第11讲 函数（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第11讲 函数（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 函数的概念 典型例题二 函数解析式 典型例题三 函数图象识别 典型例题四 求自变量的取值范围 典型例题五 求自变量的值或函数值 典型例题六 函数的三种表示方法 典型例题七 从函数的图象获取信息 典型例题八 动点问题的函数图象 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（   ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，若变量A随着变量B的变化而变化，那么B就叫做自变量，A就叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：∵付款金额是随着矿泉水的数量的变化而变化的， ∴自变量是数量， 故选；B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，并且对于变量x的每一个值，y都有 的值与它对应，那么我们称y是x的 ，其中x是 ． 【答案】 唯一 函数 自变量 【解析】略 知识点02 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在函数中，当自变量时，函数值等于（    ） A．1 B．4 C．7 D．13 【答案】C 【分析】把x=5代入求解即可． 【详解】解：把x=5代入得 y=2×5-3=7， 故选：C． 【点睛】本题考查求函数值，属基础题目，难度不大． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查自变量和函数值；把时代入中计算即可． 【详解】解：把代入中得： ， 故答案为：． 知识点03 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）函数自变量x的取值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】依据二次根式中的被开方数为非负数，即可得到结论． 【详解】解：中，1-x≥0， ∴x≤1， ∴x可以取1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 【即时训练】 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的自变量取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可进行求解．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 知识点04 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）当时，函数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，把代入函数式计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， 故选：． 【即时训练】 2．（2025·湖北随州·模拟预测）冷冻一个的物体，使它每分钟下降，物体的温度T（单位：）随冷冻时间t（单位：）的函数关系式是，当时， ． 【答案】5 【分析】本题考查了求自变量的值，理解函数关系式是解题的关键．代入到函数关系式，即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：5． 【典型例题一 函数的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了自变量的定义，在函数关系中，自变量是主动变化的量，因变量随自变量的变化而变化． 【详解】解：根据题意，找回的钱与购买的数量满足关系式． 其中，购买数量是自主选择的量，它的变化直接导致的变化，因此自变量为． 故选：C． 【例2】（（24-25八年级上·河南南阳·期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【答案】A 【分析】本题考查变量和常量，根据一个变化过程中，变化的量为变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，油的单价固定不变为常量，金额随着数量的增大而增大， 故单价是常量，数量为自变量，金额为因变量； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）向平静的水面投入一枚石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从 cm2变成 cm2．这一变化过程中 是自变量， 是关于自变量的函数． 【答案】 9π 36π 半径 面积 【分析】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解． 【详解】解：当r=3时，圆的面积为9π； 当r=6时，圆的面积为36π； 这一变化过程中半径是自变量，面积是半径的函数． 故答案是：9π，36π，半径，面积． 【点睛】考查了函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）；变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量．常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的． 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ． 在一个变化过程中，数值始终不变的量为 ． 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生 和始终不变． 【答案】 变量 常量 变化 【解析】略 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解本题的关键．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数．根据函数的定义判断即可． 【详解】根据函数的定义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之对应，选项A，B，D均满足函数的定义，不符合题意； 选项C中，存在对于的某个确定的x值，y可能出现两个值与其对应，所以选项C中的曲线，y与x不是函数关系，符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论. 【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用， 油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v， 对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确； 对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误； 对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误； 对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确． 故①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数，（2）见详解，答案不唯一 （3）①，x可为任意实数；；； ②；；． 【分析】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 【详解】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）姐姐帮小明荡秋千（如图1），秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图2所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为变量t的函数？并说明理由； (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期，直接写出秋千摆第二个周期需多少时间？ 【答案】(1)变量h是关于t的函数，理由见解析 (2)①，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②2.6s 【分析】（1）根据函数的定义进行判断即可； （2）根据函数图象即可求解； 【详解】（1）解：变量h是关于t的函数． ∵由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数； （2）①由函数图象可知，当时，， 它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m； ②由图象可知，2.8s-5.4s为一个周期， ∴秋千摆第二个周期需多少时间5.4-2.8=2.6s． 【点睛】本题主要考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 【典型例题二 函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列函数解析式，根据总加载量由已加载的和继续加载的增量组成，根据加载速率建立函数关系式即可． 【详解】解：设继续加载时长为，总加载量为， ∵加载速率为，已加载了 ∴． 故选：D． 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图，求函数关系式．根据题意列出函数关系式即可. 【详解】解：输入后第一步取的相反数得到，在此基础上“”得到，在此基础上“”得到，因此输出的应为． 即所得与之间的函数关系式为 故选：B． 【例3】（2025·江苏常州·模拟预测）为了抗击甲流，遏止疫情传播，小明决定购买某种单价为0.5元的口罩，购买x个这种口罩的总价为y元，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查根据实际问题列一次函数关系式，正确读懂题意是解题关键．根据“总价单价数量”得出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意，可得y与x之间的关系式为． 故答案为：． 【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的运用．根据图示，运用代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示，那么y关于x的函数解析式可能是（   ） x 0 2 y 3 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数关系式，根据函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．表格中的三组的对应值均满足，因此选项A符合题意； B．表格中，满足，但，与，不满足，因此选项B不符合题意； C．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项C不符合题意； D．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为 ． 时间 两车相距 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．根据表格可得时，，时间每增加，两车的相距对应减少，由此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 【答案】(1) (2)第100个图案是由301个成的 【分析】本题考查了整式——图形类规律探究，解题的关键是读懂题意，找出图案间的规律，并列出代数式． 【详解】（1） 解：根据题意：第1个图案由4个组成， 第2个图案由7个组成，； 第3个图案由10个组成，； 设第n个图案由y个组成， 则； （2）当时，， 故第100个图案是由301个组成的． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)减小，减小了 【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据阴影部分的面积随着小正方形的边长的变化而变化，进行作答即可； （2）用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出阴影部分的面积，列出函数关系式即可； （3）求出和的函数值，进行减法计算即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形的边长是自变量， 阴影部分的面积为自变量的函数； （2）由题意可得：； （3）由（2）知：， 当时，． 当时，． ， ∴当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积减小，减小了． 【典型例题三 函数图象识别】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列图像中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意； B．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意； C．该图像中，对于的每一个确定的值，不一定有都有唯一的值与其对应，那么不是的函数，故此选项符合题意； D．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，根据液面面积的变化得到水上升高度的变化解答即可． 【详解】解：开始水面面积变大，上升速度逐渐变慢；后来水面面积变小，上升速度逐渐变快；然后到达瓶颈位置面积不变，直线上升， 故符合B图象， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 【例4】（24-25八年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 【答案】6 【分析】观察函数图象可得，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，运动距离为a时函数面积为1，知，求出a的值，再运动4个单位长度，面积保持不变，由此求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，图2至图4重叠部分面积不变，都是的值，由题中的函数图象知，．当恰为1时（如图2）． 设，则， ∴a＝2， 使保持1时， 即下图中图2—图4的情形，即图2中的长为4． ∴BC的长为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了运动问题，函数图象，会看函数图象，根据图形运动结合函数图象得到相关信息由此解决问题是解题的关键． 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）已知第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4．设的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4，从而可以得到关于的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：∵第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4， ∴，， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利用数形结合的思想解答． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 【答案】(1)关于的函数解析式为，的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据割补法即可表示三角形的面积； （2）根据（1）中所得函数即可画出图象． 【详解】（1）点、在第一象限，且，． ，， 所以． ，，设的面积为 答：关于的函数解析式为，的取值范围为． （2）．． ． 如图：即为函数的图象． 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确求出函数解析式． 【典型例题四 求自变量的取值范围】 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出 函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．观察图象和数据即可求出答案． 【详解】解：时，即x轴下方的部分， ∴自变量x的取值范围分两个部分是或． 故选：B． 【例2】（2025·湖北黄石·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】A 【分析】根据分母不等零，列出不等式，即可求解． 【详解】解：函数的自变量的取值范围是：， 故选A． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键． 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为： 【例4】（2025·江苏苏州·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】全体实数 【分析】根据整式函数的自变量不受限制即可求解 【详解】解：∵函数是整式函数，自变量不受限制， ∴自变量x的取值范围是全体实数． 故答案为全体实数． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握整式函数不受限制，分式函数要求分母不为0，根式函数要求被开方式有意义，零指数函数要求底数不为0是解题关键． 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 ． 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 【详解】解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且上）的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数的图象上，求点的坐标； （3）    当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）运用待定系数即可求得函数的表达式； （2）将代入函数解析式求得a的值，即可确定点P的坐标； （3）根据y的取值范围，可得x的不等式，进而确定x的取值范围． 【详解】解：（1）一次函数过（2，1）和（-1,7）， ∴，解得：， ∴； （2）由（1）可知：， 将代入，得：，解得， 即， ∴； （3）∵， 当时， 则，解得：， ∴x的取值范围：． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b成为解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据矩形的面积公式可得与的函数关系式，再根据边的长度为正数列出不等式组可得的取值范围； （）把函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确求出与的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：， ∵，， ∴当时，面积最大，最大值为． 【典型例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的值．将已知的代入函数中，直接计算对应的y值即可． 【详解】解：当时，函数的值为：， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（   ） A．下午13时小亮离家最远 B．8时至10时，与之间的函数表达式为 C．返程时小亮的骑行速度为 D．小亮骑行过程中一共休息了3小时 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，求函数值等知识，从图象中得到相关信息是解题的关键；根据图象对每个选项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，下午14时小亮离家最远，故选项A错误； B、对于，当时，，这与小亮上午8时从家出发不符合，故函数表达式错误，即选项B错误； C、返程时小亮的骑行速度为，故选项C正确； D、由图象知，小亮分别在上午10时到11时，下午12时到13时休息了，小亮骑行过程中一共休息了2小时，故选项D错误； 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数值的求解方法是解题关键．将代入函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，同一温度的华氏温度与摄氏温度之间的关系式是，如果某一温度的摄氏温度是，那么它的华氏温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了自变量与因变量关系式的应用，熟知两个变量之间是对应的是解题的关键． 将代入计算即可得到答案． 【详解】解：将代入得， 故答案为：． 1．（2025·四川内江·模拟预测）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数求值和二次根式性质与化简，直接把代入，然后根据二次根式性质化简即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温（）随距离地面高度（）变化而变化的情况： 距离地面高度（） 0 1 2 3 4 … 气温（） 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式； (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【答案】(1) (2)距离地面的高度气温是 (3)山顶与地面的高度为 【分析】本题主要考查了函数关系式及函数值，解题的关键是根据表中的数据写出函数关系式． （1）根据表中的数据写出函数关系式； （2）把相关数据代入函数关系式求解即可； （3）把相关数据代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，距离地面高度增加km，气温下降， 与之间的关系式为； （2）解：当时，， 答：距离地面的高度气温是； （3）解：当时，， 解得， 答：山顶与地面的高度为． 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面一组对应值： 悬挂物体的质量x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度L（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L． (2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ 【答案】(1)L=0.5x+12 ； (2)弹簧的长度是17厘米； (3)所挂物体质量是12千克． 【分析】（1）观察表格即可得规律∶弹簧称所挂重物质量x每增加1千克，弹簧长度L就增加0.5厘米，从而可得出挂质量为x千克与弹簧的长度L之间的关系； （2）将x=10代入解析式，求出L的值，即可求得答案； （3）将L= 18代入求出即可． 【详解】（1）解∶由表格可知，弹簧的长度L的初始值为12厘米，当弹簧称所挂重物质量x每增加1千克，弹簧长度L就增加0.5厘米， ∴L=0.5x+12 ； （2）解：当x=10时，L=0.5x+12=17=0.5×10+12=17（厘米）， 答∶当所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17厘米； （3）解：当L= 18厘米时，则18=0.5x+ 12， 解得∶x=12（千克）， 答∶所挂物体质量是12千克． 【点睛】此题考查了用关系式表示变量间的关系以及求变量的值，解题的关键是根据题意找出因变量随自变量变化的规律． 【典型例题六 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 30 33 36 39 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时y的值为（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】B 【分析】找出排数x与座位数y之间的变量关系，然后代入即可求得y的值． 【详解】解：当x＝1时，y＝30， 当x＝2时，y＝30＋3， 当x＝3时，y＝30＋3×2， 当x＝4时，y＝30＋3×3， ∴当x＝8时，y＝30＋3×7＝51， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键． 【例2】（24-25八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 【答案】A 【分析】根据函数的相关知识结合所给表格逐一进行分析判断即可得答案 【详解】解：A．由题意可知，水池剩余水量是因变量，放水的时间是自变量，原说法错误，故本选项符合题意； B．由题意可知，每分钟放水2，原说法正确，故本选项不符合题意； C．根据题意可得蓄水量y＝30﹣2t，所以放水8分钟后，水池剩余水量为： 30﹣2×8＝14（），原说法正确，故本选项不符合题意； D．放水钟，水池里的水为：30﹣2×15＝0（），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的自变量和应变量的定义及函数关系式，求出剩余水量和放水时间之间的关系是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·全国·课前预习）用解析式法表示函数时需要注意什么？ （1）函数解析式是一个 ； （2）是用含 的式子表示函数； （3）要确定自变量的 ． 【答案】 等式 自变量 取值范围 【解析】略 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，氮肥施用量与土豆的产量有如表所示的关系： 氮肥施用量/千克 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/吨 15.18 21.36 25.72 32.29 34.05 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 下列说法错误的是（　　） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷 C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．氮肥施用量404千克/公顷比氮肥施用量336千克/公顷时的土豆的产量更高 【答案】D 【分析】根据图表数据可得，土豆产量随氮肥施用量的变化而变化，并且氮肥施用量在小于或等于336千克/公顷时，土豆的产量是逐渐增加的，而氮肥施用量在大于或等于404千克/公顷时，土豆的产量是逐渐减少的，据此解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意； B、当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷，原说法正确，故选项不符合题意； C、如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷，原说法正确，故选项不符合题意； D、氮肥施用量404千克/公顷比氮肥施用量336千克/公顷时的土豆的产量更低，原说法错误，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）定义：用 来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 【答案】表格 【解析】略 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式改写成的形式 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查函数关系式； （1）移项计算即可； （2）同除，再移项即可； （3）先写成乘积式，再同除，最后移项即可； （4）先写成乘积式，合并同类项后计算即可． 【详解】（1）， ∴； （2）， ∴， ∴； （3） ∴， ∴； （4） ∴ ∴． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数x（人）与每天的利润（利润=票款收入-支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题． (1)观察表中数据可知，该公交车的票价为______元/人：当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损． (2)请写出公交车每天的利润y（元）与每天乘车人数x（人）之间的解析式______． (3)当一天的乘客人数为多少人时，公交车这天的利润是800元？ 【答案】(1)2，300 (2) (3)700 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）观察表中数据可得答案； （2）用待定系数法可得； （3）在中，令可解得当一天的乘客人数为700人时，公交车这天的利润是800元． 【详解】（1）解：根据题意，该公交车的票价为（元/人），当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损． 故答案为：2，300； （2）解：根据题意，y是x的一次函数，设 把代入得：， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，令得：， 解得， ∴当一天的乘客人数为700人时，公交车这天的利润是800元． 【典型例题七 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，则此函数在的最大值是（   ） A．3 B．2 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数的最大值即在取值范围内的最高点对应的函数值，由函数图象和题目中的条件，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象可得，点是函数的图象的最高点， ∴故当时，函数在有最大值，最大值为， 故选：D． 【例2】（2025·河南安阳·模拟预测）物理实验课上，同学们利用如图甲所示的装置探究某种晶体熔化时温度变化的规律，他们将实验数据记录后，绘制了如图乙所示的图象，则下列说法正确的是（   ） A．实验开始时，晶体的温度为 B．加热后，晶体开始熔化 C．晶体熔化过程持续了 D．该晶体的熔点是 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据函数图象的信息，且结合选项具体问题进行分析，即可作答． 【详解】解：由图乙可知，实验开始时，晶体的温度为，故选项A不符合题意： 加热后，该晶体开始熔化，故选项B不符合题意； 晶体熔化过程持续了：，故选项C符合题意： 温度到后晶体开始熔化，故熔点是，故选项D不符合题意． 故选C． 【例3】（24-25八年级上·广东珠海·期中）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法：①甲，乙两人同时出发；②乙在这次赛跑中的平均速度为8米/秒；③甲比乙晚到0.5秒；中，正确的是 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】利用图象可得出，甲乙的时间、速度，以及所行路程的关系，利用图中数据逐个分析即可． 【详解】①结合图象可知，两人同时出发，故①正确； ②乙的速度为（米/秒），故②错误； ③12.5-12=0.5（秒），所以乙比甲晚到0.5秒，故③正确； 综上分析可知，①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是根据图象分析出所需的条件． 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 ． 【答案】100 【分析】根据函数图象可得，小辉家到图书馆的距离为1500m，回家时用了15分钟，再根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可求解． 【详解】解：由函数图象得：小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70−55）＝100（m/min）， 故答案为：100． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息的能力，正确理解每段函数图象的意义是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（    ） A．越靠近台风中心位置，风速越大 B．距台风中心处，风速达到最大值 C．10级风圈半径约为 D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象所反映的风速与台风半径的关系． 根据函数图象，分析每个选项中风速与台风半径的关系是否正确即可． 【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项说法错误，不符合题意； B、距台风中心处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意； C、10级风圈半径不是，选项说法错误，不符合题意； D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）在重庆一中举办的趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个：参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，需要返回，将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点处出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1m/s．小明和小亮之间的距离y（米）和出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回． 【答案】5 【分析】利用一次函数的图象性质及路程、时间、速度之间的关系即可解答本题． 【详解】解：由题意得：小明捡球后小明和小亮之间的距离为4米，小亮中间没有停止也没有返回， ∴小亮的速度为（10×2+4）÷6＝4（米/秒）， 小明到达终点时，小亮距终点6米，即小亮已跑了10×5﹣6＝44（米），所用时间为44÷4＝11（秒）， 则小明从捡到球到到达终点所用时间为11﹣6＝5（秒）， ∴小明提速后的速度为（50﹣10×2）÷5＝6（米/秒）， ∴小明提速前6﹣1＝5的速度为6﹣1＝5（米/秒）， ∴小明在掉出乒乓球后到开始返回又继续跑了（5×6﹣2×10）÷2＝5（米）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一次一次函数的应用，路程、时间、速度之间的关系等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）李老师周日早晨从家骑车到公园去锻炼，先上坡后下坡，所行路程与时间的关系如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍与去时上坡、下坡的速度分别相同，求李老师从公园骑车回家用的时间． 【答案】李老师从公园骑车回家用的时间是分钟． 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，解题时需要注意上坡返回时变为下坡、下坡返回时变为上坡．根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度，又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间． 【详解】由图可得，去公园时，上坡路的距离为米，所用时间为分， 上坡速度米分， 下坡路的距离是米，所用时间为分， 下坡速度 米分； 上坡返回时变为下坡、下坡返回时变为上坡， 李老师从公园骑车回家用的时间是：分钟． 答：李老师从公园骑车回家用的时间是分钟． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 【答案】(1)8小时 (2)（b）、（d） 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像中获得信息，树形结合熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题意先分别求出二分队行至塌方处需时间，一分队到塌方处并打通道路需要的时间，从而得出二分队在塌方处需要停留小时，再列式求出结果即可； （2）先分别求出一分队到达A镇的时间，再根据a的取值，求出一分队与二分队同时到达A镇时的值，最后根据函数图像进行讨论即可． 【详解】（1）解：若二分队在营地不休息，则，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）， ∵一分队到塌方处并打通道路需要（小时）， ∴二分队在塌方处需要停留小时， ∴二分队在营地不休息赶到镇需（小时）． （2）解：一分队赶到镇共需（小时）， 当时，二分队速度为5千米/时，行至塌方处需（小时），此时一分队正好打通道路，即二分队在塌方处追赶上一分队，然后与一分队一起赶到镇； 当时，二分队速度为6千米/时，行至塌方处需（小时）， ， ∴此时二分队在塌方处不需停留， 此时二分队到达A镇需要的时间为：（小时）， ∵， ∴此时与一分队一起到达A镇， 当时，二分队速度为7千米/时，行至塌方处需小时， ∵， ∴比一分队晚到达A镇， ∴当时，二分队在塌方处需停留，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇； （a）此图中一分队没有停留，故（a）不合理； （b）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇，故（b）合理； （c）此图中二分队到达塌方处，一分队没有打通，但二分队没有停留，不合理，故（c）不合理； （d）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，故（d）合理； 综上分析可知，合理的是（b）、（d）． 【典型例题八 动点问题的函数图象】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）某游客要爬上3千米高的山顶看日出，他先用1小时爬了2千米，休息半小时后，再用1小时爬上山顶，那么游客爬上的高度h（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意描述，该函数图像分为3段，第一段1小时爬了2千米，则第一个拐点是坐标，第二段休息半小时，则第二个拐点是，第三段是1小时爬到山顶，则终点是，据此分析即可求解 【详解】分析题意可知第一段1小时爬了2千米，则第一个拐点是坐标，第二段休息半小时，则第二个拐点是，第三段是1小时爬到山顶，则最终点为， 观察图象可知，只有D选项符合题意， 故选D 【点睛】本题考查了变量与函数图像，理解题意，数形结合是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的面积是（    ）    A．35 B．24 C．60 D．84 【答案】A 【分析】由函数图像可知，，即可获得答案． 【详解】解：由题意可知，，， ∴矩形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数的图像的知识，解题的关键在于从函数图像中获取正确的信息． 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止，右图为P运动的路程x与的面积y之间的关系图像，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4−−9之间得出，△ABP的面积不变， 得出BC＝4，CD＝5， 所以矩形ABCD的面积为：4×5＝20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积． 【例4】（24-25八年级上·河北承德·期末）如图1，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒2个单位长度的速度运动到点A后停止，在此过程中，线段AP的长度y随着运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则AB的长为 ，图2中t的值为 ． 【答案】 / 【分析】连接AE，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，AE=2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC=OD=OB， 由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x， 由图2知AE=2， ∴x2+（2x）2=（2）2， 解得x=2或-2（负值，不合题意舍弃）， ∴OA=OD=4， 由勾股定理得AB=AD=4， ∴OE+OB+AB=2+4+4=6+4， 又∵点P以每秒2个单位长度的速度运动， ∴点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径运动到点A所用时间 t==3+2． 故答案为：4，3+2． 【点睛】本题考查动点问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息． 1．（2025·山东济宁·模拟预测）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是动点图象问题，由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断． 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故②正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故③正确，不符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故④错误，符合题意． 综上，正确的说法是①②③． 故选：A． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC＝ 【答案】6 【分析】当x=0，即P在B点时，BA-BE=1；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-PE≤AE，得y的最大值为AE=5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC=2BE求出BC的长． 【详解】解：由函数图象知：当x=0，即P在B点时，BA-BE=1． 利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-PE≤AE． ∴y的最大值为AE， ∴AE=5． 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2=AE2=25， 设BE的长度为t， 则BA=t+1， ∴（t+1）2+t2=25， 即：t2+t-12=0， ∴（t+4）（t-3）=0， 由于t＞0， ∴t+4＞0， ∴t-3=0， ∴t=3． ∴BC=2BE=2t=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)4；6；2； (3)3 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）直接从图象获取信息作答即可； （2）结合图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合，进行作答即可； （3）利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点运动到点时，的值为6； 故答案为：6； （2）由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，，； ∵， ∴当时，； 故所填答案为：4；6；2； （3）的值为3，理由如下： 当时，此时点在上，如图： 由题意，可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴， 解得：； ∴的值为3． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图1，电脑屏幕显示了甲、乙、丙在一条直线上，点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙，点B从乙出发，沿直线匀速到甲，且A点每秒比B点少运动20个单位长度；图2表示A、B两点到乙的距离（单位长度）y与A点的运动时间的函数关系． (1)图2括号中应填的数为_____________，甲、丙两点的距离是____________； (2)求直线的函数关系式； (3)已知A、B两点均在运动，若A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，求t的值． 【答案】(1)10，600 (2) (3)t=7 【分析】（1） 利用图中信息求出甲、乙的速度，从而求得时间，根据题目信息“点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙”，由图象可得甲、乙的距离为480单位长度，根据路程公式：“ 路程=时间×速度”，计算乙和丙的距离，二者求和，即可求得甲、丙两点的距离； （2）根据函数图象，直线MN经过点M (4，0)和点N (10，480)，利用待定系数法，即可求出直线MN的函数关系式； （3）分情况讨论，分别将A、B两点到乙的距离表示出来，即可列式求解． 【详解】（1）解：由题意，甲的速度为 （单位长度/秒)， ∴乙的速度为60+20=80 （单位长度/秒）， ∵（秒）， ∴4+6=10（秒）， ∵60× (10-8) =120 （单位长度）， ∴120+480=600 （单位长度）． 故答案为： 10； 600． （2）解：设线段MN所在直线的解析式为， ∵M（4，0），N（10，480）， ∴ ， 解得， ， ∴线段MN所在直线的解析式为． （3）解：由题意可得，A点的速度是每秒60个单位， A点到乙之前，A点到乙的距离为480－60t，而B点到乙的距离为80t－320， ∴有480－60t+80t－320=300， 解得，t=7 ， 当A点到乙时，B点到乙的距离为320＞300， ∴在A点由乙到丙的过程中，A、B两点到乙的距离和不可能是300， 综上，t=7． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法一次函数的解析式、一次函数与行程问题的综合应用． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）在函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】∵对于函数，x-2≥0， ∴， 故选A 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故C选项符合题意； D、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于（    ） A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．3 【答案】B 【分析】把与代入程序中计算，根据y值相等即可求出a的值． 【详解】解：当时，由程序图可知， 当时，由程序图可知， ∵输出的y值相等， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数值和代数式求值的知识，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则， 点是中点， ， 故①不合题意； 由图象可得：4～7秒，点在上运动，则， 故②符合题意； 第7秒时，点在处，， 故③不符合题意； 由图象可得：当第12秒时，点在处， ， ， ， ， 故④不符合题意， 正确的是②， 故选：D． 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把化成形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用含的代数式表示，函数关系式的变形，先去分母，把看作是自变量，求解因变量即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 7．（24-25八年级上·北京·期中）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查自变量有意义的条件，二次根式有意义的条件根据被开方数为非负数，得出，可求的范围． 【详解】解：依题意， 解得：． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知一次函数，当其函数值大于0时，自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据，随的增大而增大，即可求得的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：当其函数值大于0时，可得， 可得， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 【答案】10 【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中两个变量的变化关系可知， 行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升， 所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升， 故答案为：10． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提． 10．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度和乙的速度可以计算出的值，即可判断A和B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故C错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故A错误，B正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故D错误； 则不正确的有3个， 故选：3． 11．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上的点P从B点运动到C点，设PB=x，梯形APCD的面积为S．写出S与x的函数关系式及自变量x 的取值范围． 【答案】（0＜x＜2） 【分析】根据梯形面积公式即可求出S与x的函数关系式，由点P从B点运动到C点即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵PB=x，正方形边长为2， ∴梯形APCD的面积为， ∴S与x的函数关系式为：； ∵点P从B点运动到C点， ∴0＜x＜2，即自变量x的取值范围是0＜x＜2， ∴（0＜x＜2）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是根据梯形面积公式求出S与x的函数关系式，根据实际情况解题． 12．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，如图．观察图象，解答下列问题： (1)哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数? (2)温度在什么范围内时，豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【答案】(1)自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数 (2)温度在到范围内时，豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息， 对于（1），观察图象的横轴和纵轴可得答案； 对于（2），观察图象由上升趋势可知是呼吸作用逐渐变强，下降趋势是逐渐减弱，解答即可． 【详解】（1）解：自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数； （2）解：由图象知，温度在到范围内时，豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 13．（24-25七年级下·山东济南·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 (1)由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； (2)请直接写出y与x的关系式______； (3)当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 【答案】(1)18 (2)y＝4x+18 (3)所挂物体质量为8kg 【分析】（1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． 【详解】（1）解：（1）根据表格可知，当时，， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． （2）由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． （3）把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是________；边的长度是________； (2)在变化过程中，求长方形面积的最大值； (3)求边向左匀速平移的速度； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式（不考虑t的取值范围）． 【答案】(1)2；3 (2) (3) (4) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程时间速度公式算出向左平移的速度； （4）将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，边向左运动直至与边重合共需 边向左匀速平移的速度是； （4）解：边向左平移时，边 长方形的面积． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程时间速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 函数的概念 典型例题二 函数解析式 典型例题三 函数图象识别 典型例题四 求自变量的取值范围 典型例题五 求自变量的值或函数值 典型例题六 函数的三种表示方法 典型例题七 从函数的图象获取信息 典型例题八 动点问题的函数图象 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（   ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，并且对于变量x的每一个值，y都有 的值与它对应，那么我们称y是x的 ，其中x是 ． 知识点02 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在函数中，当自变量时，函数值等于（    ） A．1 B．4 C．7 D．13 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知，那么 ． 知识点03 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）函数自变量x的取值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即时训练】 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的自变量取值范围是 ． 知识点04 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）当时，函数的值是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·湖北随州·模拟预测）冷冻一个的物体，使它每分钟下降，物体的温度T（单位：）随冷冻时间t（单位：）的函数关系式是，当时， ． 【典型例题一 函数的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【例2】（（24-25八年级上·河南南阳·期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）向平静的水面投入一枚石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从 cm2变成 cm2．这一变化过程中 是自变量， 是关于自变量的函数． 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ． 在一个变化过程中，数值始终不变的量为 ． 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生 和始终不变． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）姐姐帮小明荡秋千（如图1），秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图2所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为变量t的函数？并说明理由； (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期，直接写出秋千摆第二个周期需多少时间？ 【典型例题二 函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏常州·模拟预测）为了抗击甲流，遏止疫情传播，小明决定购买某种单价为0.5元的口罩，购买x个这种口罩的总价为y元，则y与x之间的关系式为 ． 【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示，那么y关于x的函数解析式可能是（   ） x 0 2 y 3 1 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为 ． 时间 两车相距 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 【典型例题三 函数图象识别】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列图像中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【例4】（24-25八年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）已知第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4．设的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    3．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 【典型例题四 求自变量的取值范围】 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（2025·湖北黄石·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【例4】（2025·江苏苏州·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且上）的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数的图象上，求点的坐标； （3）    当时，请直接写出的取值范围． 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 【典型例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【例2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（   ） A．下午13时小亮离家最远 B．8时至10时，与之间的函数表达式为 C．返程时小亮的骑行速度为 D．小亮骑行过程中一共休息了3小时 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）已知，那么 ． 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，同一温度的华氏温度与摄氏温度之间的关系式是，如果某一温度的摄氏温度是，那么它的华氏温度是 ． 1．（2025·四川内江·模拟预测）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如果，那么 ． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温（）随距离地面高度（）变化而变化的情况： 距离地面高度（） 0 1 2 3 4 … 气温（） 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式； (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面一组对应值： 悬挂物体的质量x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度L（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L． (2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ 【典型例题六 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 30 33 36 39 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时y的值为（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【例2】（24-25八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 【例3】（24-25八年级上·全国·课前预习）用解析式法表示函数时需要注意什么？ （1）函数解析式是一个 ； （2）是用含 的式子表示函数； （3）要确定自变量的 ． 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，氮肥施用量与土豆的产量有如表所示的关系： 氮肥施用量/千克 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/吨 15.18 21.36 25.72 32.29 34.05 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 下列说法错误的是（　　） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷 C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．氮肥施用量404千克/公顷比氮肥施用量336千克/公顷时的土豆的产量更高 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）定义：用 来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式改写成的形式 (1)． (2)． (3)． (4)． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数x（人）与每天的利润（利润=票款收入-支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题． (1)观察表中数据可知，该公交车的票价为______元/人：当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损． (2)请写出公交车每天的利润y（元）与每天乘车人数x（人）之间的解析式______． (3)当一天的乘客人数为多少人时，公交车这天的利润是800元？ 【典型例题七 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，则此函数在的最大值是（   ） A．3 B．2 C．6 D．5 【例2】（2025·河南安阳·模拟预测）物理实验课上，同学们利用如图甲所示的装置探究某种晶体熔化时温度变化的规律，他们将实验数据记录后，绘制了如图乙所示的图象，则下列说法正确的是（   ） A．实验开始时，晶体的温度为 B．加热后，晶体开始熔化 C．晶体熔化过程持续了 D．该晶体的熔点是 【例3】（24-25八年级上·广东珠海·期中）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法：①甲，乙两人同时出发；②乙在这次赛跑中的平均速度为8米/秒；③甲比乙晚到0.5秒；中，正确的是 ．（填序号） 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 ． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（    ） A．越靠近台风中心位置，风速越大 B．距台风中心处，风速达到最大值 C．10级风圈半径约为 D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）在重庆一中举办的趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个：参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，需要返回，将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点处出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1m/s．小明和小亮之间的距离y（米）和出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）李老师周日早晨从家骑车到公园去锻炼，先上坡后下坡，所行路程与时间的关系如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍与去时上坡、下坡的速度分别相同，求李老师从公园骑车回家用的时间． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 【典型例题八 动点问题的函数图象】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）某游客要爬上3千米高的山顶看日出，他先用1小时爬了2千米，休息半小时后，再用1小时爬上山顶，那么游客爬上的高度h（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的面积是（    ）    A．35 B．24 C．60 D．84 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止，右图为P运动的路程x与的面积y之间的关系图像，则矩形的面积是 ． 【例4】（24-25八年级上·河北承德·期末）如图1，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒2个单位长度的速度运动到点A后停止，在此过程中，线段AP的长度y随着运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则AB的长为 ，图2中t的值为 ． 1．（2025·山东济宁·模拟预测）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC＝ 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图1，电脑屏幕显示了甲、乙、丙在一条直线上，点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙，点B从乙出发，沿直线匀速到甲，且A点每秒比B点少运动20个单位长度；图2表示A、B两点到乙的距离（单位长度）y与A点的运动时间的函数关系． (1)图2括号中应填的数为_____________，甲、丙两点的距离是____________； (2)求直线的函数关系式； (3)已知A、B两点均在运动，若A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，求t的值． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）在函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于（    ） A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．3 4．（2025·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把化成形式，则 ． 7．（24-25八年级上·北京·期中）函数中，自变量x的取值范围是 ． 8．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知一次函数，当其函数值大于0时，自变量的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 10．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有 个． 11．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上的点P从B点运动到C点，设PB=x，梯形APCD的面积为S．写出S与x的函数关系式及自变量x 的取值范围． 12．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，如图．观察图象，解答下列问题： (1)哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数? (2)温度在什么范围内时，豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 13．（24-25七年级下·山东济南·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 (1)由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； (2)请直接写出y与x的关系式______； (3)当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是________；边的长度是________； (2)在变化过程中，求长方形面积的最大值； (3)求边向左匀速平移的速度； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式（不考虑t的取值范围）． 学科网（北京）股份有限公司 $$