精品解析：四川省宜宾市翠屏区天立学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

宜宾天立学校八年级数学下学期期中测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列函数中，是一次函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义求解即可，一般形如（，是常数，），叫做一次函数，其中是自变量，是因变量． 【详解】解：、不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 故选：． 2. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点的坐标符号特征（-，+），根据点坐标与象限的特征解题，点的符号（+，+），则点在第一象限，点的符号（-，+），则点在第二象限，点的符号（-，-），则点在第三象限，点的符号（+，-），则点在第四象限，据此解题. 【详解】解： 点的横坐标，点的纵坐标， 在第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查点坐标与象限的特征，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 3. 将0.000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.000035用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确； D．，故原选项错误； 故选：C． 5. 一次函数与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握轴上的点的特征． 一次函数与轴的交点横坐标为，将代入解析式，可得交点纵坐标，即可得交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点横坐标为， ∴纵坐标为， ∴一次函数与轴的交点坐标为 故选：． 6. 若将分式中的和均扩大为原来的2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原值的 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答的关键．将原式中的、换成、，然后根据分式的基本性质进行化简判断即可． 【详解】解：把分式中的、都扩大倍， 则原分式变形为， 分式的值不变， 故选：A． 7. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否有公因式，若无法约分，则为最简分式． 【详解】解：A：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， B：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， C：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， D：的分子和分母没有公因式，故是最简分式， 故选：D． 8. 甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意，甲每小时加工零件数比乙多2个，乙每小时加工x个，则甲每小时加工个，根据“甲加工60个的时间与乙加工50个的时间相等”，据此建立方程求解． 【详解】解：设乙每小时加工x个，则甲每小时加工个， 则甲加工60个所需时间为小时，乙加工50个所需时间为小时， 由题意得：， 故选：B． 9. 若点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数性质求解即可． 【详解】解：函数中，其图象位于第一、第三象限． ∴在每一象限内，随的增大而减小． 将代入函数，得． 将代入函数，得． ∴． 故选：C． 10. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是正确理解函数图象．根据函数图象，结合一次函数与一元一次不等式的关系，即可得时，的取值范围． 【详解】解：由图像可知，一次函数与的图象交于点， 当时，， 故选：． 11. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示与的函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同 B. 修船过程中排水速度1吨/分 C. 修船完工后的排水速度吨/分 D. 修船共用了分钟时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解函数图象． 根据题意，结合函数图象中的数据进行计算，分析判断每一个选项即可． 【详解】解：由与的函数图象可知， ∵最初的仅进水速度为（吨分），最后的仅排水速度为（吨分）， ∴最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同， ∴选项不符合题意， ∵修船过程中排水速度为（吨分）， ∴选项不符合题意， ∵修船完工后的排水速度为（吨分）， ∴选项不符合题意， ∵修船共用时间为（分） ∴选项符合题意， 故选：． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵图象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案为-1． 【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0． 15. 如图，过反比例函数的图象上任意一点作轴于点，若的面积等于5，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查值的几何意义，根据值的几何意义得到的面积，结合反比例函数图象所在象限进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：的面积， ∴， ∵图象过第二象限， ∴， ∴； 故答案为： 16. 一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的系数的几何意义，根据一次函数的图象，列出关于a的一元一次不等式组，是解题的关键． 根据一次函数解析式的系数的几何意义，可知，，列出关于a的一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴且， 解得：且， ∴， 故答案为：． 17. 若，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，将条件式转化为，进而得到，整体代数法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 18. 已知关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及分式的化简，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键． （1）根据负整数指数幂，算术平方根，0指数幂的计算方法分别计算出各式，再进行加减． （2）先把分式除法化作乘法除式分子分母交换位置，分解因式约分，进行化简通分，然后通分作减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 方程去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：． 21. 先化简，再从0，1，2中选择合适的代入求值． 【答案】，时值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，再进行除法运算，最后进行加减运算，化简后，代入一个使方程有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】（1）品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 【小问2详解】 解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式： （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可； （2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可； （3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 将代入，得到， ∴反比例函数解析式为； 将代入，得， ∴ 将，代入 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 在，令，即， 解得， ∴点， ∴ ； 【小问3详解】 由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围， ∴或； 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题． 24. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 【答案】（1）20；80；1 （2） （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 【小问2详解】 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 25. 定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】（1）是 （2）①；②A的值为1或3或4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：是． 【小问2详解】 解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． 【小问3详解】 解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾天立学校八年级数学下学期期中测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列函数中，是一次函数的有（ ） A. B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将0.000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一次函数与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若将分式中的和均扩大为原来的2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原值的 D. 扩大4倍 7. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（ ） A. B. C. D. 9. 若点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示与的函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同 B. 修船过程中排水速度1吨/分 C. 修船完工后的排水速度吨/分 D. 修船共用了分钟时间 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 15. 如图，过反比例函数的图象上任意一点作轴于点，若的面积等于5，则_____． 16. 一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 17. 若，则的值为_____． 18. 已知关于的分式方程无解，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7个题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简，再从0，1，2中选择合适的代入求值． 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 24. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 25. 定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $