专题3.3 导数与函数的极值、最值（二类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题3.3 导数与函数的极值、最值 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 15 【课程标准】 15 【考情分析】 15 【2026考向预测】 15 三、知识点•逐点夯实 16 知识点1、函数的极值 16 知识点2、函数的最值 16 四、重点难点•分类突破 17 考点1 利用导数求解函数极值 17 命题点1 根据图像判断函数极值 17 命题点2 求已知函数的极值 18 命题点3 已知函数极值或极值点，求参数 21 考点2 利用导数求解函数最值 25 考点5 不含参函数的最值 25 考点6 含参函数的最值 28 五、必考题型•分层训练 32 A、基础保分 32 B、综合提升 36 一、5年高考•真题感悟 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求已知函数的极值点、函数奇偶性的应用 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 7．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、根据极值点求参数、导数的运算法则 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 10．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、解余弦不等式 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得 . 从而满足题目要求.综合上述两个方面，可知的最小值是. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值、极小值． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第19题,17分 由导数求函数的最值 (含参) 很难 2025年新Ⅱ卷，第18题,15分 由导数求函数的极值 (含参) 很难 2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 一般 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数 较难 2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 一般 2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参) 较难 2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 较难 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 很难 2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参) 一般 2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点 较难 2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 很难 【2026考向预测】 本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分。高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤： （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 四、重点难点•分类突破 考点1 利用导数求解函数极值 命题点1 根据函数图像判断极值 例1、函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案. 【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A. 故选：A． 【变式训练1】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数研究函数的零点、比较函数值的大小关系 【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 命题点2 求已知函数的极值 例2、（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以． 故选：C 例3、（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 【答案】(1)， (2)两个 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由题意知，，，求导数，代入计算，即可得解； （2），令，则问题转化为函数的变号零点的个数，对函数求导，判断的正负，得到函数的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解. 【详解】（1）由题得，解得， 又，则，解得， 故， （2）由（1）可知， 令，则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，，， ，使得，故， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 则在内单调递增，在单调递减，在递增， 所以有两个极值点． 【变式训练2】、（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 【变式训练3】、已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 命题点3 已知极值或极值点求参数 例4、（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 因此是的极值点，所以. 故选：B 例5、（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】令得，令，将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，利用导数判断出的单调性，结合图象可得答案. 【详解】的定义域为， 因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点， 令，则， 即，所以，令， 所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题， 求导得， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， ，则恒成立， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，又因为， 则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点， 由图象知，即，所以的取值范围为． 【变式训练4】、（2025·辽宁·三模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可得是的变号零点，则可求出并通分化简后得到，再检验时，是否为函数的极大值点即可得. 【详解】 ， 由，则，， 故恒成立，令， 由是函数的极大值点， 故，解得， 当时，， 则，，即且， ， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在、上单调递减， 故是函数的极大值点，符合要求. 故选：A. 【变式训练5】、（2024·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 考点2 利用导数求解函数最值 命题点1 不含参函数的最值 例6、（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 例7、（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果； （2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果. 【详解】（1）由函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点为， 则所求切线方程为． （2）由（1）得，当时，可得． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 而， 所以函数的值域为． 【变式训练6】、（2025·湖南·三模）已知是偶函数，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由利用导数求得函数单调性可得其最大值. 【详解】因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 易知定义域为，即，因此的解集为； 即可得，所以； 此时， 经检验满足，符合题意； 此时的定义域为，且， 易知当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极大值，也是最大值，即； 所以的最大值为. 故答案为： 【变式训练7】、（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值； （2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． （2）由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根， 则有 解得． 且， 而， 所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即， 所以， 故． 命题点2 含参函数的最值 例8、（24-25高三下·广东梅州·周测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的最小值是2，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）将代入求出，再由导数的意义求出切线的斜率，然后由点斜式得到直线方程即可； （2）求导后分和讨论，当时找到零点，由单调性可得函数的最值进而可求. 【详解】（1）当时，， 将代入得：， 函数的导数为， 曲线在点处切线的斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为： ，即：． （2）对求导：， ①当时，恒有， 于是在上单调递减， 此时，无最小值； ②当时，令，得， 当都有在上单调递减； 当都有在上单调递增 因此在处取得最小值， 依题意，，即： 解得：． 综上，当时，函数的最小值是2． 例9、（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到的二阶导数 【详解】由题，，，所以单调递增， 又，所以，， 故为最小值点，即，解得， 故选：A 【变式训练8】、（24-25高三上·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解. 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 【变式训练9】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 五、分层训练 1．（24-25高三下·广东东莞·周测）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 3．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可. 【详解】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 4．（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】求导函数，根据求得的值，检验极值点后可得的值. 【详解】函数，则 当时，函数取得极小值1， 所以，解得， 所以， 则函数在时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增；符合是函数的极值点； 故. 故答案为：. 5．（2024·四川泸州·一模）已知函数． (1)证明：为奇函数； (2)求的导函数的最小值； (3)若恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参）、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可； （2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值； （3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围. 【详解】（1）由题设，令， 所以， 又定义域为R，所以为奇函数，得证. （2）由题设， 当且仅当，即时取等号， 所以的导函数的最小值为. （3）令，用代换，则， 对于，有， 易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然， 只需保证在和上各有一个零点即可， 令，则，即与在和上各有一个交点， 由，且，即为奇函数， 令，则，显然上，上， 综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示， 又与都过原点，且原点处的切线斜率为， 结合图象知：当时，与在和上各有一个交点， 所以. 【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题，解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决. 6．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据极值点求参数 【分析】首先对原函数求导，根据已知条件求出的值，进而求出原函数的表达式，再利用基本不等式或二次函数的性质求导函数的最小值. 【详解】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以导函数的最小值为：. 故选：C. 7．（2023·四川资阳·模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】从，，及进行分析求解. 【详解】注意到，当时，， 由于，，显然，没有最小值； 当时，且无限接近，为增函数， 则，， ，， 此时没有最小值； 当时，为减函数，则，， ，由于增长变化速度远大于减少速度， 此时，由于函数定义域为R,函数连续不断，所以存在最小值． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 3 【课程标准】 3 【考情分析】 3 【2026考向预测】 4 三、知识点•逐点夯实 4 知识点1、函数的极值 4 知识点2、函数的最值 4 四、重点难点•分类突破 5 考点1 利用导数求解函数极值 5 命题点1 根据图像判断函数极值 5 命题点2 求已知函数的极值 6 命题点3 已知函数极值或极值点，求参数 7 考点2 利用导数求解函数最值 8 考点5 不含参函数的最值 8 考点6 含参函数的最值 9 五、必考题型•分层训练 10 A、基础保分 10 B、综合提升 11 一、5年高考•真题感悟 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 7．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 10．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值、极小值． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第19题,17分 由导数求函数的最值 (含参) 很难 2025年新Ⅱ卷，第18题,15分 由导数求函数的极值 (含参) 很难 2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 一般 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数 较难 2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 一般 2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参) 较难 2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 较难 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 很难 2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参) 一般 2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点 较难 2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 很难 【2026考向预测】 本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分。高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤： （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 四、重点难点•分类突破 考点1 利用导数求解函数极值 命题点1 根据函数图像判断极值 例1、函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 命题点2 求已知函数的极值 例2、（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 例3、（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 【变式训练2】、（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【变式训练3】、已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 命题点3 已知极值或极值点求参数 例4、（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 例5、（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 【变式训练4】、（2025·辽宁·三模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（2024·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 考点2 利用导数求解函数最值 命题点1 不含参函数的最值 例6、（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 例7、（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 【变式训练6】、（2025·湖南·三模）已知是偶函数，则的最大值为 . 【变式训练7】、（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 命题点2 含参函数的最值 例8、（24-25高三下·广东梅州·周测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的最小值是2，求实数a的值． 例9、（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练8】、（24-25高三上·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【变式训练9】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 五、分层训练 1．（24-25高三下·广东东莞·周测）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 . 5．（2024·四川泸州·一模）已知函数． (1)证明：为奇函数； (2)求的导函数的最小值； (3)若恰有三个零点，求的取值范围． 6．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川资阳·模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$