精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第二十一中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期期中质量监测 初二数学试卷 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 的值可以是， 故选：． 3. 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．首先利用勾股定理的逆定理确定其为直角三角形，再根据直角三角形的性质确定最短边上的高即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为6，8，10，其中 ， 该三角形为直角三角形，直角边为6和8，斜边为10， 三角形的三边长分别为6，8，10， 最短边为6， 在直角三角形中，直角边6对应的高为另一条直角边8， 该三角形的最短边上的高为8． 故选：D． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法对选项A、C进行判断；根据菱形的判定方法对选项C进行判断；根据平行四边形的判定方法对选项D进行判断． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误，不符合题意； B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误，不符合题意； C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以C选项错误，不符合题意； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是根据矩形、菱形和平行四边形的判定方法判断命题的真假． 5. 如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， ∴∠EAO=∠FCO 在△△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF， ∴S△AOE=S△COF， 在△COB和△AOD中 ∴△COB≌△AOD， ∴S△AOD=S△BOC， 同理S△AOB=S△DOC ∵OB=OD， ∴S△AOB=S△DOC， ∴阴影部分的面积是S△AOE+S△DOF=S△DOC=S平行四边形ABCD． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有当a≥0，b≥0时，即可判断A；根据，即可判断B；求出即可判断C；根据平方差公式和二次根式的性质求出的值即可判断D． 【详解】解：A.（没有意义），故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和定义，注意：①只有当a≥0，b≥0时，，②有意义的条件是． 7. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形为菱形得到，由三角形的中位线定理得到，；，，得出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于点， 四边形是菱形， ， 点、分别是、的中点， 是三角形的中位线， ，， 同理，，， ， 四边形必定是对角线相等的四边形． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”． 8. 直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（ ） A. 49 B. 17 C. 60 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】设另一直角边为x，则斜边为x+2，根据勾股定理得，即可求出x，再得出周长即可． 【详解】解：设另一直角边为x，则斜边为x+2， 根据勾股定理得：， 解得x=24， ∴直角三角形的周长为10+24+26=60，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是设出未知数，根据勾股定理列出方程． 9. 矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组，再由完全平方公式的变形求得对角线的长． 【详解】解：设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组得： ， 由②得， 即， ∴， ∴对角线的长为(cm)． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，完全平方公式，掌握勾股定理是解题的关键． 10. 如图，正方形的面积为24，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 （ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为24，可求出AB的长，从而得出结果． 【详解】解：连接BD，与AC交于点F． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为24， ∴AB=． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=． ∴所求最小值为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≤ 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，1−2x0，解得x≤， 故答案为x≤. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握计算法则是解题关键. 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 13. 在中，若边，，则的周长是_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键．根据平行四边形对角线相互平分可知，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 的周长． 故答案为：10． 14. 在中，，，则以为直径的圆的面积为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分为斜边和直角边两种情况，分别求得，然后再利用圆的面积公式写出答案即可． 【详解】解：当为斜边时，，， ， 则以为直径的圆的面积为：； 当为直角边时，，， ， 则以为直径的圆的面积为：． 故答案为：或． 15. 平行四边形的一个内角平分线分对边为和两部分，则此平行四边形的周长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，二次根式的运算，熟练掌握这些性质是解题的关键．如图根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义得，然后求出，再根据等角对等边的性质可得，然后分或两种情况解答即可． 【详解】解：如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 当时，， ， 平行四边形的周长； 当时，， ， 平行四边形的周长； 故答案为：或． 16. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数求出∠AOB=30°，根据翻折变换的性质可得∠A1OB=∠AOB，A1O=AO，再求出∠A1OA=60°，过点A1作A1D⊥OA于D，然后求出OD、A1D，再写出点A1的坐标即可． 【详解】过点A1作A1D⊥OA于D， ∵， ∴， ∴∠AOB=30°， ∵矩形OABC对折后点A落在点A1处， ∴∠A1OB=∠AOB=30°，A1O=AO=， ∴∠A1OA=30°+30°=60°， 则OD= A1O·cos60°=， A1D= A1O·sin60°=， ∴点的坐标是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，长方形的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，求出∠A1OA=60°是解题的关键． 17. 如图，正方形，，，……，，按如图所示放置，使点、、、……，在射线上，点、、、……，在射线上．若，，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作，，，……，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，图形的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．根据正方形性质和等腰直角三角形性质可得，求出，，，然后根据三角形的面积公式求出，，，从而推出，即可得出答案 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 同理， …… ， ， ， …… ， ． 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2）15 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后再计算除法，然后化简二次根式即可得出答案； （3）先化简二次根式，化简绝对值，零指数幂和负指数幂，然后从左到右进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行展开，然后从左到右进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除法，化简绝对值，零指数幂，负指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 19. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为 （1）的长为_____________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点为平面上一点，若四边形为矩形，则点的坐标为_____________． （4）点为直线上一个动点，的最小值是_____________． 【答案】（1） （2） 为直角三角形，理由如下： ，，， ， 为直角三角形． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，利用勾股定理即可求解； （2）根据网格的特点，利用勾股定理分别求出三边的长度，再根据勾股定理的逆定理即可判断； （3）根据矩形的性质和网格的特点分别作，，即可求解． （4）作点关于直线的对称点，连接、、、，根据轴对称的性质和两点间线段最短可知，即当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，根据坐标求得即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形为矩形， ，，，， 过点作，过点作，如图所示， 根据网格的特点可知，点的坐标为． 故答案为：． 【小问4详解】 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、、， 则， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ，， ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，两点间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图，四边形是菱形，，． （1）求：的度数 （2）求：的长和菱形的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可知，，利用两直线平行，内错角相等，可求得，根据等边对等角，可得，最后结合三角形内角和定理，求得； （2）根据菱形的性质，可知，结合勾股定理，可求得和，最后利用菱形的面积公式求得答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， 菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，菱形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，连接、、．且， （1）求证：； （2）若，求点到的距离． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明即可； （2）由（1）可知，，可知，那么为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得点到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），那么， ， ， ， 为等腰直角三角形, ， 过点作交于，如图所示： ， ， 点到的距离为． 22. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）证明：； （2）当____________时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ． （2） 1； 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，即，， ， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和是的中点，易证，得到，结合，得证； （2）根据已知条件易得四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一，可知当时，可推出，从而根据平行四边形的一个角为直角得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足． （1）矩形的顶点的坐标是_________； （2）若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：是中点， ， 折叠， ，， ， ， ， ， ，且 四边形是平行四边形； （3）点的坐标为，，，． 【解析】 【分析】（1）由题意可求得和的值，再将其代入的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得，，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点的坐标． 【小问1详解】 解：且， ， ， 点，点， 点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：、、、为顶点的四边形是菱形， 分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ，， ， ， ∴，，，， ∴点的坐标为，，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中质量监测 初二数学试卷 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（ ） A. 6 B. C. D. 8 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(　 　) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 8. 直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（ ） A. 49 B. 17 C. 60 D. 不能确定 9. 矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的面积为24，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 （ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 13. 在中，若边，，则的周长是_____________． 14. 在中，，，则以为直径的圆的面积为_____________． 15. 平行四边形的一个内角平分线分对边为和两部分，则此平行四边形的周长为_____________． 16. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，则点的坐标是_____． 17. 如图，正方形，，，……，，按如图所示放置，使点、、、……，在射线上，点、、、……，在射线上．若，，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作，，，……，，则_____________． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为 （1）的长为_____________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点为平面上一点，若四边形为矩形，则点的坐标为_____________． （4）点为直线上一个动点，的最小值是_____________． 20. 如图，四边形是菱形，，． （1）求：的度数 （2）求：的长和菱形的面积． 21. 如图，在正方形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，连接、、．且， （1）求证：； （2）若，求点到的距离． 22. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）证明：； （2）当____________时，四边形是矩形？并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足． （1）矩形的顶点的坐标是_________； （2）若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $