精品解析：云南省丽江市第一高级中学2026届高三适应性月考（一）数学试卷

丽江市第一高级中学高2026届高三适应性月考（一） 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2. 已知非零向量满足，若与的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由构成等边三角形，即可求解. 【详解】 如图， 构成等边三角形， 易知， 所以， 故选：B. 3. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 4. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案. 【详解】解：由二项分布的方差公式有， 解得: 或. 而即， 解得: 所以，从而. 故选:A 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D 6. 已知函数满足以下四条性质：（1）在定义域内函数不单调；（2）在上函数有最小值；（3）函数是奇函数；（4）函数的图象是轴对称图形.则该函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性，奇函数，最值及对称性分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，不满足（2）（4）； 对于B，不满足（4）； 对于C，符合所有性质； 对于D，是偶函数，不满足（3）. 故选：C 7. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化. 【详解】共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确 去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误 有，，故AB错误. 故选：C. 8. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果. 【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座. 则从第五阶后共有座. 设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为 由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列. 所以 所以 所以由，解得或 （舍去） 所以该塔的阶数是 故选：C 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：若，则满足，此时，A错误； 对于B：若，则，所以，B正确； 对于C：若，，所以，所以，C正确； 对于D：若，则不等式同乘，则，同乘，则，所以，D正确， 故选：BCD 10. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若复数，且，则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由复数除法运算及复数模长计算公式可判断选项正误；对于B，由共轭复数定义可判断选项正误； 对于C，由复数几何意义可判断选项正误；对于D，由，结合复数几何意义可判断选项正误. 【详解】对于A，由，得，则 ，故A正确； 对于B，由得，故B错误； 对于C，由得复数对应的点为，位于第三象限，故C正确； 对于D，由得， 则，即， 故在复平面内对应的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故D正确. 故选：ACD. 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由性质的定义结合函数的单调性以及奇偶性即可判断BD，举出反例即可判断AC. 【详解】由性质的定义可知，当时，， 且时，. 对于A，因为的定义域为，值域为， 当时，必有， 所以函数不具有性质，故A错误； 对于B，因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 且，即为奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故B正确； 对于C，取，，即， 则， 所以函数不具有性质，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递增， 且， 所以是奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故D正确； 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】点代入直线得到，，得到数列是等差数列，运用等差数列公式计算即可. 【详解】由题知，，即，∴数列是首项公差为2的等差数列，∴，从而． 故答案为：. 13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________． 【答案】6 【解析】 【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故． 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 14. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，直接，再由二次函数的最值求解. 【详解】， 因为，所以， 则， 故函数与的“偏差”为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由数量积定义可直接求得结果； （2）结合数量积的运算律可求得，进而得到结果； （3）根据垂直关系得到，由数量积的运算律构造方程求得结果. 【详解】（1）； （2），； （3），， 即，解得：. 【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题. 16. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【答案】（1） （2）分布列： X 3 4 5 P 数学期望为 （3）比赛局数越多，对实力较强者越有利，理由： 采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：． 令， 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，． 所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响． 由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 【解析】 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （3）分别求得三局二胜制进行比赛甲获胜的概率和五局三胜制进行比赛甲获胜的概率，结合作差比较法，以及函数的性质，即可得到结论. 【小问1详解】 设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． 【小问2详解】 比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ． 所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． 【小问3详解】 略 17. 已知函数． （1）请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间． （2）求的解集． 【答案】（1）图象见解析，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）分三段分别作出函数图象，即可得到的简图，根据图象可写出该函数的单调递增区间； （2）分两种情况讨论，分别解不等式，两种情况求并集即可求的解集． 【小问1详解】 函数， 在平面直角坐标系中作出的简图如下： 根据图象可得该函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为， 则，可得， 或，可得， 综上可得的解集为． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调增区间； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）设函数，根据导数得出在单调递增，又即可求解单调增区间； （3）设，由题意即证，根据导数得出，法一：再设得出，即可证明；法二：由，得，则，即可证明． 【小问1详解】 ， ，， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得． 【小问2详解】 设函数， ， 令，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 于是，故在单调递增， 又，故时，， 时，，故的单调增区间为． 【小问3详解】 由于有定义，且，故．要证， 只需证． 设函数，即证， ， 设，， 故在上单调递增， ，故在上单调递增， 于是， 解法一：现构造函数，， 于是在上单调递增，故． 而，故，故，得证； 解法二：，故，故， 所以，故，故， 故，即． 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与 所成的角是． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定方法，由线线平行判定线面平行. （2）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角. 法二：构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求角即可. （3）根据空间向量的夹角公式求参数. 【小问1详解】 设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. 【小问2详解】 正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面，， 则平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 因为， ， 所以，所以为平面的一个法向量， 所以，所以 与的夹角为． 即所求的二面角的大小为． 法2：在平面中过 作于，连接， ，，， 平面， 是在平面上的射影， 由三垂线定理得 是二面角的平面角 在中，，， ，， 二面角的大小为； 【小问3详解】 设，（），则， 因为PF与BC所成的角是60°， 所以， 解得或(舍)． 故为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学高2026届高三适应性月考（一） 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知非零向量满足，若与的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 4. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 6. 已知函数满足以下四条性质：（1）在定义域内函数不单调；（2）在上函数有最小值；（3）函数是奇函数；（4）函数的图象是轴对称图形.则该函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 8. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若复数，且，则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为______． 13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________． 14. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 16. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 17. 已知函数． （1）请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间． （2）求的解集． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调增区间； （3）若，证明：． 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $