于较小两个边的平方和，即为直角三角形；据此即可作答． 【详解】解：A、因为， 所以设， 则，故该选项是错误的，符合题意； B、因为，， 所以， 即，故该选项是正确的，不符合题意； C、因为， 所以，即，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为， 所以设，即，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 5. 要使有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①如果不等式的解集为，那么 ②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小 ③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形 ④各边对应成比例的两个多边形相似 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，二次函数的图象和性质，中点四边形以及菱形的判定方法，相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如果不等式的解集为，则：，；故①为真命题； 已知二次函数， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；故②为真命题； 根据三角形的中位线定理，结合有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，故③为真命题； 各边对应成比例且对应角都相等的两个多边形相似，故④是假命题； 故选C． 7. 如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又∵E是边的中点，F是对角线的中点， ∴是的中位线， ， 故选：B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的判定可知道A错误，根据正方形的判定可知道B错误，根据平行四边形的判定可知道C错误，根据菱形的性质可知道D正确． 【详解】解：A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，A错误． B．四个角和四条边都相等的四边形是正方形，B错误． C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，C错误． D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，D正确． 故选：D 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 10. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 二、填空题 11. 写出一个比大的无理数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：， ，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了无理数、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 12. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 14. 计算：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 设 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中，， 在中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解． 【详解】解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，平方差公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，再进行加减法，即可作答． （2）运用平方差公式进行展开，再运用加减，即可作答． 【小问1详解】 解： =； 【小问2详解】 解： 19. 如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形； （2）由，，得到，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：在中，是边的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：满足条件时四边形为菱形． 理由：若时，为等腰三角形， ∵点是的中点， 即为中线， ， 即， 四边形为菱形． 20. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． （1）求的长； （2）连接，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 勾股定理：______． 尝试证明： （2）善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明． 解决问题： （3）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请设法求出旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，正确运用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理得：； （2）证明：方法一：连接，利用梯形面积计算即可．方法二：利用正方形面积计算即可； （3）由题意知：，由勾股定理得，再计算即可． 【详解】解：(1)根据勾股定理得：， 故答案为： （2）证明：方法一：如图②，连接， 梯形面积面积面积， 又梯形面积， ∴， ∴． 方法二： 正方形面积=正方形面积面积， 又正方形面积， ∴． （3）如图③： 由题意知：， ∵， ∴， 解得， 故旗杆的高度为12米． 23. 如图，三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、G，沿DG折叠，使点A的对应点A′落在BC边上；继续将纸片折叠，使BD与DA′重合，CG与GA′重合，折痕分别为DE，GF，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．连接AA′，则AA′为△ABC的高线． （1）若△ABC面积为10，则矩形DEFG的面积为______； （2）若点A′恰好是边BC的中点，求证：四边形ADA′G为菱形； （3）当△ABC满足什么条件时，矩形DEFG为正方形，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）证明见解析；（3）AA'＝BC． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出SΔDA'G＝S△DAG，SΔDA'E＝S△DBE，SΔGA'F＝S△GFC，则可得出答案； （2）由折叠可知A'D＝AD，∠A'DG＝∠ADG，A'G＝AG，∠A'GD＝∠AGD．得出AD＝AG，根据菱形判定可得出结论； （3）由三角形中位线定理可得出DE＝AA'．DG＝BC，得出DE＝DG，正方形的判定可得出结论． 【详解】解：（1）由题意知，SΔDA'G＝S△DAG，SΔDA'E＝S△DBE，SΔGA'F＝S△GFC， ∴S矩形DEFG＝SΔDA'G+SΔDA'E+SΔGA'F＝S△ABC＝5； 故答案为5． （2）证明：由折叠可知A'D＝AD，∠A'DG＝∠ADG，A'G＝AG，∠A'GD＝∠AGD． ∵D，A'分别为AB，BC的中点， ∴DA'AC，DA'＝AC， ∴∠A'DG＝∠AGD， ∴∠ADG＝∠AGD， ∴AD＝AG， ∴A'D＝AD＝A'G＝AG， ∴四边形ADA'G为菱形； （3）AA'＝BC． 理由如下： ∵D，E分别是AB，BA'的中点， ∴DE＝AA'． 又∵D，G分别是AB，AC的中点， ∴DG＝BC， ∵AA'＝BC， ∴DG＝DE． ∴矩形DEFG是正方形． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质综合，解题的关键是熟知三角形的面积；三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；翻折变换的性质． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，； 小问3详解】 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 25. 在中，，，点D在边上． （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．求证：； （2）如图2，在线段上取一点F，使得，过点D作，交于点H，连接，过点B作垂直于的延长线于点G，，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解，② 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，在根据旋转的性质可得，，进而得到，可证可得，进而说明； （2）①根据题意得，，，进一步得和，即可证明； ②如图，将逆时针旋转得到，连接，由旋转得，，则，，由①知为等腰直角三角形，利用即可证明，则有和，判定在同一直线上，则是等腰直角三角形，有为的中点，则是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； ∵线段绕着点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴； ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ②如图，将逆时针旋转得到，连接， 则，， ∴，， 由①知为等腰直角三角形， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在同一直线上， ∵，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，并利用旋转构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $