精品解析：广东省惠州市惠城区惠州市中建麦绍棠学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

惠城区2024-2025学年第二学期期中检测八年级数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不能含分母．据此逐个判断即可． 【详解】A. ：被开方数为分数，含有分母，可化为，不是最简，不符合题意； B. ：，含完全平方因数，可化为，不是最简，不符合题意； C. ：被开方数，无平方因数，且根号外无分母，符合最简条件，符合题意； D. ：，含完全平方因数，可化为，不是最简，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及运算法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，故原式错误，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较短两边的平方和等于较长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：A、，1，2，3不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B、，6，9，12不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C、，6，8，10能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D、，，，不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，根据同类二次根式的概念即可判断． 【详解】A.=，与是同类二次根式 B.=3，与不是同类二次根式， C.与不是同类二次根式 D.=与不是同类二次根式 故选A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由矩形得到，然后求出，继而利用角直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 6. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 7. 如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据平行四边形的对角相等得到，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵垂直于， ∴， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，利用菱形的性质得出，，，利用含的直角三角形的性质得出，利用勾股定理求出，然后根据菱形面积求出，即可求出，最后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴，即， 解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 9. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0）和（0，3），以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（−2，0），（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝， ∴AC＝AB＝， ∴OC＝， ∴点C的坐标为（，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长． 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接，交于点，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可证，根据三角形全等的性质即可得到①正确；由上面的全等的性质和矩形的性质可知四边形是平行四边形，再根据垂直平分线的性质得到一组临边相等即可知②正确；先证明，根据三角形全等的性质可知，再根据垂直平分线的判定即可得到③正确；根据矩形的性质和等边三角形的判定可知是等边三角形，所以可得，根据所对的边是斜边的一半，可得，可得，故④错误； 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵过点的直线分别与，交于点，， ∴ ∵，，， ∴， ∴ 故①选项正确； 在矩形中，，， ∵, ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在矩形中， ， 又， ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分线段； ∴， ∴四边形是菱形； 故②选项正确； 在和， ∵， ∴ ∴， 又， ∴垂直平分线段； 故③选项正确； 由上可知， 在中， ， ∵， ∴， 故④选项错误； 故选项为：C 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定等知识点，解决此题的关键是熟练的运用各个知识点. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 12. 比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】根据勾股定理可得三个正方形的边长为直角三角形的三边，符合勾股定理，据此即可求解． 【详解】解：∵一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676， ∴最小的正方形的面积为， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理满足两直角边的平方和等于斜边的平方（）是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 三、解答题一：本大题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法法则（）计算即可. 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练应用二次根式的乘除法法则是解题的关键. 17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图①中画出一个以为底边，高为3的平行四边形； （2）在图②中画出一个以为一边的菱形． 【答案】（1） 如图所示，平行四边形就是所求作的图形； （2） 如图所示，菱形就是所求作的图形． 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中作平行四边形及菱形，熟练掌握平行四边形及菱形的判定是解题的关键． （1）在格点图中作的平行线，且与的距离为3，在平行线上取格点D、E，使，连结，，根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形，可知图形满足题意； （2）由勾股定理可得，在格点图中作水平线段，连结，则，根据四条边相等的四边形是菱形，可知图形满足题意． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证． 【详解】略 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算为骤． 19. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式” 问题：已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可列方程进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，① ∵，② ∴①+②得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 20. 如图，将长方形沿直线对折，将点B折到点E处，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求． 【答案】（1） ， 由折叠的性质得：， ， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过角平分线和内错角相等证明两个底角相等从而证明等腰三角形； （2）通过设未知数建立方程，再结合勾股定理解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设CF为x； ∵， 故有：， 解得：． 即 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、方程法求解直角三角形边长，掌握这些方法是解题关键． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形； ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理． 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点； （1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积； （2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标； （3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离． 【答案】（1）△ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为 【解析】 【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可； （2）根据题意判断出，从而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出结论； （3）首先根据“双等边”模型推出，得到，进一步推出，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由非负性可知，，解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）可知CB=CA， ∵∠CBA=60°， ∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°， ∵△CDE为等边三角形， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA， ∴∠DCB=∠ECA， 在△DCB和△ECA中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动， ∵要使得OE最短， ∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠城区2024-2025学年第二学期期中检测八年级数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 7. 如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0）和（0，3），以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接，交于点，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为____________． 14. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 三、解答题一：本大题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图①中画出一个以为底边，高为3的平行四边形； （2）在图②中画出一个以为一边的菱形． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算为骤． 19. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式” 问题：已知 （1）求的值； （2）求的值． 20. 如图，将长方形沿直线对折，将点B折到点E处，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点； （1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积； （2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标； （3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $