精品解析：江西省新余市分宜县2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2024-2025学年下学期江西省新余市分宜县高一期末联考数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，正方体中，E是棱的中点，动点P在底面内，且，则点P运动形成的图形是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 130 B. 260 C. 320 D. 520 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 5. 若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ） X 0 1 P A. 或 B. C. D. 1 6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是 A. B. C. D. 7. 已知向量 ，则 等于 A. B. C. D. 8. 下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 其中不公平的游戏是（ ） A. 游戏1； B. 游戏1和游戏3； C. 游戏2； D. 游戏3． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是2 C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的值域为，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，为复数的共轭复数，则___________． 13. 定义域为的函数恰有一个零点，则实数的取值范围为__________. 14. 若随机变量，则其方差______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． （1）求复数； （2）试求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥底面为菱形，为线段的中点，为线段上一点，且 （1）证明：平面； （2）若平面，，，求三棱锥一的体积． 17. 已知函数奇函数， （1）求实数m的值； （2）判断函数的单调性并用定义法加以证明； （3）若函数在上的最小值为，求实数a的值． 18. 已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围. 19. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点. （1）求证平面； （2）求二面角大小的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期江西省新余市分宜县高一期末联考数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，正方体中，E是棱的中点，动点P在底面内，且，则点P运动形成的图形是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可求出的长，即可判断答案. 【详解】正方体中，E是棱的中点，动点P在底面内，， 设正方体的棱长为1，则且，． 故点P的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆弧（圆位于底面内的部分） 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式直接求解. 【详解】. 故选：A 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 130 B. 260 C. 320 D. 520 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】根据等差数列求和. 故选：B. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量平行的坐标表示得出；再根据平面向量模的坐标求法即可求解. 【详解】因为向量，， ， 所以，解得：， 则， 所以. 故选：C. 5. 若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ） X 0 1 P A. 或 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1可得，注意概率为正． 【详解】由题意，解得． 故选C． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，掌握分布列的性质是解题基础．分布列中所有概率之和为1． 6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为，再向左平移个单位得到函数为，所得函数的图象的一条对称轴的，故选D 7. 已知向量 ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用坐标求解即可. 【详解】由，可得， 所以 故答案：B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题. 8. 下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 其中不公平的游戏是（ ） A. 游戏1； B. 游戏1和游戏3； C. 游戏2； D. 游戏3． 【答案】D 【解析】 【分析】依次求出每个游戏中甲胜的概率，然后可得答案， 【详解】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3）、（黑1，白）、（黑2，白）、（黑3，白）， 所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的； 游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的； 游戏3中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1，白2）、（黑2，白1）、（黑2，白2）、（白1，白2）， 所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A，C，D；根据特殊三角函数值与共轭复数的关系可判断A. 【详解】对于A，由题可知，所以A正确； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，因为，所以C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是2 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数乘法运算求得，由此结合复数实部、虚部、共轭复数、模等知识逐项判断. 【详解】根据题意，两边同乘以得，即. 所以，的实部是，虚部是2，故A错误，B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用解析式求函数值判断A选项；由复合函数单调性判断B选项；由函数奇偶性的定义判断选项C；由函数值域得要取遍所有正数，分类讨论求a的取值范围判断D选项. 【详解】，A正确； 若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确； 函数有意义，则， 无论何值，函数定义域不可能关于原点对称，即不存在实数a，使得为偶函数，C错误； 若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，为复数的共轭复数，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共轭复数概念可得，代入结合复数乘法以及模长，运算求解． 【详解】因为，则 . 故答案为：． 13. 定义域为的函数恰有一个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论零点情况，当时，不符合题意；当时，通过对两边同时取以为底的对数，将问题转化成恰有一个解，构造函数，利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理及最值即可求. 【详解】函数的定义域为， 当时，恒成立，故函数无零点，不符合题意； 当时，令，即， 两边同时取以为底的对数，有，即， 函数恰有一个零点，等价于恰有一个解， 令， 则， 若，即时，则在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为，， 故有， 所以在上有唯一解，符合题意； 若，即时，令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为在上有唯一解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是等价转化为恰有一个解，再构造函数，利用导数研究其最值即可. 14. 若随机变量，则其方差______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项分布列的方差公式计算即可. 【详解】因，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． （1）求复数； （2）试求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，代入，化简后，根据均为实数，列出关于，的方程组求解即可； （2）由复数在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于，虚部小于，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 设，，， 由，均为实数，得到，解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得到复数， 因为在复平面上对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 16. 如图，四棱锥的底面为菱形，为线段的中点，为线段上一点，且 （1）证明：平面； （2）若平面，，，求三棱锥一的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由为线段的中点，得，从而平面，连接交于点，连接，证明，从而平面，由面面平行的判定可得平面平面，从而得到平面； （2）直接利用等积法求三棱锥一的体积． 小问1详解】 取中点，连接，， 为线段的中点，，平面，平面， 从而平面， 连接交于点，连接，则， 又，为的中点，， ，平面，平面，从而平面， ，平面 平面平面， 又平面，平面； 【小问2详解】 如图，由题意可得，， ， ， ，， ． 17. 已知函数是奇函数， （1）求实数m的值； （2）判断函数的单调性并用定义法加以证明； （3）若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】（1）m=-1；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由奇函数满足，即可求解m，再检验是否为奇函数即可； （2）利用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且，化简和0比较大小即可； （3）由（2）可知函数为增函数，所以当时有最小值，代入解方程即可. 【详解】（1）由，得，经检验符合题意.本题也可用恒成立求解. （2）函数是区间上的增函数. 下面用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且， 则. 因为，得，. 显然有，从而有. 因为当时，有成立，所以是区间上的增函数. （3）由单调性知，当时有最小值，则，即， 解得或. 【点睛】本题主要考查了奇偶性应用及利用定义证明函数的单调性，属于中档题. 18. 已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据离心率和过点，得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据为钝角得到，得到不等式，求出，舍去，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，又，且， 解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得，， 直线的方程为，联立得，， 恒成立， 设，则， ， 因为为钝角， 所以， 即，即， 解得， 又时，三点共线，此时不是钝角，舍去， 故的取值范围是. 19. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点. （1）求证平面； （2）求二面角的大小的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连结.，易证平面，同理平面，再证明平面平面即可； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，然后由求解. 【小问1详解】 证明：如图所示： 取的中点，连结.， ，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又， 平面平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 建立如图所示的直角坐标系： 设,则，,,, 则,，， 设平面的一个法向量为， 则,即， 令，则， 又面，则面的一个法向量为， ， 二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $