第1章 勾股定理 单元测试2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　　米． A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走　　米路． A．20 B．30 C．40 D．50 3．如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 4．在△中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定△为直角三角形的是　　 A． B．，， C．，， D． 5．如图，△的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于　　 A． B． C．2 D． 6．如图，已知线段与相交于点．若，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，面积分别为，，，且．若，，则下列判断错误的是　　 A．四边形的面积是24 B． C．连接，则 D． 8．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为　　 A．25 B．49 C．81 D．100 9．如图，△中，，的中垂线交于，交于点，若，，则△的周长为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　　 A．75 B．100 C．125 D．150 11．小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为　　 A．14 B．17 C．20 D．24 12．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，直线交正方形的两边于点，，若，，则用含、的式子表示的值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 　　． 14．在中， 若，，则的面积是　　． 15．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　　． 16．如图，在△中，，过点作，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别交，，于点，，，连接，若，，则的长为 　　 ． 17．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形．连接，，，分别与，相交于点，．若，则　　，的值为 　　． 三．解答题（共5小题） 18．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量，，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 19．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为． （1）用含，的代数式表示正方形中空白部分的面积：　　 ． （2）若，，设正方形中空白部分的面积为，正方形中空白部分的面积为，求的值． 20．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． （1）求的长度； （2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 21．在△中，，，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断与的关系，并证明． （2）若，，且△是钝角三角形，求第三边的长的取值范围． 22．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元测试 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B B D A D B A C 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题） 1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　　米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：两棵树的高度差为（米，间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：． 2．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走　　米路． A．20 B．30 C．40 D．50 【分析】根据勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：在△中， 米，米， （米， （米， 走这条近路可以少走20米的路． 故选：． 3．如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ， 又，， ． 故选：． 4．在△中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定△为直角三角形的是　　 A． B．，， C．，， D． 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， △不是直角三角形， 故符合题意； 、，，， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 、， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 5．如图，△的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于　　 A． B． C．2 D． 【分析】根据勾股定理先求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高． 【解答】解：由图可得， ， 设边上的高为， ， 解答， 故选：． 6．如图，已知线段与相交于点．若，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】沿方向平移到，可得，，，再作于点，连接．由“两点之间，线段最短”及勾股定理可得的最小值的长． 【解答】解：沿方向平移到，作于点，连接． ，，，． ，． ，的最小值为的长． ． ，． ． 故选：． 7．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，面积分别为，，，且．若，，则下列判断错误的是　　 A．四边形的面积是24 B． C．连接，则 D． 【分析】根据题意可知：，，，结合题意可以比较出，根据勾股定理可以表示出，进而求出的长，得到，再利用，表示出，再根据，对选项作出判断即可． 【解答】解：如图，连接， 根据题意可知：，，，， ， ，故选项正确； 在△与△ 中， ， ， ，， ，故选项正确； ， ，故选项正确； ， ， 即， ，，同理， ， ， 故选项不正确，符合题意， 故选：． 8．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为　　 A．25 B．49 C．81 D．100 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【解答】解：由勾股定理可知：， 故选：． 9．如图，△中，，的中垂线交于，交于点，若，，则△的周长为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ． 故选：． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　　 A．75 B．100 C．125 D．150 【分析】由题意可知：，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【解答】解：由勾股定理，得， ， ， ， ， 每个直角三角形的面积为， 故选：． 11．小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为　　 A．14 B．17 C．20 D．24 【分析】先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出、的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可． 【解答】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意可得，， 解得， ， 正方形的周长为， 故选：． 12．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，直线交正方形的两边于点，，若，，则用含、的式子表示的值是　　 A． B． C． D． 【分析】作，交的延长线于点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：作，交的延长线于点， △△， ， ， ， △△， ， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 　　． 【分析】先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【解答】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 14．在中， 若，，则的面积是　 12 　． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论 ． 【解答】解： 取的中点，连接， ， ，， ， 的面积， 故答案为： 12 ． 15．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　7　． 【分析】根据勾股定理得，，再利用正方形的面积公式可得答案． 【解答】解：在中，由勾股定理得，， ， ，， ， 故答案为：7． 16．如图，在△中，，过点作，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别交，，于点，，，连接，若，，则的长为 　3　 ． 【分析】连接，根据勾股定理求出，由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，根据得，根据证明△△，可得出；由得，由，得，可得出，得出，由勾股定理得出． 【解答】解：连接，如图， 在△中，，，， ． 由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 又，， ， ， 又， ， 在△中，， 故答案为：3． 17．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形．连接，，，分别与，相交于点，．若，则　30　，的值为 　　． 【分析】先由证得，得出，，；设，则可得、、、及的长，再由证得，得出，即可得出结果． 【解答】解：四边形、四边形四边形都为正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：30；． 三．解答题（共5小题） 18．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量，，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 【分析】（1）连接，直接利用勾股定理求解即可得； （2）连接，先根据勾股定理的逆定理可得△是直角三角形，且，再根据四边形的面积等于求出四边形的面积，由此即可得． 【解答】解：（1）如图，连接， ，，， ， 答：、两点之间的距离． （2）由（1）已得：， ，， ， △是直角三角形，且， 四边形的面积为， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为（元， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 19．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为． （1）用含，的代数式表示正方形中空白部分的面积：　　 ． （2）若，，设正方形中空白部分的面积为，正方形中空白部分的面积为，求的值． 【分析】（1）利用正方形的面积减去即可求解； （2）分别求得，；求得，利用平方差公式分解，再整体代入数据求解即可． 【解答】解：（1）正方形中空白部分的面积为：； 故答案为：； （2）根据条件可得 ， ，， ． 20．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． （1）求的长度； （2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【分析】（1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出△为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【解答】解：（1）在△中，由勾股定理得：（米， （2），， ， △为直角三角形，， （米， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元， 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 21．在△中，，，． （1）①若为直角，则由勾股定理得．若为锐角，求证：． ②若为钝角，试判断与的关系，并证明． （2）若，，且△是钝角三角形，求第三边的长的取值范围． 【分析】（1）①过点作于点，如图1所示，在△与△中，由勾股定理可推出，即可得出结论；②过点作交的延长线于点，如图2所示同法①可得结论； （2）当为钝角时，由（1）②得，即；当 为钝角时，由（1）②得，即．即可得出结果． 【解答】（1）①证明：过点作于点，如图1所示， 则． 在△中，， 在△中，， ， ， 整理得． ，， ， ②解：，证明如下： 过点作交的延长线于点，如图2所示， 则， 在△中，， 在△中，， ， ， 整理得， ，， ， （2）解：当为钝角时，由（1）②得， 即； 当为钝角时，由（1）②得， 即． 综上所述，第三边的长的取值范围为或． 22．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【分析】（1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【解答】解：（1）△、△、△是直角三角形，，，， 梯形的面积为或， ， ， 即； （2）千米，千米，设千米，则千米， 在△中，由勾股定理得：，即， 解得，即， 答：原路长6.5千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$