专题4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数（三类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 2 【课程标准】 2 【考情分析】 2 【2026考向预测】 2 三、知识点•逐点夯实 3 知识点1、角的概念 3 知识点2、弧度制 3 知识点3、任意角的三角函数 3 四、重点难点•分类突破 4 考点1 象限角与终边相同的角 4 考点2 扇形的弧长及面积公式 4 考点3 三角函数的定义及其应用 5 五、必考题型•分层训练 11 一、5年高考•真题感悟 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1、了解任意角的概念和弧度制. 2、能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3、借助单元圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2022年全国甲卷，5分 弧长与扇形面积的计算 一般 2023年北京卷，5分 任意角的概念与比较正切值的大小 简单 【2026考向预测】 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 知识点2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 知识点3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 四、重点难点•分类突破 考点1 象限角与终边相同的角 例1、下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 例2、（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练1】、（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】、写出两个与终边相同的角 ． 考点2 扇形的弧长及面积公式 例3、（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 例4．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【变式训练3】、（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式训练4】、（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 考点3 三角函数的定义及其应用 例5、（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 例6、（2025·云南昭通·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【变式训练6】、（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 . 五、必考题型•分层训练 1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 2．（2018·吉林长春·一模）若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是 A． B． C． D． 3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 5．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 6．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 3 【课程标准】 3 【考情分析】 4 【2026考向预测】 4 三、知识点•逐点夯实 4 知识点1、角的概念 4 知识点2、弧度制 4 知识点3、任意角的三角函数 4 四、重点难点•分类突破 5 考点1 象限角与终边相同的角 5 考点2 扇形的弧长及面积公式 7 考点3 三角函数的定义及其应用 10 五、必考题型•分层训练 11 一、5年高考•真题感悟 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、比较正切值的大小 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1、了解任意角的概念和弧度制. 2、能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3、借助单元圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2022年全国甲卷，5分 弧长与扇形面积的计算 一般 2023年北京卷，5分 任意角的概念与比较正切值的大小 简单 【2026考向预测】 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 知识点2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 知识点3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 四、重点难点•分类突破 考点1 象限角与终边相同的角 例1、下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边角的定义表示出各角，即可判断. 【详解】解：对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 例2、（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、找出终边相同的角 【分析】根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】已知角终边上有一点，即点， ， 为第三象限角. 故选：C. 【变式训练1】、（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 而， 所以角的终边上点的坐标可写为：， 所以，因此的最小正值为. 故选：D 【变式训练2】、写出两个与终边相同的角 ． 【答案】，(其他正确答案也可) 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】设是与终边相同的角， 则， 令，得， 令，得， 故答案为：，(其他正确答案也可) 考点2 扇形的弧长及面积公式 例3、（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形的半径为R， ∵扇形的圆心角为，弧长为， ∴，解得：R=， ∴扇形的面积=. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、已知数量积求模 【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模. 【详解】由条可知，，， 所以扇形的面积，扇形的面积, 所以扇面的面积是； . 故答案为：； 【变式训练3】、（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有， 又，所以， 故选：B. 【变式训练4】、（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、面积、体积最大问题 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     考点3 三角函数的定义及其应用 例5、（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：D. 例6、（2025·云南昭通·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、特殊角的三角函数值 【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，则，. 所以. 故选：B 【变式训练5】、（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可. 【详解】由题：， 又是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 【变式训练6】、（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式、诱导公式二、三、四 【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得. 【详解】由三角函数的定义，得，所以 . 故答案为： 五、必考题型•分层训练 1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、直线的倾斜角 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 2．（2018·吉林长春·一模）若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【详解】因为直线的倾斜角是 ，, 所以终边落在直线上的角的取值集合为: 或者. 故选D. 3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六 【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得. 【详解】由题意可得，， 则，解得（舍去）. 故选：B 5．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角. 【详解】设圆锥（如图所示）的高为．    因为，所以，母线． 将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长，根据弧长公式， 所以圆心角. 故答案为：. 6．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线． 由题意可知，，，． 故． 所以点的横坐标为． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$