3.4.1 分式方程 课件 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

第3章 分式 3.4 分式方程 第1课时 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1 1.了解分式方程的概念，能判断一个等式是不是分式方程. 2.掌握解分式方程的步骤. 3.能熟练运用解分式方程的步骤进行计算. 4.理解分式方程可能无解的原因 学习目标 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 2 课堂导入 方程的概念： 指含有未知数的等式. 整式方程的概念： 方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 3 课堂导入 一元一次方程： 指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式. 二元一次方程： 指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 4 课堂导入 下列不是整式方程的有哪些？ (1) 2x+5=7； (2) 9x-5； (3) 6y+1>2y； (4) 7-2=5； (5) 4x+3y=3； (6) ； (7) ； (8) x=4. 不是整式方程的有：(2)(3)(4)(7). 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 5 新知探究 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 6 新知探究 解：如果设江水的流速为v km/h， 根据题意得 . 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速. 则轮船顺流航行的速度为 (30+v) km/h， 轮船逆流航行的速度为 (30-v) km/h， 航行60 km所用的时间为 h . 航行90 km所用的时间为 h； 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 7 新知探究 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 分式方程必须满足的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.三者缺一不可. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 8 新知探究 分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的分式方程 （a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 9 新知探究 分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数 分母中不含未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 10 跟踪练习 下列式子：① ；② ；③ ； ④ ；⑤ .其中，分式方程有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 11 新知探究 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢？ 我们可以通过“去分母”实现这种转变. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 12 新知探究 分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v).把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程①的解. ① 解分式方程的基本思路 去分母 分式方程 整式方程 转化 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 13 新知探究   将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 14 新知探究 解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项. 在这里使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根). 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 15 跟踪练习 解下列方程： (1) ； (2) . 解：(1)方程两边乘x(x-2)， 得5(x-2)=7x， 解得x=-5， 检验：将x=-5代入原方程，左边=-1=右边， 因此x=-5是原分式方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 16 跟踪练习 解下列方程： (1) ； (2) .   青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 17 新知探究 下面我们讨论分式方程 . 为去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)， 得整式方程 x+5= 10. 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 18 新知探究 将x=5代入原分式方程检验， 发现这时分母x-5和x2-25的值都为0， 相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解， 但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 19 跟踪练习 将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根. （1）分式方程有增根时的应用： ①最简公分母为0，求增根； ②将增根代入整式方程求其他参数. （2）分式方程无解： ①分式方程有增根； ②化为的整式方程无解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 20 新知探究 为什么在分式方程 ①中去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程 ②中去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0， 这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 21 新知探究 为什么在分式方程 ①中去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程 ②中去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 22 新知探究 产生增根的原因 分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程时，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 23 新知探究 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解， 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 24 跟踪训练 例1 解方程： . 解：方程两边同乘x(x-3)，得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以原分式方程的解为x=9. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 25 跟踪训练 例2 解方程: . 解：方程两边同乘(x-1)(x+2) ，得 x(x+2)- (x-1)(x+2) =3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0. 因此x=1不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 26 新知探究 （1）因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤； （2）如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 27 新知探究 解分式方程的一般步骤 一去 二解 三验 四写 去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程. 解这个整式方程. 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 写出原分式方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 28 新知探究 关于x的分式方程① 和② 有什么区别？ 分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式子表示的值. 关于x的分式方程①除了含有未知数x，还含有字母v，s，其中v，s表示常数，而②为一般的分式方程. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 29 新知探究 含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程. 含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 30 新知探究 例 解关于x的分式方程： . 分析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 31 新知探究 例 解关于x的分式方程： . 解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n), 可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n), 即 , 整理得 ， 因为 ，所以m+n≠0，解得 ， 经检验， 是原分式方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 32 跟踪训练 1.已知关于x的分式方程 的解与方程 的解相同，求a的值. 解析：由已知条件中的两分式方程的解相同，可先将其中不含字母的方程的解求出，再将该解代入另外一个方程中即可得到关于待求字母的方程，最后解方程并在检验后得出结论. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 33 跟踪训练 经检验，x=2是原方程的解. 所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个分式方程， 经检验，a=-3是关于a的分式方程的解，所以a=-3. 解：解分式方程 ，得x=2. 因为关于x的分式方程 的解与方程 的解相同. 即 ，解得a=-3. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 34 随堂练习   B 一元一次方程 一元二次方程 一元一次方程 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 35 随堂练习   x-2=3 x=5 C 解分式方程时，不要忘记检验哦. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 36 随堂练习 3.解分式方程 .   青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 37 随堂练习 4.解分式方程： . 解：方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x， 解得x=1.5. 检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0， 所以原分式方程的解是x=1.5. 分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母3(x-1). 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 38 随堂练习 5.解分式方程： . 解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2， 解得x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. 分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母(x+1)(x-1). 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 39 随堂练习 6.解分式方程： . 解：原分式方程可化为 , 方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ， 解得x=6， 检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=6. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 40 随堂练习 7.关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围是（ ） A.a>1 B.a<1 C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠2 解析：关于 x 的分式方程，则说明 x 是未知数，a 代表已知数，则解出的 x 是含有字母 a 的式子.由题可知，原分式方程的解为负数，则含有字母 a 的式子为负数. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 41 随堂练习 7.关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围是（ ） A.a>1 B.a<1 C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠2 解：方程两边同时乘以x+1，得2x+a=x+1.解得x=1-a. ∵原分式方程的解为负数，所以x<0，即1-a<0.解得a>1. 将x=1-a进行检验，即x+1=1-a+1≠0，解得a≠2. 综上所述，a的取值范围是a>1且a≠2. 故选D. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 42 随堂练习 8.关于x的分式方程 有解，则k的取值范围是_______________. 分析：关于 x 的分式方程，则说明 x 是未知数，k 代表已知数，则解出的 x 是含有字母k的式子.由题可知，原分式方程有解，则含有字母 k 的式子经过检验满足分式方程解的条件. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 43 随堂练习 所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5. 解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k. ①原分式方程有解，则 ，则 且 ， 解得k≠-3. ②x存在，则 有意义，即k≠-5. k≠-3且k≠-5 8.关于x的分式方程 有解，则k的取值范围是_______________. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 44 拓展提升 解：方法一（去分母）： 方程两边同时乘以x(x+2)，得5x=4(x+2). 解这个整式方程得x=8. 经检验，x=8是原方程的解. 1.用多种方法解分式方程： . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 45 拓展提升 解：方法二（倒数法） ： 1.用多种方法解分式方程： . 对原方程两边同时取倒数，得 . 通分，得 . 则4(x+2)=5x，解得x=8. 经检验，x=8是原方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 46 拓展提升 解：方法三（设参数法） ： 1.用多种方法解分式方程： . 令 ， 则 ，k(x+2)=5. 解得 ，所以x=8. 经检验，x=8是原方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 47 拓展提升 解：方法四（分子对等法） ： 1.用多种方法解分式方程： . 将分子化相等，得 . 由分母相等，得4(x+2)=5x，解得x=8. 经检验，x=8是原方程的解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 48 拓展提升 2.解分式方程： . 分析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它的分子，将分子拆成分母与1的和，分别除以分母，消去分子中的未知数，然后进行求解. 例如： . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 49 拓展提升 2.解分式方程： . 解： 原分式方程可化为： 即 ， 移项，得 . 通分，得 . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 50 拓展提升 2.解分式方程： . 所以x2-6x+8=x2-14x+48， 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=5. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 51 拓展提升 3.若关于x的分式方程 无解，求k的值. 分析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 52 拓展提升 3.若关于x的分式方程 无解，求k的值. 因为原分式方程无解，所以x-2=0，即x=2.解得k=0. ②当2+k=0，即k=-2时，化简后的整式方程无解，则原分式方程无解. 综上所述，k=0或k=-2. 解：方程两边同时乘以x-2， 得2(x-2)-(1-kx)=-1，即(2+k)x=4. ①当2+k≠0，即k≠-2时， . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 53 课堂小结 分式方程 概念 解法 分母中含未知数的方程 去分母 分式方程 整式方程 转化 一去二解三验四写 步骤 基本思路 含字 母的 分式 方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程. 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 54 $$