精品解析：江西省赣州市兴国县第五中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则a的取值可以是（　　） A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根号下为非负数是解本题的关键． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，以（）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：∵由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴2=12， ∴=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积． 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分）． 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 8. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高_____． 【答案】8m 【解析】 【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度． 【详解】如图； 在Rt△ABC中，AB=3 m，BC=4 m， 由勾股定理，得：AC==5 m， ∴AC+AB=3+5=8 m，即大树折断之前有8 m高． 故答案为 8m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长． 9. 函数y＝kx＋2的图象经过点（1，3），则k＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将点代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：将点（1，3）代入函数解析式，得： 解得： 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了一次函数的有关性质，熟练掌握一次函数的有关性质是解题的关键． 10. 已知，，则式子的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式和二次根式的运算法则是解题的关键．首先，需要计算和的和与积，然后利用这些值来找到的值，可以通过直接代入和计算来找到答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：13． 11. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理以及可列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，而 ∴，且a、b均为正数， 解得：，则， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：24． 12. 菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在线段BC上，CE=2，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE=CP，则∠EPC的度数为___________． 【答案】30°或45°或75° 【解析】 【分析】①当P在CD边上时，连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，根据三线合一可得∠EHC=∠PHC=90°，根据三角形内角和定理求解即可； ②当P在AD边上，时，求得，可得 △ECP为等腰直角三角形即可求解； ③当P在AB边上，时，求得∠BCP =30°，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】如图所示：连接EP交AC于点H． ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°． ∵ ∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH． ∴； 如图2所示：当P在AD边上，时， 则， ∵， △ECP为等腰直角三角形， ． 如图3所示：当P在AB边上，时， ∴∠BCP=90°-∠CBA=30°， ∵CE=CP， ∴∠EPC=∠PEC=(180°-30°)=75°， 故答案为：30°或45°或75°． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，涉及乘方运算、二次根式的化简、二次根式的乘除法以及加减法运算．熟练掌握二次根式的运算法则和最简二次根式的化简方法是解题的关键． （1）先根据乘方运算计算，再将各项根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先根据二次根式的乘除法法则进行乘除运算，再将结果化为最简形式，最后进行加法运算． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 14. 若，请判断以、、为三边的的形状并说明理由． 【答案】解：直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴，，， ∵ ∴以、、为三边的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】先根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性的特性列式求出a、b、c，然后运用勾股定理的逆定理即可解答 【详解】略 【点睛】本题主要考查了非负性的特性以及勾股定理的逆定理，理解若干个非负数的和为0、则每个非负数均为0成为解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，，点，分别是直角边，的中点，则的长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理及三角形中位线定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．先利用含直角三角形的性质求出斜边的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ 在中，，，所对直角边是斜边的一半，且，设， ∴ 根据勾股定理，即 解得， ∴， 又∵ 点，分别是，的中点， ∴ ， ∴ ． 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 【答案】（1）如图1，BEDF即为所求； （2）如图2．菱形BEDF即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】解：（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 17. 如图，在中，，为中点，，，，相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 为中点， ， 又， ， ，即， 四边形是平行四边形， ，为中点， （等腰三角形三线合一），即， 平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）要证四边形是矩形，先根据已知条件证它是平行四边形（一组对边平行且相等），再证有一个角是直角（利用等腰三角形三线合一性质）． （2）在矩形中，利用矩形对角线相等且互相平分得到，结合证是等边三角形，求出，再用勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，，， 根据勾股定理， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）和性质（对角线相等且互相平分 ）是解题的关键． 四、（本题共计3小题，每题8分，共计24分） 18. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5； （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 19. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 20. 已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： （1）图1中________cm，________cm，________cm． （2）求图2中，的值； （3）若是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）；； （2）的值为，的值为 （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图像，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． 【小问3详解】 解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 五、（本题共计2小题，每题9分，共计18分） 21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______；_______； （2）比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：， ， ，，即 22. 综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是菱形； 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）45 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 六、（本题共计12分） 23. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_______（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图2，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． （3）拓展应用 如图3，菱形是“勾股四边形”，对角线交于点，求四边形OEBF的面积． 【答案】（1）①正方形（答案不唯一）； ②如图即为所求： （2） 解：如图，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）①正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，②根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （2）如图，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． （3）先证明四边形是正方形，得，，，，进而得又证明得从而利用面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：①正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形； ②由题意得： ∴，即要使， ∴点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵菱形是“勾股四边形”， ∴设 ∴ ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴，，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理、正方形的判定及性质，旋转和全等三角形的判定及性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则a的取值可以是（　　） A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以（）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分）． 7. 计算：_______． 8. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高_____． 9. 函数y＝kx＋2的图象经过点（1，3），则k＝_______． 10. 已知，，则式子的值为_______． 11. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，，则每个直角三角形的面积为______． 12. 菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在线段BC上，CE=2，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE=CP，则∠EPC的度数为___________． 三、解答题（本题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 若，请判断以、、为三边的的形状并说明理由． 15. 如图，在中，，，，点，分别是直角边，的中点，则的长为多少？ 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 17. 如图，在中，，为中点，，，，相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 四、（本题共计3小题，每题8分，共计24分） 18. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 19. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 20. 已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： （1）图1中________cm，________cm，________cm． （2）求图2中，的值； （3）若是等腰三角形时，直接写出的值． 五、（本题共计2小题，每题9分，共计18分） 21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______；_______； （2）比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； （3）若，求的值． 22. 综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 六、（本题共计12分） 23. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_______（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图2，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． （3）拓展应用 如图3，菱形是“勾股四边形”，对角线交于点，求四边形OEBF的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $