专题3.2 导数与函数单调性（三类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题3.2 导数与函数的单调性 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 14 【课程标准】 14 【考情分析】 15 【2026考向预测】 15 三、知识点•逐点夯实 15 知识点1、单调性的基础问题 15 知识点2、讨论单调区间问题 15 1、不含参数单调性讨论 15 2、含参单调性讨论 15 知识点3、求单调性的解题步骤 16 四、重点难点•分类突破 16 考点1 不含参函数的单调性 16 考点2 含参函数单调性 21 考点3 函数单调性的应用 26 命题点1 比较大小或解不等式 26 命题点2 根据函数的单调性求参数 29 五、必考题型•分层训练 31 A、基础保分 31 B、综合提升 34 一、5年高考•真题感悟 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新I卷，第10题,6分 利用导数求函数的单调区间 一般 2024年新I卷，第18题,17分 利用导数求函数的单调性 很难 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 利用导数研究具体函数单调性 较难 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 利用导数研究含参函数单调性 很难 2023年新I卷，第19题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 很难 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 很难 2022年新I卷，第7题,5分 用导数判断或证明已知函数的单调性 一般 【2026考向预测】 本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分。本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。 三、知识点•逐点夯实 知识点一：单调性基础问题 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点二：讨论单调区间问题 1、不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 知识点3、求单调性的解题步骤 （1）、确定函数的定义域； （2）、求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）、把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）、确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 特别注意： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 四、重点难点•分类突破 考点1 不含参函数的单调性 例1、（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【详解】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 例2、（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 【变式训练1】、（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对于求导，根据切线与直线平行，求出，代入进行求解单调区间； （2）由，恒成立，转化为，构造函数，转化为对恒成立，从而求解范围. 【详解】（1）的导数为， 可得的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得， 即，， 由，可得，由，可得， 则在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，若，由， 即恒成立，设， 所以在为增函数， 即对恒成立， 可得在恒成立， 由的导数为， 当，可得，在单调递减，在单调递增， 即在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 则实数的取值范围是． 【变式训练2】、（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【详解】（1）当时，定义域为，且， 令，解得或（舍去），即， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个； 当时，令，，可得， 易知， 故解关于的方程得，（舍去），， 即，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 考点2 含参函数的单调性 例3、（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分和来讨论单调性； （2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为，令，研究函数的单调性来求解即可． 【详解】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 例4、（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出导函数，再根据判别式分类讨论得出单调区间即可； （2）先证明不等式，再代入，累加法计算证明即可. 【详解】（1），， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，，即当时，. ，， 即，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 【变式训练3】、已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 【答案】(1)见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论的取值范围，相应的得出函数的单调区间； （2）令，结合（1）可得，变形得，可得，进而可得； （3）由题意可得，进而构造函数证明，再构造函数，，证明，进而求证即可. 【详解】（1）首先对函数求导， 则， 当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 即，变形得（当且仅当时取等号）. 令，则（因为），即. （3）当时，， 则， 由， 则， 设，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 又，则时，， 则时，， 因为，则，，，. 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即时，， 则， 所以， 则，即， 则， 即. 【变式训练4】、（2025·江西九江·三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间. （2）把代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， ①若，即，函数在上单调递减； ②若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减； ③若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，函数的定义域为， 不等式， 设，求导得， 函数在上单调递增，当时，， 当时，， 则存在唯一的实数，使，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上单调递减，当时，，即， 所以. 考点3 函数单调性的应用 命题点1 比较大小或解不等式 例5、（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，得，在上单调递减， 当时，，得，在上单调递增， 又 ，故为上的偶函数， 故等价于， 即，两边平方解得或. 所以不等式解集为， 故答案为： 例6、（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 【变式训练5】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式． 【详解】的定义域为， ∵，∴函数是上的增函数， ∵，∴函数是奇函数， ∴由得， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【变式训练6】、（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解． 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 命题点2 根据函数单调性求参数 例7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 例8、（2012高三下·山东日照·月考）若在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可. 【详解】， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立， 即， 当时，的最小值为，所以， 故答案为： 【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题. 【变式训练7】、（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上单调递增知，， 所以， 故选：C 【变式训练8】、若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可. 【详解】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 故答案为： 五、分层训练 1．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 2．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，且，则下列可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】判断可得函数为奇函数，由得，画出，的图象，结合图象依次判断即可求解. 【详解】函数的定义域为R， ，所以函数为奇函数， 又，所以函数在R上单调递增， 又，所以可得：， 画出，的图象， 当，，时，不成立， 当时，可能成立. 故选：D． 3．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 4．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 5．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对已知变形得，令，则，利用导数法并利用分离参数得对于恒成立，最后利用反比例函数的性质求解最值即可得解. 【详解】不妨设，则， 由可得，所以， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 因为在上单调递减，所以. 故答案为： 6．（2025·江西·三模）设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）首先确定函数定义域，再对其求导得到，然后根据的取值范围进行分类讨论即得： （2）通过对与作差，构造函数判断其单调性，进而得出与的大小关系，再结合的单调性即得结论. 【详解】（1）易知的定义域为， 又. 若，则恒成立，所以此时在上单调递增； 若，则当时，；当时，； 所以此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （2）结论：. 证明如下：由（1）知，当时，存在极值. ， 由，则， 则， 又，则， 所以 . 设，则. 令，则， 所以在上单调递增，则，故. 又，即，所以，即. 又由可知在上单调递减， 则，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 3 【课程标准】 3 【考情分析】 3 【2026考向预测】 3 三、知识点•逐点夯实 3 知识点1、单调性的基础问题 3 知识点2、讨论单调区间问题 4 1、不含参数单调性讨论 4 2、含参单调性讨论 4 知识点3、求单调性的解题步骤 4 四、重点难点•分类突破 5 考点1 不含参函数的单调性 5 考点2 含参函数单调性 7 考点3 函数单调性的应用 9 命题点1 比较大小或解不等式 9 命题点2 根据函数的单调性求参数 9 五、必考题型•分层训练 10 A、基础保分 10 B、综合提升 11 一、5年高考•真题感悟 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新I卷，第10题,6分 利用导数求函数的单调区间 一般 2024年新I卷，第18题,17分 利用导数求函数的单调性 很难 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 利用导数研究具体函数单调性 较难 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 利用导数研究含参函数单调性 很难 2023年新I卷，第19题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 很难 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 很难 2022年新I卷，第7题,5分 用导数判断或证明已知函数的单调性 一般 【2026考向预测】 本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分。本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。 三、知识点•逐点夯实 知识点一：单调性基础问题 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点二：讨论单调区间问题 1、不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 知识点3、求单调性的解题步骤 （1）、确定函数的定义域； （2）、求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）、把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）、确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 特别注意： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 四、重点难点•分类突破 考点1 不含参函数的单调性 例1、（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 例2、（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【变式训练1】、（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 【变式训练2】、（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 考点2 含参函数的单调性 例3、（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 例4、（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【变式训练3】、已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 【变式训练4】、（2025·江西九江·三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 考点3 函数单调性的应用 命题点1 比较大小或解不等式 例5、（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 例6、（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式训练6】、（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 命题点2 根据函数单调性求参数 例7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例8、（2012高三下·山东日照·月考）若在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【变式训练7】、（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练8】、若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 五、分层训练 1．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，且，则下列可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 4．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 5．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 6．（2025·江西·三模）设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$