精品解析：河南省南阳市淅川县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末拉练一数学试卷

高一下学期期末拉练一 数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A B. 1 C. 0 D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 若，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在上的投影向量为 C. D. mn的最大值为2 10. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则 C. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若复数满足，则的最小值为 11. 已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 面积的最大值为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 圆锥SO的内切球的表面积为 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值是__________ 13 已知单位向量满足，则__________. 14. 一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 _____米． 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模. 16. 已知函数，． （1）求； （2）若函数只有一个零点，求实数m的取值集合． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为 （1）画出平面和平面交线，并说明理由 （2）求点到平面的距离 18. 如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中,O为圆心,,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,. （1）求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域； （2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取） 19. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末拉练一 数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，然后利用虚部的定义进行求解. 【详解】因为，所以的虚部为. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解. 【详解】解：由题得， 两边平方得. 故选：C 3. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 4. 若，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 5. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设三角形BAC外接圆半径为r，则 球的半径等于 表面积等于 选B. 6. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：，又，， ∴，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在上的投影向量为 C. D. mn的最大值为2 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据数量积的符号分析向量夹角；对于B：根据投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量共线运算求解即可；对于D：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于A，向量，则， 又因为，可知不共线， 所以的夹角为锐角，故A错误； 对于B，因为， 所以向量在上的投影向量为，B错误； 对于C，因为，， 若，则，整理可得，C正确； 对于D，因为，且m，n均为正数， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以mn的最大值为2，D正确． 故选：CD. 10. 设复数在复平面内对应点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则 C. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：设，根据复数的运算和模长可得，即可得结果；对于B：可知，结合复数的运算可得，即可得结果；对于C：根据复数的除法结合复数的几何意义分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】对于A，设（，）， 可得， 则，化简得， 所以，故A正确； 对于B，若点的坐标为，可知， 则，整理得， 可得，解得，所以，故B正确； 对于C中：因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故C不正确； 对于D中：根据复数模的几何意义可知， 表示复数与复数对应两点间的距离为1， 所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆， 又因为表示圆上的点到原点的距离， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 面积的最大值为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 圆锥SO的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形弧长，据此可得圆锥的侧面积；B选项，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项；C选项，利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项C；D选项，求出内切圆半径即可. 【详解】 A选项，因底面半径为3，则底面圆周长为，母线长为4， 则侧面积为：.故A正确； B选项，由母线长为4，半径为3，可得高为，设是底面圆的一条直径， 则，即是钝角， 又， 则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，故B错误； C选项，， 当面时，，故C正确； D选项，设内切求球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即， 所以内切求表面积为，D正确. 故选：ACD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】设等腰三角形一个底角，则，可得顶角为，利用 二倍角的正弦公式及诱导公式可得结果. 【详解】设等腰三角形一个底角，则， . 可得顶角为， ， 由题知，所以， 所以 . 即. ，故答案为： . 13. 已知单位向量满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的平方等于该向量的模长的平方以及单位向量的模长是1求解即可. 【详解】依题意，，解得，因此，即. 故答案为：1. 14. 一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 _____米． 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，作出坡角，即二面角的平面角，结合直道的长，求解三角形，即可求得答案. 【详解】如图，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线， 由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度， 在平面DBC内，过点D作，连接GH， ∵平面BCH，平面BCH， ∴，又，平面DGH， ∴平面DGH，又平面DGH， ∴， ∴为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则， 依题意，,则, 故（米）， 故答案为： 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法法则化简后，根据复数的分类求解； （2）由复数除法法则计算出，再由复数模的定义计算． 【小问1详解】 由题意，它为纯虚数， 则，∴， ∴； 【小问2详解】 ， ． 16. 已知函数，． （1）求； （2）若函数只有一个零点，求实数m的取值集合． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式、两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，再代入，计算即可； （2）令，，原问题可转化为在，上只有一个解，分析即可得解． 【小问1详解】 ， 所以． 小问2详解】 因为，，所以，， 令，则，，所以， 函数只有一个零点等价于方程只有一个解， 即，也即在，上只有一个解， 根据正弦函数的图象， 可得或， 所以或 故实数的取值集合为或 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形面积为 （1）画出平面和平面的交线，并说明理由 （2）求点到平面的距离 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 分析】（1）延长交于点，连接，进而根据点线面关系说明即可； （2）根据题意证明，进而结合求解即可. 【小问1详解】 解：延长交于点，连接，则即为平面和平面的交线， 理由如下： 因为，平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面， 所以平面平面， 所以，为平面与平面的交线. 【小问2详解】 解：因为平面，平面，所以， 因为，三角形的面积为 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以 因为，， 设点到平面的距离为， 所以，解得 所以点到平面的距离为 18. 如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中,O为圆心,,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,. （1）求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域； （2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取） 【答案】(1) . (2)17320元 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质证得，利用表示出，由此求得三角形面积的表达式，并求得的取值范围. （2）求得，由此求得矩形面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形面积的最大值，从而求得最高造价. 【详解】（1）连接OF,因为,所以,易得,所以. 因为,所以,所以,, 所以. （2）因为, 所以, 所以 . 因为,所以当时,最大. 故矩形花坛的最高造价是元. 【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题. 19. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设和交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解； （2）由线面垂直可得线线垂直，再由菱形对角线垂直可得线面垂直，即可得证； （3）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可. 【小问1详解】 设和交于点，连接，如图， 由于，分别是，的中点，故， ∵平面，平面，所以直线平面. 【小问2详解】 在四棱柱中，底面是菱形，则， 又平面，且平面，则， ∵平面，平面， ∴平面. 平面，∴. 【小问3详解】 连接，， 因为，是中点，所以， 因为平面，平面，所以， ∴为二面角的平面角， ，，， 由余弦定理可知， ∴二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $