专题3.1 导数的概念及运算（三类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题3.1 导数的概念及运算 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 5 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、导数的概念 6 知识点2、基本初等函数的导数公式 6 知识点3、导数的运算法则 6 知识点4、复合函数的导数 7 知识点5、切线方程 7 四、重点难点•分类突破 7 考点1 导数的计算 7 考点2 导数的几何意义 9 命题点1 求切线方程 9 命题点2 求参数的值 10 考点3 两曲线的公切线 11 五、必考题型•分层训练 17 A、基础保分 17 B、综合提升 20 一、5年高考•真题感悟 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 4．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，5分 求切线方程 简单 2024年新I卷，5分 求切线方程 一般 2024年全国甲卷，5分 求切线方程与坐标轴围成的面积 一般 2023年全国甲卷，5分 求切线方程 一般 2021年新I卷，5分 导数综合 较难 【2026考向预测】 高考对导数的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 三、知识点•逐点夯实 考点1．导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 考点2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 考点3.导数的运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 考点4．复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 考点5．切线方程 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 四、重点难点•分类突破 考点1 导数的运算 例1、（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 例2、（2024·上海浦东新·三模）函数的导数为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用复合函数的求导法则以及商的导数运算法可求得结果. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 【变式训练1】、（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）（多选题）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 【变式训练2】、（24-25高三上·福建·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】对函数求导，代入，求出，得到函数解析式，可求 【详解】函数，则， 则， 所以，则， 则. 故答案为：. 考点2 导数的几何意义 命题点1 求切线方程 例3．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】求导得，则，又， 所以切线方程为，整理得. 故答案为： 【变式训练3】、（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 命题点2 求参数的值 例4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A 【变式训练4】、（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【答案】-1 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 考点3 两曲线的公切线 例5．（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设公切线分别与曲线，相切于点，，分别求切线方程，即可有，，得，令，，利用导数研究单调性，进而得即可求解. 【详解】由题意知，， 设公切线分别与曲线，相切于点，，则，， 所以公切线方程为，， 即，，所以，， 所以， 令，，， 所以，由，得,由，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，且时，，时，， 所以． 故答案为：. 例6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 【变式训练5】、（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可. 【详解】由，，则， 设切点为，则， 则， 因为过点恰能作曲线的2条切线， 所以方程有2个解， 则函数，与函数有2个交点， 由， 当时，，， 因为，所以函数为偶函数， 当时，单调递增， 且时，，时，， 画出函数的大致图象，    此时满足函数，与函数有2个交点； 若，令，得或；令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，画出函数的大致图象，    要使函数，与函数有2个交点， 则； 若，令，得；令，得或， 则函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，画出函数的大致图象，    要使函数，与函数有2个交点， 则. 综上所述，所有点构成的集合为. 故答案为：. 【变式训练6】（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 五、分层训练 1．（24-25高二下·青海西宁·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）（多选题）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 当点P为切点时，则切线的斜率为， 所以所求切线方程为，即； 当P点不为切点时，设切点坐标为， 切线的斜率为， 则切线方程为， 因为切线过点，且， 所以， 整理，得，解得或1（舍去）， 则， 所以切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 所以所求切线的方程为或或． 故答案为：或． 5．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 6．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求导，根据平行得到，解得答案. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 7．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求出，接着由求出参数a得切点代入切线方程即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以由题意得， 所以切点，所以. 故选：C 9．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，由切点求得切线方程，利用导数以及切线方程求得在另外一条曲线上的切点，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得，切线斜率，切线方程为， 由，求导可得，令，解得， 将代入，可得，将代入， 可得，解得. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及运算 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 2 【课程标准】 2 【考情分析】 2 【2026考向预测】 3 三、知识点•逐点夯实 3 知识点1、导数的概念 3 知识点2、基本初等函数的导数公式 3 知识点3、导数的运算法则 3 知识点4、复合函数的导数 4 知识点5、切线方程 4 四、重点难点•分类突破 4 考点1 导数的计算 4 考点2 导数的几何意义 5 命题点1 求切线方程 5 命题点2 求参数的值 5 考点3 两曲线的公切线 6 五、必考题型•分层训练 7 A、基础保分 7 B、综合提升 7 一、5年高考•真题感悟 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 4．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，5分 求切线方程 简单 2024年新I卷，5分 求切线方程 一般 2024年全国甲卷，5分 求切线方程与坐标轴围成的面积 一般 2023年全国甲卷，5分 求切线方程 一般 2021年新I卷，5分 导数综合 较难 【2026考向预测】 高考对导数的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 三、知识点•逐点夯实 考点1．导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作 或 ． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 考点2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 考点3.导数的运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 考点4．复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 考点5．切线方程 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为： ， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 四、重点难点•分类突破 考点1 导数的运算 例1、（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 例2、（2024·上海浦东新·三模）函数的导数为 . 【变式训练1】、（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）（多选题）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】、（24-25高三上·福建·期中）已知函数，则 . 考点2 导数的几何意义 命题点1 求切线方程 例3．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【变式训练3】、（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 命题点2 求参数的值 例4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练4】、（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 考点3 两曲线的公切线 例5．（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ． 例6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 【变式训练6】（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 五、分层训练 1．（24-25高二下·青海西宁·月考）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）（多选题）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 5．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 6．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 7．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$