2.2,4 全等三角形的判定 课件-2025-2026学年青岛版2024数学八年级上册

青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 第2章 全等三角形 2.2 三角形全等的判定 第4课时 * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1.理解并掌握三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容. 2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等. 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 课堂导入 由已经学过的三角形全等的判定可知，再满足“一边一锐角分别相等”或“两直角边分别相等”就可以借助“ASA” “AAS”或“SAS”证明. 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ C′ A B C ┐ * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 作法： （1）画∠MC′N=90°； （2）在射线C′M上截取B′C′=BC； （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′N于点A′； （4）连接A′B′. 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.试问Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？ C′ B′ A′ A B C M N * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”) 符号语言表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， AC=A′C′， BC=B′C′， ∴ Rt △ABC≌ Rt △A′B′C′（HL）. 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角对应相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或直角）的对边对应相等 斜边对应相等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边对应相等 HL或ASA或AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 证明：∵CE=BF， ∴CE-FE=BF-EF，即CF=BE. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF. 例2 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AE=DF. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等， 还需要补充的条件是 （写出一个即可）. 答案： AB=AD 或 BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD 一定要注意直角三角形不是只能用H.L.证明全等，但H.L.只能用于证明直角三角形的全等. C A B D * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 跟踪训练 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 新知探究 证明:如图,连接BD。 在Rt△ABD 和Rt△CDB 中, ∠A=∠C=90°。 BD=DB, AD=CB, ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。 ∴ AB=CD。 如图2.2-13,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,AD=CB。 求证:AB=CD。 * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 1.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 D * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ① ∠A=∠A′， AC=A′C′， ∠C=∠C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（ASA）. ② AB=A′B′， AC=A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）. ①AC=A′C′，∠A=∠A′； ②AC=A′C′，AB=A′B′. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ③ AC=A′C′， ∠C=∠C′， BC=B′C′， Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）. ④ ∠A=∠A′， ∠C=∠C′， AB=A′B′， Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS）. ③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与 路段AB的距离相等吗？为什么？ 解：相等.理由如下： ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. CD=CE * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 ∵同时出发，同时到达，且速度相同， ∴CD=CE. ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴△ACD和△BCE是直角三角形. ∵在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC， CD=CE， ∴ Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）. ∴DA=DB. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 3.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌△CBF. 证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF， AB=CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）. C A B E F * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 4.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF. 试判断AB与CD的位置关系，并证明. 解：AB//CD，证明如下： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90° ∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴∠B=∠C，∴AB//CD. * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？ A B C P M Q * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 解：①当点P运动到AP=BC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=BA， AP=BC， ∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL）. ∴AP=BC=5cm. A B C P M Q * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 解：②当点P运动到AP=AC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CAB中， PQ=AB， AP=CA， ∴Rt△APQ≌Rt△CAB（HL）. ∴AP=AC=10cm. 综上，当点P运动到使AP=5cm或AP=10cm位置时， △APQ和△CAB全等. A B C(P) M Q * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 随堂练习 三角形全等的判定 HL 对比 探究 应用 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 根据已知条件选择适合证明两个直角三角形全等的方法 利用“HL”解决实际问题 * 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 课堂小结 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找另一边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找夹角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹角的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找除夹边外的任意一边(AAS) 斜边和一直角边(HL) * $$