第14讲 一次函数的应用（6大知识点+10大典例+变式训练+过关检测（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第14讲 一次函数的应用（6大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典型例题三 利用图象法解一元一次方程 典型例题四 分配方案问题 典型例题五 最大利润问题 典型例题六 行程问题 典型例题七 工程问题 典型例题八 一次函数与几何综合 典型例题九 一次函数应用之动点问题 典型例题十 一次函数应用之最值问题 知识点01 一次函数与一元一次方程 一元一次方程问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 知识点02利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【即时训练】 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 知识点03 一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西安康·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，当时，，当时，，则当时间为时，对应的高度为（   ） A． B． C．4.7 D．5.4 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 知识点04 选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润总销售额总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案： 方案（1）是不改变食品售价，减少总成本； 方案（2）是不改变总成本，提高食品售价． 下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（    ） A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，② 【即时训练】 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案， 方案一：办理月卡，并单次打折； 方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 知识点05 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·湖北·周测）我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 【即时训练】 2．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 知识点06 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 【即时训练】 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（    ） A．200 B．250 C．300 D．350 【即时训练】 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ． 【典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·天津东丽·模拟预测）直线与y轴交点坐标为 ． 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝ax＋b的图象交于点P（﹣1，m），那么二元一次方程组的解为 ． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 【典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）一次函数 与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【例4】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积．     3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 【典型例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一次函数（k、b为常数，且，）与的图象相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  时间：2023年2月20日 例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    【典型例题四 分配方案问题】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【例2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【例3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 4．（2025·山东青岛·模拟预测）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 【典型例题五 最大利润问题】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）某厂计划生产A、B两种产品共50件,已知A产品每件可获利润700元,B产品每件可获利润1200元,设生产两种产品的获利总额为y(元),写出y与生产A产品的件数x之间的函数表达式 . 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）某中学10月份召开了校运动会，需要购买奖品进行表彰，学校工作人员到某商场标价购买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元；回学校后发现少买了2件甲商品和1件乙种商品，于是马上到该商场花了170元把少买的商品买回． （1）分别求出甲、乙两种商品的标价． （2）若元旦前，学校准备为全校教职工购买甲、乙两种商品作为慰问品，需要购买甲、乙两种商品共200件，请求出总费用w（元）与甲种商品a（件）之间的函数关系式（不需要求出自变量取值范围） 2．（2025·四川成都·模拟预测）某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表： 销售价格x（元/袋） 25 30 35 40 销售件数y 275 250 225 200 （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？ 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 4．（24-25八年级上·福建宁德·期中）2025年央视春晚舞台上，杭州宇树科技研发的16台人形机器人UnitreeH1“福兮”成为焦点．它们身着传统服饰，与新疆艺术学院舞蹈演员共同演绎《秧BOT》节目，以精准的舞步、转手绢及抛接动作展现了科技与艺术的深度融合．这场惊艳世界的机器人舞蹈秀不仅验证了人形机器人高精度运动控制技术的突破，更激发了实体产业对智能机械的想象空间．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 型机器人每台80万元，型机器人每台60万元； 素材2 该企业准备购买、两种型号智能机器人共12台； 素材3 型机器人每台每天可分拣快递万件， 型机器人每台每天可分拣快递18万件； 问题解决 任务1 设购买型机器人台，若型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，至少购买多少台型机器人？ 任务2 在任务1的条件下，该企业准备用不多于920万元购买这些机器人，则该企业选择哪种购买方案，才能使每天分拣快递的件数最多？ 【典型例题六 行程问题】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图像的信息，小张比小王早到乙地的时间是（  ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）一辆电动车沿直线以的速度向外的目的地前进，则电动车行驶时间与目的地的距离之间的函数关系式为 ． 【例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是 千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是千米时，此时求乙车的行驶时间． 3．（2025·天津河东·模拟预测）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行到达书店，在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 ②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ； ③当时，请直接写出小明离学校的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明到达书店前时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？(直接写出结果即可) 【典型例题七 工程问题】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）一项工程，先由甲独做，后乙加入合作直至完成，工程剩余工作量y与甲工作时间x（天）的函数关系如图所示，若要使工程提前4天完成，那么乙应该在甲工作第 天后加入合作． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 2．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【典型例题八 一次函数与几何综合】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·期中）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上的点D处，则点D的坐标为 ． 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是 ． 1．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)求的面积． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点，直线与轴相交于点． (1)求和的值； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)若点在平面内，当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (4)若动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【典型例题九 一次函数应用之动点问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南许昌·模拟预测）如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 【例3】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图1．在四边形中，，动点P从点B出发，沿的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x的函数图像2所示，那么四边形的面积为 ． 1．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，的面积为y，求y与x之间的函数关系． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上一个动点，在点A运动的过程中，试写出的面积S与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点A运动到什么位置时，的面积是1． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 4．（24-25八年级上·重庆梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 【典型例题十 一次函数应用之最值问题】 【例1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能＋”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450厘米的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（秒），聪聪和慧慧行走的路程分别为（厘米）、（厘米），、与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③ ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140厘米 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个．在某体育用品店，每个篮球元，每个足球元，在该校购买期间，足球打八折促销．设该校要购买个篮球，购买篮球和足球的总花费为w元． （1）w与m之间的函数解析式为 ； （2）若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则学校购买 个篮球时总花费最少，w的最小值为 元． 【例3】（2025·北京西城·模拟预测）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是 ； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为 元（用含a的式子表示）． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）对于每个x ,函数y是函数y1=2x , y2=x+3 , y3=-x+3中的最大值，则函数y的最小值为（　　） A．6 B．3 C．4 D．5 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若直线与存在交点，则这两条直线就叫做“关联直线”，称点为“关联点”，二次函数为“关联函数”． (1)求与它的“关联直线”的“关联点”的坐标，并写出其“关联函数”的解析式； (2)已知经过点的直线，它与其“关联直线”的“关联点”为．若，，满足条件，求的取值范围； (3)若直线的“关联函数”与轴两个交点的距离为，当时，其“关联函数”的最小值为，求其“关联函数”的解析式． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值； (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）某种农机A城有30台，B城有40台．某运输公司现要将这些农机全部运往C，D两乡．已知C乡需要34台，D乡需要36台；从A，B两城运往C，D两乡的运费如表： 两乡 两城 C（元/台） D（元/台） A 250 200 B 150 240 设A城运往C乡x台农机，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别写出与x之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (2)求将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多多少元？ (3)该运输公司现要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元，怎样调运，使运送全部农机的总费用的和最少？并求出最小值． 1．（2025·吉林·模拟预测）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（   ） … 0 50 100 … … 45 41 37 … A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角三角形与等腰直角三角形均位于第一象限内，它们的直角边平行于x轴或y轴，其中点A、在直线上，点C、在直线上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，，若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 7．（24-25八年级上·湖北·期末）某地出租车行驶里程与所需费用（元）的关系如图．若某乘客一次乘坐出租车里程，则该乘客需支付车费 元． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．    9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，为边上一点，且，为边的中点，分别连接，，交点为，则的长度为 ． 10．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 11．（24-25八年级上·四川成都·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 13．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一次函数的应用（6大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典型例题三 利用图象法解一元一次方程 典型例题四 分配方案问题 典型例题五 最大利润问题 典型例题六 行程问题 典型例题七 工程问题 典型例题八 一次函数与几何综合 典型例题九 一次函数应用之动点问题 典型例题十 一次函数应用之最值问题 知识点01 一次函数与一元一次方程 一元一次方程问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程变形为用x表示y即可． 【详解】解：方程用x表示y为：， 故将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线上， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程的关系，解题关键是明确方程与一次函数的关系，会把方程转化为一次函数． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 知识点02利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【答案】（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【分析】（1）根据租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆，进而表示出总租金即可． （2）由实际生活意义确定自变量的取值范围． （3）由题意可列出一元一次不等式方程组．由此推出y随x的增大而增大． 【详解】解：（1）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意可得出：； （2）由得：． 又， 的取值范围是：，且为整数； （3），且为整数， 取或或 中 随的增大而增大 当时，的值最小． 其最小值元． 则租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 故答案为（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要会利用题中的不等关系找到x的取值范围，并根据函数的增减性求得y的最小值是解题的关键． 【即时训练】 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可． （2）令，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为， 由图可知，，， 将，代入， 得， 解得， ． （2）解：由图可知，服务区在（段）， 令，则， 解得， 赵叔叔出发小时到达服务区． 【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点． 知识点03 一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西安康·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，当时，，当时，，则当时间为时，对应的高度为（   ） A． B． C．4.7 D．5.4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求得一次函数解析式是解题的关键． 先运用待定系数法法求得水位与时间的函数解析式，然后将代入计算即可． 【详解】解：设水位与时间的函数解析式为， 由题意可得：，解得：， 所以， 当时，． 故选C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 【答案】1.2 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为，当时，，当时，，判断即可得解． 【详解】解：设水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 当时，， 当时，， ∴h的值记录错误的是1.2， 故答案为：1.2． 知识点04 选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润总销售额总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案： 方案（1）是不改变食品售价，减少总成本； 方案（2）是不改变总成本，提高食品售价． 下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（    ） A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，② 【答案】B 【分析】根据题意设单个食品售价为k元，总成本为b元，则可得到函数表达式为，进而依据方案（1）（2）进行分析即可得出结论． 【详解】解：设单个食品售价为k元，总成本为b元，则可得到函数表达式为， 方案（1）是不改变食品售价，设减少总成本m（m>0），可得即图象向上平移m个单位，所以表示方案（1）的图象为①， 方案（2）是不改变总成本，设提高食品售价为n（n>0），可得， 有当x=0，y=-b即与y轴的交点位置不变，当，即新函数图象在上方故表示方案（2）的图象为③． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数的性质以及图象平移与旋转的规律进行分析判断． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案， 方案一：办理月卡，并单次打折； 方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得两个函数的解析式，再根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：由题意设方案一的函数解析式为；方案二的函数解析式为； ∴，， 解得，， ∴，， ①，∴方案一办理月卡120元，每健身一次打六折的说法正确； ②，∴方案二没有办理月卡，每健身一次打九折的说法正确； ③当时，，，， ∴健身4次，方案一的费用比方案二多95元的说法不正确； ④当时，，， ∴每月健身20次，两种方案费用相同的说法正确． 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 知识点05 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·湖北·周测）我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可． 【详解】解：设，，如图， 当， 解得：或， 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 当时，， ∴， 此时当时，有最大值，最小值； 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B 【即时训练】 2．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】2 【分析】分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】根据题意，得 ， 解得， ∴m的最大值为1，最小值为 ∴m的最大值与最小值之差为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直线解析式交点坐标的计算，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键． 知识点06 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 【即时训练】 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（    ） A．200 B．250 C．300 D．350 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可． 【详解】解：设点A、B的坐标为：， 则直线的表达式为：t①， 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：，两图象交点P的纵坐标为250， 故选：B 【即时训练】 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意、从图象中得出解题所需信息是解题的关键； 根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，则凫、雁相遇时，距离南海的路程，据此建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是， 则凫、雁相遇时，距离南海的路程， ∴， 解得：， 即点M的横坐标是； 故答案为：． 【典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由直线过点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 【例2】（2025·天津东丽·模拟预测）直线与y轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】令x=0，即可解得直线与y轴交点． 【详解】解：令x=0得，， 直线与y轴交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟知一次函数的性质． 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝ax＋b的图象交于点P（﹣1，m），那么二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象可知，点P就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的交点，即二元一次方程组的解． 【详解】解：∵点P（﹣1，m）就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的交点， ∴， ∴点P的坐标为（-1，2）， 根据题意可知，二元一次方程组即的解就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象的交点P的坐标， ∴二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象交点P之间的联系． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象过一、二、三象限， ∴，， ∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∴，，故A、B选项错误； 交点左边，则C选项错误； 由于两直线的交点位于第三象限， ∴关于x的方程的解是一个负数，故D选项正确； 故选：D． 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第4个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤． 【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）； ②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，同理可得：-3=±2x+4，即可求解； （2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围． 【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1， 故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0）， ∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2； （1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）； 故答案为-2，2，2； ②当点P在x轴上方时， ∵S△ABC=S△ABP，C（1，2）， 故点P的纵坐标为3， 当y=2x+4=3时，x=-，故点P（-，3）； 当点P在x轴下方时， 同理可得：-3=±2x+4，解得x=±， 故点P的坐标为（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时， 当m≥0时，点C（m，4﹣2m）， 将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝； ∴0≤m≤， 当m＜0时，m＝2m+4， 解得m＝﹣4， ∴-4＜m＜0 又∵﹣2＜m≤2， ∴﹣2＜m≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 【典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）一次函数 与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入求出x的值，进而可得出一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标，令求出y的值可求出图象与y轴的交点坐标，令求出x的值可求出图象与x轴的交点坐标． 【例2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律得到新的函数解析式，再令即可求解． 【详解】将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后得到：， 令， 解得， 所得图象与x轴的交点坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的平移是解题的关键． 【例3】（23-24八年级上·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 【例4】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，一次函数图象等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先化简为，得出无论取何值，恒过，画出题中分段函数图象，结合随值不同，绕进行旋转，观察图象即可求解． 【详解】解：可化为， 无论取何值，恒过， 该函数图象随值不同，绕进行旋转， 作出题中，两个函数图象如下： ， 由图象可得，与轴的交点为， 当经过，时恰好与有两个交点，此时， 由图象可得，当时，的倾斜程度越缓，与只有一个交点，故的取值范围是， 当时，与平行，与只有一个交点，故的取值范围是， 综上所述，当时，关于，的二元一次方程有两组解． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴     解得：，     ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴， ∴     ∴， 答：的面积为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)A点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）令纵坐标为0求解即可； （2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为； （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 【典型例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系． 根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解． 【详解】∵直线经过点， ∴时，， ∴方程的解为， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一次函数（k、b为常数，且，）与的图象相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入求出a，根据M点的横坐标，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得a＝， ∴， ∵可化为， ∴根据图象信息可得关于x的方程的解为， ∴关于x的方程的解为x＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数图像交点的坐标就是对应二元一次方程组的解，是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 【答案】x＝-2 【分析】可变形为，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：将变形为， 的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标， 观察图象可知，的解为x＝-2， 即的解为x＝-2， 故答案为：x＝-2． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  时间：2023年2月20日 例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    【答案】(1)C (2)图见解析， 【分析】（1）“方法二”体现的是数形结合的思想，即可得到答案； （2）方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标，画出函数图象，由交点的横坐标求得方程的解． 【详解】（1）解：根据题意可得： “方法二”体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （2）解：由题意可得： 方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标， 画出图如图所示：   ， 由图可知，该方程的解为． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的求解和一次函数的性质的综合题，掌握解一元一次方程的解法和数形结合思想是解题的关键． 【典型例题四 分配方案问题】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 【答案】(1)①，；②260 (2)或 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，不等式的应用，理解题意是解题关键． （1）①根据题意，直接列出函数关系式即可；②分两种情况分析令，令，分别求解即可； （2）分四种情况分别分析两种方案的优惠价格，即可得出结果． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：，即． ． ②令， 解得（不符合题意，舍去）． 令， 解得（符合题意）． 故的值为260． （2）根据题意得：当时， 方案一购买需n元，方案二购买需0.8n元，，不符合题意． 当时，令， 得， ． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格小于元，符合题意． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格不超过元，符合题意． 综上，n的取值范围为或． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①，② (2)当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． （2）解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 【答案】(1) (2)共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，则B型5台，月处理污水量最多 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买A型污水处理设备x台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意得一次函数，再观点一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴； （2）解：设买A型污水处理设备x台，则B型台，月处理污水吨数为w吨 根据题意得：， 解得， ∵x是非负整数， ∴共有6种购买方案． ， ∵， ∴w随x的增大而增大， 当时，w有最大值为1900吨， 答：共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，B型5台，月处理污水量最多． 【典型例题五 最大利润问题】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）某厂计划生产A、B两种产品共50件,已知A产品每件可获利润700元,B产品每件可获利润1200元,设生产两种产品的获利总额为y(元),写出y与生产A产品的件数x之间的函数表达式 . 【答案】y=60000-500x 【分析】先表示出B种产品的数量进而利用A，B种产品的利润进而得出总利润. 【详解】设生产两种产品的获利总额为y（元），生产A产品x（件）， 则B种产品共（50-x）件， ∴y与x之间的函数关系式为：y=700x+1200（50-x）=60000-500x； 故答案为y=60000-500x. 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的解法和函数最值求法等知识，得出y与x的关系式是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）某中学10月份召开了校运动会，需要购买奖品进行表彰，学校工作人员到某商场标价购买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元；回学校后发现少买了2件甲商品和1件乙种商品，于是马上到该商场花了170元把少买的商品买回． （1）分别求出甲、乙两种商品的标价． （2）若元旦前，学校准备为全校教职工购买甲、乙两种商品作为慰问品，需要购买甲、乙两种商品共200件，请求出总费用w（元）与甲种商品a（件）之间的函数关系式（不需要求出自变量取值范围） 【答案】（1）甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元；（2）w＝10a+10000． 【分析】（1）设甲种商品的标价为每件x元，根据买2件甲商品和1件乙种商品花了170元，可得乙种商品的标价为每件（170-2x）元，再根据买了甲种商品25件，乙种商品26件，共花费了2800元列出方程，求解即可； （2）根据总费用=甲种商品的单价×甲种商品的数量+乙种商品的单价×乙种商品的数量列式即可． 【详解】解：（1）设甲种商品的标价为每件x元，则乙种商品的标价为每件（170﹣2x）元， 根据题意得，25x+26（170﹣2x）＝2800， 解得x＝60， 则170﹣2×60＝50． 答：甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元； （2）由题意，可得w＝60a+50（200﹣a）， 化简得，w＝10a+10000． 故答案为（1）甲种商品的标价为每件60元，乙种商品的标价为每件50元；（2）w＝10a+10000． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，正确求出甲、乙两种商品的单价是解题的关键． 2．（2025·四川成都·模拟预测）某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表： 销售价格x（元/袋） 25 30 35 40 销售件数y 275 250 225 200 （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣5x+400；（2）当x＝40时，获得的利润最大，最大利润是4000元． 【分析】（1）设y关于x的函数表达式为：y＝kx+b，把（30，250）和（40，200）代入解方程组即可得到结论； （2）设销售利润为w元，根据题意得到w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000，根据二次函数的对称轴为x＝50，商品的利润率不能超过100%，得到20≤x≤40时，y随x的增大而增大，于是得到结论． 【详解】解：（1）有表中数据可知，y是x的一次函数， 设y关于x的函数表达式为：y＝kx+b， 把（30，250）和（40，200）代入得， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣5x+400； （2）设销售利润为w元， 根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000， ∵二次函数的对称轴为x＝50，商品的利润率不能超过100%， ∴20≤x≤40时，y随x的增大而增大， ∴当x＝40时，获得的利润最大，最大利润是4000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用和二次函数的应用，根据题意列出式子是解题关键． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)经销商有以下三种进货方案：方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台；方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台；方案三、A品牌和B品牌各购进50台 (3)选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 y与购进空调x的函数关系式是解题的关键，在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据利润（售价进价）乘品牌计算器的数量（售价进价）乘品牌计算器的数量，即可列出关系式，再根据总资金万元得出的取值范围即可； （2）全部销售后利润不少于元，得到一元一次不等式，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：， 其中，得， 即的取值范围是， 则与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得，， 又， ， 经销商有以下三种进货方案： 方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台； 方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台； 方案三、A品牌和B品牌各购进50台． （3）解：∵对于，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，且最大值为（元）． ∴选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期中）2025年央视春晚舞台上，杭州宇树科技研发的16台人形机器人UnitreeH1“福兮”成为焦点．它们身着传统服饰，与新疆艺术学院舞蹈演员共同演绎《秧BOT》节目，以精准的舞步、转手绢及抛接动作展现了科技与艺术的深度融合．这场惊艳世界的机器人舞蹈秀不仅验证了人形机器人高精度运动控制技术的突破，更激发了实体产业对智能机械的想象空间．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 型机器人每台80万元，型机器人每台60万元； 素材2 该企业准备购买、两种型号智能机器人共12台； 素材3 型机器人每台每天可分拣快递万件， 型机器人每台每天可分拣快递18万件； 问题解决 任务1 设购买型机器人台，若型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，至少购买多少台型机器人？ 任务2 在任务1的条件下，该企业准备用不多于920万元购买这些机器人，则该企业选择哪种购买方案，才能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务一：4；任务二：当时，无论如何购买每天分拣快递的件数都是216万件，当时，选择购买A型智能机器人10台，购买B型智能机器人2台，使每天分拣快递的件数最多；当时，选择购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，使每天分拣快递的件数最多． 【分析】题目主要考查不等式及一次函数的实际应用，理解题意，列出不等式及函数解析式进行分情况分析是解题关键． 任务一：根据题意列出不等式求解即可； 任务二：根据题意列出不等式得出，设每天分拣快递的件数为w，确定一次函数解析式，然后分情况根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依题意可列： 解得： ∵x为正整数 ∴x最小值为4； ∴至少购买4台型机器人 （2）由题意可得： 解得： 由（1）可知 ∴ 设每天分拣快递的件数为w， 则， 当时， 当时，w随x的增大而增大 ∴时，w最大 当时，w随x的增大而减小 ∴时，w最大 答：当时，无论如何购买每天分拣快递的件数都是216万件，当时，选择购买A型智能机器人10台，购买B型智能机器人2台，使每天分拣快递的件数最多； 当时，选择购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，使每天分拣快递的件数最多． 【典型例题六 行程问题】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图像的信息，小张比小王早到乙地的时间是（  ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象获取相关信息，熟悉掌握函数图象的相关信息获取是解题的关键． 根据函数图象分别求出时间作差即可． 【详解】解：∵小王的速度，小张的速度为， ∴小王走完全程用时分钟，小张走完全程用时分钟， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）一辆电动车沿直线以的速度向外的目的地前进，则电动车行驶时间与目的地的距离之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式的知识，掌握路程=速度×时间是解题的关键．根据路程=速度×时间，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意求出驽马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为，良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数为，联立，求解即可求得点M的坐标． 【详解】解：根据题意：驽马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为，良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数为， 联立， 解得， 则两直线交点的坐标是． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 【答案】(1) (2) (3)汽油 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键 （）根据题意即可求解； （）先求出跑完所有油的路程，即可求解自变量的取值范围； （）把代入（）中的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：当时，， 解得：， ∴自变量的取值范围为； （3）解：把代入得， ， ∴油箱中还有汽油． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1)乙车的速度为 (2)甲车行驶了 (3)乙车的速度应该减小，速度减小 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）先判断哪辆车先到达目的地，再根据速度路程时间求出甲车的速度，从而由（甲车出发时两车之间的距离两车速度之和列式计算即可； （3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，从而得出结论即可． 【详解】（1）解：． 答：乙车的速度为； （2）解：乙车到达地的时间为， ， 乙车先到达地， 则甲车的速度为， ． 答：甲车行驶了； （3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地， 则此时乙车的速度应该为， ． 答：乙车的速度应该减小，速度减小． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是 千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是千米时，此时求乙车的行驶时间． 【答案】(1)； (2)； (3)乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米． 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知：甲车的速度是（千米时）， 故答案为：； （2）解：根据图象可知：乙车的速度是（千米时）， ∴， ∴， 设线段的函数解析式为， ∴，解得：， ∴线段的函数解析式为； （3）解：由题意设， ∴，解得：， ∴， 同理可得：当时，； ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距网点的路程之和是千米， 当乙未到达时，， 解得：； 当乙经过后，， 解得：（舍去）； 当甲到达后，， 解得：； 答：乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米． 4．（2025·天津河东·模拟预测）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行到达书店，在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 ②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ； ③当时，请直接写出小明离学校的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明到达书店前时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？(直接写出结果即可) 【答案】(1)①，，；②；③ (2) 【分析】本题考查行程问题，一次函数的实际应用；解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息． （1）①分析图象，求解途中速度，令求解，由图象知、时的值； ②分析图象可知小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行路程和时间，则速度可求； ③用待定系数法求解时的函数解析式，结合①与图象可确定时的函数解析式； （2）设小红步行的时间为，利用小明小红相遇时从陈列馆出发的距离相等列方程，确定，从而求解小红在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离． 【详解】（1）解：①由图象可知： 小明从学校出发，匀速骑行到达书店，途中速度是， ∴时，； 由图象知，时，， 时，， 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 故答案为：，，； ②由图象可知： 小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为， 故答案为：； ③由①知时，函数解析式为， 时，函数解析式为， 时，设函数解析式为，将代入解析式中得 解得， ∴时函数解析式为， ∴时函数解析式为； （2）设小红步行的时间为，则： 解得， 她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是． 【典型例题七 工程问题】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为，得，且，根据三个阶段的速度进行判断得到答案． 【详解】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为 得，且 ∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合 ∴A正确 ∵B的图像没有停工期 ∴B错误 ∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合 ∴C、D错误 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【答案】28 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解． 【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为， 将代入上式，得， 解得， ， 当时，， 解得， 故答案为：28． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）一项工程，先由甲独做，后乙加入合作直至完成，工程剩余工作量y与甲工作时间x（天）的函数关系如图所示，若要使工程提前4天完成，那么乙应该在甲工作第 天后加入合作． 【答案】3 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的工作效率，然后根据题意列出相应的方程，即可解答本题． 【详解】解：由图形可得， 甲的工作效率为：（1﹣0.75）÷9＝， 乙的工作效率为：0.75÷（18﹣9）﹣＝， 设乙在甲工作第a天后加入合作， ， 解得，a＝3， 故答案为3 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 2．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 【答案】(1)甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． (2) (3)安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题考查分式方程，一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，进行计算，掌握一次函数的图象和性质，即可． （1）设乙队每天完成，则甲队每天完成，根据题意，列出方程，即可； （2）根据题意，甲队参与施工天，得甲队完成的工程量为：，推出乙队完成的工程量为：，再根据工作效率乘以工作时间等于工作总量，即可； （3）设施工的总费用为元，则；根据施工天数总和不超过30天，得；最后根据一次函数的增减性，即可． 【详解】（1）设乙队每天完成，则甲队每天完成 ∴ 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲队每天完成的工程量为． 答：甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． （2）∵甲队参与施工天， ∴甲队完成的工程量为：， ∴乙队完成的工程量为：， ∴乙队施工的天数为：， 故答案为：． （3）设施工的总费用为元， ∴， ∵施工天数总和不超过天， ∴， ∴， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， ∴（万元）， ∴乙队施工的天数为：， 答：安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元． 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 【答案】(1) (2)， P的最大值为4418辆/时 (3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 【分析】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式． （1）用待定系数法即可求解； （2）由题知：当时，；当时，，进而求解； （3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：由图象知，当时，， 当时，设该段一次函数表达式是， 把两点坐标，，分别代入， 得， 解得， 关于的一次函数表达式是， 即； （2）解：由题知：当时，． 当时，， 当时，车流量有最大值4418辆时． ， 当时，车流量有最大值4418辆时； （3）解：由题意得：，解得， 而， 当时，，当时，， 即， 即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 【典型例题八 一次函数与几何综合】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先求出，，根据一次函数的图象不经过第四象限，得出，，结合，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ，， ， 函数值随的值增大而增大， 函数图象不经过第四象限， ， ，， ， ， ， 解得（负值已舍去）， 的值为4． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，从而得到，然后根据的面积为3，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴，交直线于点， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵的面积为3， ∴，即， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·期中）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上的点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，折叠的性质，先求出，两点的坐标，进而利用勾股定理求出的长，根据折叠，得到，进而求出的长度，即可得解． 【详解】解：在，当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处， ， ， ． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与轴交点，以及一次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据题意求出，再结合与，交于点，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， ， 与，交于点， 的面积是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）由两点的坐标可知，，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：在直线中，当时，；当时，， ∴，． （2）解：由两点的坐标可知，， ∴． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点，的坐标分别为，． 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点，直线与轴相交于点． (1)求和的值； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)若点在平面内，当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (4)若动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)； (3)或或 (4)，12， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； （3）根据题意分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用平行四边形的性质求解即可； （4）分三种情况：当时，当时，当时，结合图形，利用等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； （3）根据题意得：，，， 设， ∵以四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：或或 （4）为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 【典型例题九 一次函数应用之动点问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象．求出的长，然后分三种情况讨论：①点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在上运动时，根据式整理得到y与x的关系式；③点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 当点P在上运动，即时，， ， ∴； 当点P在上运动，即时， ，， ∴ ， ∴； 当点P在上运动，即时，， ， ∴， ∴； 综上所述， 的面积与点经过的路径长之间的函数关系式为， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴选项D的图象符合题意． 故选：D． 【例3】（2025·河南许昌·模拟预测）如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 【例3】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图1．在四边形中，，动点P从点B出发，沿的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x的函数图像2所示，那么四边形的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分阶段分别进行讨论，可得的值，再由梯形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，当P在上时， ， 此时y随x的增大而增大， 结合图2得：当时，点P与点C重合， ∴； 当P在上时，， 此时y保持不变， 结合图2得：当时，点P与点D重合， ∴； ∴四边形的面积为． 故答案为：18 【点睛】此题主要考查矩形的动点问题，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 1．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，的面积为y，求y与x之间的函数关系． 【答案】时，，当时， 【分析】根据题意，当点P在直线上运动时，的面积是一个定值；当点P在直线上运动时，的面积随着路程的增加，面积减小，由此即可求出答案． 【详解】解：由题意当时，即， 当时，,即． 故y与x之间的函数关系是． 【点睛】本题主要考查函数表达式的确定，根据动点的改变三角形面积随之变化，从而得出函数表达式，理解图形表达的意思，根据动点运动的规律找出三角形面积的变化规律是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上一个动点，在点A运动的过程中，试写出的面积S与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点A运动到什么位置时，的面积是1． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数解析式得出，根据三角形面积公式得出； （3）根据的面积是1，得出，求出x的值，再求出点A的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点B在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）知，， ∴直线的表达式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴， 即． （3）解：由（2）知，， ∵的面积是1， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法则求出一次函数解析式． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 【答案】(1)，，，； (2)或 (3) (4)当或时， 【分析】此题考查从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识分类讨论是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出 ，由图2可求出 ，由三角形的面积公式可求出 ，由的长度与点 运动的速度以及到达 时停留1s以原速度继续运动即可求出 ； （2）由面积关系先求出，得出 ，再由点的速度即可得出结果； （3）根据时间分情况讨论即可求出函数解析式； （4）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得：，， ， ， ， ， ， 当在上时， （s） 当在延长线时， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， （s） 综上所述，当s或s时， ， 故答案为：或； （3）由题意可知，， ∴， 当时， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴ （4）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时， 4．（24-25八年级上·重庆梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入求出的值，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； （3）解：如图，连接，过点Q作轴于点H， 设点P的坐标为， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此时，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【典型例题十 一次函数应用之最值问题】 【例1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能＋”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450厘米的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（秒），聪聪和慧慧行走的路程分别为（厘米）、（厘米），、与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③ ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140厘米 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题的关键． ①根据图象直接判断即可；②根据“速度路程时间”求出慧慧提速前的速度，从而求出提速后的速度；③根据“速度时间路程”求出的值，根据“速度路程时间”求出聪聪的速度，再根据“时间路程速度”求出的值即可；④当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，根据“路程速度时间”求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0，比较这两个最大值并选择较大的一个即可． 【详解】解：由图象可知，慧慧比聪聪晚出发15秒， ①正确； 慧慧提速前的速度为(厘米/秒)，则提速后的速度为(厘米/秒)， ②正确； 根据“速度时间路程”，得，解得， 根据“速度路程时间”，得聪聪的速度为(厘米/秒)， 根据“时间路程速度”，得聪聪到达客人的时间为秒， ， ③正确； 由图象可知，当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐增大，当时两者距离达到最大，最大值为厘米， 当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，最大值为厘米， 当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0， ， 聪聪和慧慧之间距离的最大值为厘米， ④不正确． 故正确的是①②③， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个．在某体育用品店，每个篮球元，每个足球元，在该校购买期间，足球打八折促销．设该校要购买个篮球，购买篮球和足球的总花费为w元． （1）w与m之间的函数解析式为 ； （2）若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则学校购买 个篮球时总花费最少，w的最小值为 元． 【答案】 【分析】（1）根据篮球和足球的单价、购买的数量，即可得到购买篮球和足球的总花费w； （2）根据该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，列不等式，求出m的取值范围，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意可得， 即w与m之间的函数解析式为， 故答案为：； （2）由题意得， 解得， 对于来说， ∵， ∴随着m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时， 即学校购买个篮球时总花费最少，w的最小值为元． 故答案为：， 【点睛】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一次函数和一元一次不等式是解题的关键． 【例3】（2025·北京西城·模拟预测）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是 ； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为 元（用含a的式子表示）． 【答案】 8 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据工作总量计算即可； （2）列代数式，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：景点D：第1-2天，使用5人， 景点C：第1-5天，使用2人， 景点B：第3-6天，使用3人， 景点A：第6-8天，使用4人， 每天的人数安排如下： 第1-2天，D（5人）+C（2人）=7人， 第3-5天，B（3人）+C（2人）=5人， 第6天，B（3人）+A（4人）=7人， 第7-8天，A（4人）=4人， 所有景点在第8天完成，因此 的最小值为8天， 故答案为：8 （2）为了找到支付给工人的工资总额的最小值，需要安排四个景点的修复工作，使得在n天内完成，并且每天所需的工人数m尽可能小，从而使得最小． 每个景点的修复需求如下： 景点A：4人，3天 景点B：3人，4天 景点C：2人，5天 景点D：5人，2天 通过分析，我们可以找到一种最优的安排方式： 景点D在第1-2天进行，需要5人； 景点B在第1-4天进行，需要3人； 景点C在第1-5天进行，需要2人； 景点A在第3-5天进行，需要4人． 这样安排后，每天的工人需求如下： 第1-2天：5（D） + 3（B） + 2（C） = 10人； 第3-4天：3（B） + 4（A） + 2（C） = 9人； 第5天：4（A） + 2（C） = 6人． 总天数n=5天，最大工人数m=10人．因此，工资总额为元． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）对于每个x ,函数y是函数y1=2x , y2=x+3 , y3=-x+3中的最大值，则函数y的最小值为（　　） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】分别联立y1、y2，y2、y3，y1、y3，结合一次函数的图象，求出函数交点的坐标，则可以分别求出x在哪个范围内，y是最大的，则可以求出y的最小值. 【详解】解答：联立y1 , y2可得， ，则y1 , y2的交点为(3,6)， 同理可得，y2、y3，y1、y3的交点分别为(0,3)，(1,2)， 在坐标系中画出函数图像，可知 即y的最小值=3 故选B. 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，根据此交点坐标求解是解题关键. 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若直线与存在交点，则这两条直线就叫做“关联直线”，称点为“关联点”，二次函数为“关联函数”． (1)求与它的“关联直线”的“关联点”的坐标，并写出其“关联函数”的解析式； (2)已知经过点的直线，它与其“关联直线”的“关联点”为．若，，满足条件，求的取值范围； (3)若直线的“关联函数”与轴两个交点的距离为，当时，其“关联函数”的最小值为，求其“关联函数”的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合、新定义，熟练掌握二次函数的图象及性质、理解定义是解题的关键． 根据题目给出的关联直线，关联点，关联函数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得 的“关联直线”的解析式为， ∴， 解得， ∴它的“关联直线”的“关联点”的坐标为， ∴其“关联函数”的解析式为； （2）解：根据题意得的“关联直线”的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴，解得． （3）解：根据题意得的“关联直线”的解析式为， ∴， 解得 ∴， ∴直线， ∵直线的“关联函数”解析式为 ， ∵“关联函数”与x轴两个交点的距离为， ∴， 解得，， 当时，的对称轴为， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（舍去），此时， ∴“关联函数”的解析式为：， 当时，的对称轴为， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（不合题意，都舍去）， 综上所述，直线的“关联函数”的解析式为． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值； (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，利润的最大值为31500元 (3)在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14000元的利润，护眼贴的销售单价为60元/盒 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数解决利润问题，求二次函数的函数值，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意确定自变量的取值范围，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用二次函数的函数值，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将表格中数据分别代入中， 得， 解得， ∴， ∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的， ∴，即， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴利润的最大值为31500元； （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 由(2)可知，， ∴， 将代入中， 解得或， ∵， ∴， 答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为60元/盒． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）某种农机A城有30台，B城有40台．某运输公司现要将这些农机全部运往C，D两乡．已知C乡需要34台，D乡需要36台；从A，B两城运往C，D两乡的运费如表： 两乡 两城 C（元/台） D（元/台） A 250 200 B 150 240 设A城运往C乡x台农机，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别写出与x之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (2)求将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多多少元？ (3)该运输公司现要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元，怎样调运，使运送全部农机的总费用的和最少？并求出最小值． 【答案】(1)； (2)1740元 (3)从A城调性C城18台，调往D城12台，从B城调往C城16台，调往D城24台，总费用的和最少，为15060元． 【分析】本题考查了列函数解析式，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D多的农机为台，B城运往C乡的农机为台，B城运住D乡的农机为台，从而可得，与x之间的函数关系式； （2）由（1）知，与x之间的函数关系式，根据列出关系式，利用一次函数的性质即可解答； （3）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为w元，可得w的表达式，再结合从B城运往两乡的总运费不低于8160元求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质得到当时，w最小． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，， ∴将农机从B城运往两乡的总运费最多比从A城运往两乡的总运费多1740元； （3）解：设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为w元， 则， ∵要求从B城运往两乡的总运费不低于8160元， 则， 解得：， ∵， ∴当时，w最小，最小值为：元 ∴从A城调性C城18台，调往D城12台，从B城调往C城16台，调往D城24台， 总费用的和最少，为15060元． 1．（2025·吉林·模拟预测）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式．根据地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴山上距离地面竖直高度千米处的温度为，． 故选：C． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 3．（2025·山西·模拟预测）一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（   ） … 0 50 100 … … 45 41 37 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的简单应用． 根据题意所述，设函数解析式为，将、代入即可得出函数关系式，进而将代入关系式，即可求解． 【详解】解：设函数解析式为，将、代入，得 解得 ∴函数解析式为， 当时， 解得． 故选C． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式，设边的长为米，边的长为米，则，从而求出与之间的函数关系式，根据三边总长应恰好为米，列出等式是解题的关键． 【详解】解：设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角三角形与等腰直角三角形均位于第一象限内，它们的直角边平行于x轴或y轴，其中点A、在直线上，点C、在直线上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，，若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质及坐标与图形，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据已知条件可求得点B和点C的坐标，分别确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形，，A的坐标为，轴，轴， ∴， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵，轴，轴，， ∴设，则， 点分别在直线和上， ∴，， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 6．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的应用．理解题意，根据题意直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖北·期末）某地出租车行驶里程与所需费用（元）的关系如图．若某乘客一次乘坐出租车里程，则该乘客需支付车费 元． 【答案】19 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据题意，运用待定系数法得到解析式，再把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意设里程与所需费用（元）的关系为， ∴把代入得，， 解得，， ∴里程与所需费用（元）的关系为， ∴当时，， 故答案为：19 ． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标解答． 【详解】解：由图知：直线与轴交于点， 即当时，； 因此关于的方程的解为：． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，为边上一点，且，为边的中点，分别连接，，交点为，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出直线的解析式，得到F的坐标．以C为原点为x轴，为y轴建立直角坐标系，过F作于M，由勾股定理得到，求出，由线段中点定义求出，得到，用待定系数法求出直线的解析式是，直线的解析式是，从而求出F的坐标是，得到，，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：以C为原点为x轴，为y轴建立直角坐标系， 过F作于M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∴ 设直线的解析式是把的坐标代入得： ， ∴， ∴直线的解析式是①， 设直线的解析式是，把的坐标代入； ， ∴， ∴直线的解析式是直线的解析式是②， 由①②解得：， ∴F的坐标是， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】根据图像可知，一次函数的图像过点，即当时，，由此得出关于的方程的解． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像经过点， 关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用一次函数图像解一元一次方程，利用数形结合是解题的关键． 11．（24-25八年级上·四川成都·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【答案】(1)解析式为；解析式为 (2)小时或小时后，甲乙两人相距 【分析】本题考查的是一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 【答案】(1)， (2)1.5kg 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接列出函数关系式； （2）由题意可得，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 关于的函数表达式为， 关于的函数表达式为． （2）解：根据题意得：， 解得， 答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg． 13．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当购进A类图书60本，B类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意列出函数解析式是关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）根据题意先确定自变量的取值范围，再根据一次函数性质确定最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得 500， ； （2）解：由题意得 ， ，， ， ， 随的增大而减小， 当时，的值最大，为， 此时． 答：当购进类图书60本，类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 【答案】（1） ；（2）；；；（3） 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程，一次函数与不等式，熟练掌握图象法求方程的解，求不等式的解集，是解题的关键． （1）图象法求不等式的解集即可； （2）数形结合，确定两条直线的交点坐标，进而求出方程的解，不等式的解集即可； （3）先求出两点的坐标，再根据图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由图象可知，的解集是； 故答案为：； （2）由图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴方程的解是； 不等式的解是； 故答案为：；；； （3）对于，当时，， ∴点的横坐标为4， 令，解得：， ∴点的横坐标为2， 由图象可知：当时，两个函数的函数值呈现， 当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$