专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（三类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、同角三角函数的基本关系 5 知识点2、三角函数的诱导公式 5 四、重点难点•分类突破 5 考点1 同角三角函数基本关系式的应用 5 命题点1 “知一求二”问题 5 命题点2 ,的齐次式问题 6 命题点3 ,之间关系的应用 7 考点2 诱导公式的应用 8 考点3 同角关系式与诱导公式的综合应用 10 五、必考题型•分层训练 13 A、基础保分 13 B、综合提升 18 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1、 理解同角三角函数的基本关系式：和； 2、 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（等的正弦、余弦、正切）. 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新Ⅱ卷，5分 三角恒等变换 一般 2024年全国甲卷，5分 同角公式与和差公式 简单 2021年新I卷，5分 给值求值问题 一般 2023年全国乙卷卷，5分 同角三角函数的基本关系 简单 【2026考向预测】 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 知识点2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 四、重点难点•分类突破 考点1 同角三角函数基本关系式的应用 命题点1 “知一求二”问题 例1、（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可. 【详解】由题知，，解得， 则， 故选：A. 【变式训练1】、（23-24高三上·河南周口·周测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】A选项由同角三角函数的基本关系式可解； B选项先结合诱导公式化简，再利用两角和与差的正切公式化简求值； C选项将原式变形得，再代值求解； D选项活用“1”，再结合三角函数的基本关系式化简求值. 【详解】对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，，故C选项错误； 对于D选项，，故D选项错误． 故选：AB． 命题点2 ,的齐次式问题 例2、（2025·湖南娄底·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简得到，求得，再由两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得，可得， 又因为，所以， 即， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D. 【变式训练2】、（2025·全国·模拟预测）已知，则 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】用同角三角函数化简即可求解. 【详解】， 因为，所以. 故答案为：4 命题点3 ,之间关系的应用 例3、（23-24高二下·上海·开学考试）若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】先由两角和的正弦公式展开，进而得到的形式，平方后逆用正弦的二倍角公式可得的值. 【详解】已知， 由两角和的正弦公式得：， 即， 两边平方得：， 解得：， 故答案是：. 【变式训练3】、（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到. 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 考点2 诱导公式的应用 例4、（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四 【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解. 【详解】因为，所以，解得， 于是， 故选：A． 例5、（2025·云南大理·模拟预测）（多选题）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 【变式训练4】、（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解. 【详解】由，， 则， 故. 故答案为： 【变式训练5】、（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故答案为： 考点3 同角关系式与诱导公式的综合应用 例6、（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ． 【答案】/0.6 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值. 【详解】当时， . 故答案为： 例7、（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】结合诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简，再代值计算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 【变式训练6】、（2024·湖北·模拟预测）（多选题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】对A，利用诱导公式求解判断；对B，利用二倍角正弦公式运算求解；对C，利用商数关系切化弦，再根据诱导公式化简求解；对D，，又，假设，可推出矛盾. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 若，则，矛盾，故D错误． 故选：BC. 【变式训练7】、（2024·吉林·模拟预测）（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若， 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：若，则， 且，则， ， 可得 ，所以，故D正确. 故选：BCD． 五、必考题型•分层训练 1．（2025·四川·三模）赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式 【详解】根据题意，由条件可得，再由同角三角函数的平方关系以及二倍角公式，代入计算，即可得到结果. 【分析】由题意，大、小正方形的边长分别为13，7， 于是有，即有， 两边平方得，所以． 故选：D 2．（2025·山东菏泽·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用和差公式和二倍角公式化简即可得解. 【详解】因为， 整理得，两边平方得，得. 故选：B 3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解. 【详解】因为 ，所以， 因为 ，所以， 所以 ==. 故选：D. 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得解. 【详解】因为为锐角，即，则， 又，则，且， 所以． 故选：C． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】设，则，根据诱导公式及二倍角公式可得，根据诱导公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】设，则，， 所以，， 所以. 故选：D 6．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解. 【详解】. 故答案为： 7．（2016·四川南充·一模）已知，则 ． 【答案】/0.3 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】，． 故答案为：. 8．（2018·湖北武汉·一模）已知，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】将原式分母化为，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解. 【详解】 ， 故答案为：. 9．（2025·山东青岛·三模）若，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出. 【详解】由题意可得，， ， 两式相加得，，即. 故答案为： 10．（2025·河南·二模）已知是第三象限角，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先根据条件求出，的值.法1：根据求值； 法2：根据求出的值，再求的值. 【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则. 法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以 11．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先利用诱导公式和辅助角公式得，然后利用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 故答案为： 12．（24-25高三上·重庆·期中）若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据诱导公式化简，再由二倍角公式及基本不等式求解. 【详解】因为，由诱导公式可得， 所以， 由知，， 所以，当且仅当即时，等号成立. 所以 的最大值为. 故选：C 13．（2024·山东·模拟预测）（多选题）若，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．当取得最大值时， 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据同角关系即可求解，，即可判断AB,根据三角函数的性质即可求解CD. 【详解】由可得，所以，故， 对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，，则，由于，， 所以在上单调递减，故C正确， 对于D，，当时取最大值， 故，故D错误， 故选：AC 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 2 【课程标准】 2 【考情分析】 2 【2026考向预测】 2 三、知识点•逐点夯实 3 知识点1、同角三角函数的基本关系 3 知识点2、三角函数的诱导公式 3 四、重点难点•分类突破 3 考点1 同角三角函数基本关系式的应用 3 命题点1 “知一求二”问题 3 命题点2 ,的齐次式问题 4 命题点3 ,之间关系的应用 4 考点2 诱导公式的应用 5 考点3 同角关系式与诱导公式的综合应用 5 五、必考题型•分层训练 7 A、基础保分 7 B、综合提升 8 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1、 理解同角三角函数的基本关系式：和； 2、 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（等的正弦、余弦、正切）. 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新Ⅱ卷，5分 三角恒等变换 一般 2024年全国甲卷，5分 同角公式与和差公式 简单 2021年新I卷，5分 给值求值问题 一般 2023年全国乙卷卷，5分 同角三角函数的基本关系 简单 【2026考向预测】 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 知识点2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 四、重点难点•分类突破 考点1 同角三角函数基本关系式的应用 命题点1 “知一求二”问题 例1、（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】、（23-24高三上·河南周口·周测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 命题点2 ,的齐次式问题 例2、（2025·湖南娄底·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】、（2025·全国·模拟预测）已知，则 ． 命题点3 ,之间关系的应用 例3、（23-24高二下·上海·开学考试）若，则 . 【变式训练3】、（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点2 诱导公式的应用 例4、（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 例5、（2025·云南大理·模拟预测）（多选题）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】、（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 . 【变式训练5】、（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，则 . 考点3 同角关系式与诱导公式的综合应用 例6、（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ． 例7、（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（2024·湖北·模拟预测）（多选题）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】、（2024·吉林·模拟预测）（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若， 五、必考题型•分层训练 1．（2025·四川·三模）赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ． 7．（2016·四川南充·一模）已知，则 ． 8．（2018·湖北武汉·一模）已知，则 . 9．（2025·山东青岛·三模）若，，则 ． 10．（2025·河南·二模）已知是第三象限角，，则 . 11．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，则 . 12．（24-25高三上·重庆·期中）若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·山东·模拟预测）（多选题）若，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．当取得最大值时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$