精品解析：四川省成都市锦江区师一学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

初2024级数学半期考试 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 两边长为4和8的等腰三角形的周长为（　　） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 16或18 6. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 8. 如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则___________． 10. 计算： ______． 11. 若是某个整式的平方，则________． 12. 如图，在等腰中，，以直线为对称轴，点折叠后与点重合，连接，若周长为19，的周长为12，则______． 13. 如图，直线，垂足为点A，点为直线上不同于点A的一点，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，再以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，则的度数为＝______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 阅读下面解答过程，填空并在括号内填写理由． 如图，四边形中，，，，点在边上，点在的延长线上，连接和，且，求证：． 证明：∵ ∴（______） ∵ ∴（______） ∵ ∴（______） ∴ 在和中 ∴（______） ∴______（______） ∴（______） 17. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 18. 在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． （1）如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； （2）在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； （3）如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则______． 20. 如图是一个转盘，转盘上共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为110°，自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是__________． 21. 如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为______． 22. 如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为______． 23. 已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 二、解答题（共30分） 24. 已知，，是的三条边长，且，，是正整数． （1）若，，满足且，求的长． （2）若为等腰三角形，且满足，求的周长． 25. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 26. 已知，均为等腰直角三角形， （1）如图1，求证：； （2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； （3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级数学半期考试 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算正确． D、，故本选项计算错误． 4. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的定义得到，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 5. 两边长为4和8的等腰三角形的周长为（　　） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 16或18 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当腰长为4时，当腰长为8时，再结合三角形的三边关系可得答案. 【详解】解：当腰长为4时，4+4＝8，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20 故该等腰三角形的周长为20 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边的关系，掌握“等腰三角形的定义与三角形的三边关系”是解本题的关键. 6. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 7. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 8. 如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．从而可得结果． 【详解】解：如图，是等边三角形， 由题意得F分别为中点，D为边中点，E为中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，即O为中点， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键． 10. 计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，逆向运用积的乘方运算法则计算即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 若是某个整式的平方，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在等腰中，，以直线为对称轴，点折叠后与点重合，连接，若周长为19，的周长为12，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式可得，则可推出，求出，即可得到． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵周长为19，的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 13. 如图，直线，垂足为点A，点为直线上不同于点A的一点，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，再以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，则的度数为＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图一基本作图——作线段：熟练掌握作线段，等腰三角形性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 根据垂直定义和作线段，得，根据三角形外角性质得． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，, ∴, ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，平方差公式，单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方和单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解； ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再利用绝对值的非负性求出x、y的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】 ∵ ∴， ∴， ∴原式． 16. 阅读下面解答过程，填空并在括号内填写理由． 如图，四边形中，，，，点在边上，点在的延长线上，连接和，且，求证：． 证明：∵ ∴（______） ∵ ∴（______） ∵ ∴（______） ∴ 在和中 ∴（______） ∴______（______） ∴（______） 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；等式的性质；；；；全等三角形对应角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，则可证明；再证明，进而可证明，得到，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）； ∵ ∴（等式的性质）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 17. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）3 （3） 则点即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 18. 在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． （1）如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； （2）在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； （3）如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2） 是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）20或44 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再导角证明，则可利用证明； （2）连接，可证明，得到，则可证明，进而证明垂直平分，得到，，则；证明垂直平分，得到，则可求出，进而得到，则是等边三角形； （3）分点E在延长线上和点E在延长线上，两种情况证明得到的长，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3①所示，当点E在延长线上时， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3②所示，当点E在延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为20或44． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，正确根据题意得到是解题的关键． 根据题意可得，即，然后把整体代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 20. 如图是一个转盘，转盘上共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为110°，自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出白色区域的圆心角，再利用概率公式即可求解． 【详解】∵红色区域的圆心角为110°， ∴白色区域的圆心角为250°， ∴指针落在白色区域的概率=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式是解题的关键． 21. 如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键；延长分别交的延长线于点，交于点，证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，得出，得出，再求得，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长分别交的延长线于点，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ∵点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形内角和定理和角平分线的定义求出，则；由角平分线的性质可得点O到三边的距离相等，设点O到三边的距离为h，则可得；作的角平分线交于T，设，证明得到，则，同理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的角平分线，交于点， ∴点O到三边的距离相等， 设点O到三边的距离为h， ∴； 如图所示，作的角平分线交于T， 设， ∴， 由角平分线的定义可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：． 23. 已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 【答案】 ①. ②. 78 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于，且由，得，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设， 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为； 设的最小值为B，不妨设， 对任意，有， 假设存在，使，因为，且由，得， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴，， 所以，时，取最小值， ∴． 故答案为：318；78． 二、解答题（共30分） 24. 已知，，是的三条边长，且，，是正整数． （1）若，，满足且，求的长． （2）若为等腰三角形，且满足，求的周长． 【答案】（1）5 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据得到，，然后利用完全平方公可得，再根据，可得c的值； （2）先将化成，求出a，b的值，再根据三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，即可确定c的值，然后求出周长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴，， ∵a，b，c是正整数， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或（不合题意，舍去）； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵为等腰三角形 ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴的周长为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质、三角形的三边关系以及等腰三角形的定义等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 26. 已知，均为等腰直角三角形， （1）如图1，求证：； （2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； （3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，均为等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴； （2） （3） 证明：在上取点M，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得出； （2）连接，作于点N，由（1）知，，证明，得，，，证出，证明四边形为正方形，得，同理，得，设，则，列方程则可得出答案； （3）在上取点M，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于点N， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $