四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一下学期6月期末校际联考数学试题

2027届高一下期期末校际联考 数学试题 本试卷19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若个样本，，，，的平均数是，方差为，则对于样本，，，，的平均数与方差分别是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 3．已知两条不同的直线，三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　） ①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题（本题共3小题:每小题6分,共18分,全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分,有选错得0分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，则当，时，为纯虚数 C．若，则的最大值为3 D．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 10．下列有关向量的命题正确的是（    ） A．若均为非零向量，且，则 B．已知单位向量满足，则 C．在中，若，且，则为等边三角形 D．若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心． 11．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，存在某个位置使得 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．当三棱锥体积取得最大值时，二面角的平面角大小为 D．当时，三棱锥外接球的表面积为 3、 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12． 已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，16，20，22，则估计该组数据的总体的上四分位数为 ． 13． 如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 14．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是 . (13题图) （14题图） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知四棱锥的底面是菱形，平面. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：. 16．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为． (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数； (2)试估计该校学生满意度打分的平均数和的分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）； (3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分中分别抽取的人数． 17．如图，在锐角中，，； (1)用表示； (2)若，求的长度； (3)当取最小值时，求． 18．如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．   (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正切值． 19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)设函数，试求的伴随向量； (2)记向量的伴随函数为，求当且时的值； (3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2027届高一下期期末校际联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C B C A C BC BCD 题号 11 答案 ABD 12．18 13． 14． 15． 【详解】（1）平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . （2）平面平面， 四棱锥的底面是菱形，， 平面， 平面， 又平面. 16．(1)0.006； (2)76.2， (3)在打分中抽取的人数为人，在打分中抽取的人数为人 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 该校学生满意度打分不低于70分的人数为：． （2）平均数为：； 所以， 所以的分位数为． （3）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.04和0.06， 所以打分在和内的频率之比为， 所以在打分中抽取的人数为人； 在打分中抽取的人数为人． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1），所以， 所以，所以； （2）又，所以，所以， ，所以， 又三点共线，所以，若，可得， 所以，又， 所以， 又因为，所以，所以， 因为是锐角三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以； （3）由（2）可知，则， 当且仅当，即取最小值时， 所以，所以， 所以. 18． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，    因为是棱的中点，是的中点，所以，， 又因为点，分别为棱，的中点，所以，， 因为，，所以，， 又因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，是的中点，是的中点， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，所以， 又因为，平面，所以平面． （3）解：如图所示，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接， 由（2）易得平面，又平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 即二面角的正切值是． 19．(1) (2) (3)存在点，使得. 【详解】（1），故； （2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以 . （3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$