正弦、余弦函数的周期性教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

《正弦、余弦函数的周期性》教学设计 1、 授课内容 普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二课时“正弦、余弦函数的周期性” 2、 教材分析 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二课时的教学内容，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性。本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨。正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础。所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用。 3、 学情分析 本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性。通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础。本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画 “周而复始”的变化规律，学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想。 4、 教学目标 1. 知识与技能 1) 理解函数周期性的概念； 2) 能判断一些常见简单常见的三角函数的周期和最小正周期。 2. 过程与方法 通过观察、分析函数变化规律，提升发现问题、分析问题、解决问题以及总结归纳的能力。 3. 情感，态度与价值观 1) 让学生在学习中体会数形结合的思想； 2) 激发学生对数学知识的欲望，凸显主观能动性，提高学习兴趣。 5、 教学重难点 【重点】函数周期性的概念 【难点】准确判断函数的最小正周期 6、 教学过程 (1) 创设情境，开门见山 地球自转引起的昼夜交替，公转引起的四季交替变化；月亮的阴晴圆缺……课表的安排、摩天轮、钟表上的时针、分针、秒针等等，都给我们一种循环、重复的感觉，我们可以用“周而复始”这个词来表述它，这叫做周期现象，那么在数学的函数里，有没有周期性呢？ 大屏幕展示正弦函数的图像，教师提问学生有怎样的直观印象。结合学生的回答说明这是从图形的角度感受这种重复的、周而复始的变化规律，这节课从代数角度来刻画这种变化。 图1 (2) 学习新知 教师：同学们思考一下，我们之前由正弦线的变化规律得到了诱导公式，公式中又是怎样反应这种周而复始的变化的？ A学生：x每增加2k,函数值都和原来相等。 教师：这位同学说的非常好。在数学上，我们用周期性这个概念来定量的刻画这种周而复始的变化规律。在图像中，当x=时，函数值y=1，大家找找还有没有其他函数值相同的点。 学生：x=时，y=1；x=时，y=1。 教师:好，那大家看看这三个自变量之间的关系。 （师生共同探究出当函数值相同的时候，自变量之间的关系，从而得出周期函数的定义） 教师：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个定值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 教师：大家能不能根据周期函数的定义得出正弦函数的周期呢? C学生：2 D学生：-2 …… 教师：大家说的其实都对。这里我们就可以发现，周期函数的周期是不唯一的，任何一个常数2k都是它的周期。为了解决周期不唯一的，在数学上，我们规定“如果在周期函数所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。” 教师：下面同桌之间互相讨论，正弦函数的最小正周期是多少？ 学生：通过观察正弦函数的图像，得出正弦函数的最小正周期是2。 教师：对，这个同学回答正确。那么下面大家根据周期函数和最小正周期的定义，类比正弦函数，分析以下余弦函数周期函数吗？如果是，那么它的周期和最小正周期又是多少呢？四人为一个小组，进行探讨，一会儿各组选出一个代表说说自己组讨论出来的结果。 （小组讨论） 图2 学生：用五点作图法， x 0 1 0 -1 0 1 观察图像，我们可以发现y(0)=y(2)=1，所以余弦函数也是周期函数，余弦函数的周期也是2k，最小正周期也为2。 教师：对，你们这一组的方法很好。那么，其他组有没有不同的方法呢？ 同学：老师，也可以根据余弦函数的诱导公式 通过公式我们可以知道，余弦函数是周期函数，它的周期是2k，最小正周期为2。 教师：同学们回答的非常好。看来大家都已经熟练掌握了周期函数和最小正周期的概念。那么老师有个问题，是否所有的周期函数都一定存在最小正周期呢？ 学生：应该存在吧！ 学生：不一定吧。 教师：我们来举个例子看一下…… （师生互动得出：周期函数不一定都有最小正周期，常函数=c，c是常数，所有非零实数都是它的周期，但不存在最小正数，所以没有最小正周期。） 教师：之后的学习中，如果提到周期，没有特别说明的话，一般都是指最小正周期。 (3) 巩固练习 例1、 填空 （1） 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 （2） 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 例2、辨析 （1） 因为 ，所以 是 的周期。 （2） 周期函数的周期唯一。 （3） 常数函数=5是周期函数。 分析：（1）错。例如 。 （2） 错。结合正弦函数周期进行分析。 （3） 对。常函数=c，c是常数，所有非零实数都是它的周期，但不存在最小正数，所以没有最小正周期。 例3、求出下列函数的周期。 （1） y （2） （3） （第一题师生共同完成，第二、三题学生独立完成，教师随机选择两名学生上台作答。作答结束后，由学生点评） 分析：（1），由周期函数的定义可知，原函数的周期为2； （2） 因为，由周期函数的定义可知，原函数的周期为。 （3） ，由周期函数的定义可知，原函数的周期为4. (4) 课后作业 1.求下列函数的周期： （1） ,x （2） ,x （3） ,x （4） ,x。 (5) 总结归纳 教师引导学生回顾本节课的知识： 1) 周期函数的定义； 2) 正、余弦函数的最小正周期； 3) 周期函数可以是正数，也可以是负数，不唯一； 4) 不是所有的周期函数都有最小正周期。 周期函数 周期 () 最小正周期 7、 板书设计 正弦、余弦函数的周期 周期函数定义 最小正周期 1 1 1 8、 教学反思 “正弦、余弦函数的周期”是在学生掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图像及五点作图的方法，能力上已经具备了一定的形象思维和抽象思维能力，思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想，以此为基础进行教学。结合新课标的要求，对教材和学情的分析。通过本节课的学习，不仅能进一步培养学生的数形结合的能力、分析问题和解决问题的能力，而且能让学生把这些知识迁移到后续的学习中去，为以后研究三角函数的其他性质打下基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$