4.2 一次函数和正比例函数的概念 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 学习目标 1.重点:理解一次函数的概念,明确一次函数与正比例函数之间的关系. 2.难点:利用一次函数解决简单的实际问题. 旧知回顾 注意:函数不是数,它是指某一变化过程中,两个变量之间的关系. 一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量. (自主变化的量) 函 数 的 定 义: 旧知回顾 函数的表示方法 列表法 关系式法(表达式法、解析式法) t/min 0 1 2 3 4 5 … h/米 3 13 36 45 36 13 … T=t+273 图像法 (1)随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的变化是"均匀"的吗? x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4 4.5 5.0 5.5 (2)请写出x与y之间的关系式. y=0.5x+3 情境导入 1.在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系如下表: 是均匀的,x每增加1,y随之增加0.5. 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L 2.某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L. (1)请完成下表: (2)请写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式. 0 4 8 12 16 20 做一做 24 y=0.08x (3)请写出油箱剩余油量z(单位:L)与汽车行驶路程x之间的关系式. 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L 0 4 8 12 16 20 24 邮箱剩余油量z/L 40 36 32 28 24 20 做一做 16 z=40-0.08x z=-0.08x+40 在上述问题中,我们得到了三个函数解析式: (1) y = 0.5x + 3 (2) y = 0.08x (3) z = -0.08x + 40 y kx b = + 它们有什么共同特点? 这些函数都是常数k与自变量的积加减常数b的形式. 小结归纳 + 0 概念学习 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数, )的形式,则称y是x的一次函数. 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数. y=kx(k≠0) 正比例函数是一种特殊的一次函数. 一 次 函 数 与 正 比 例 函 数 概念学习 一 次 函 数 的 特 征 : 1.自变量x的指数为1; 2.比例系数k≠0; 3.常数项:通常不为0,但也可以等于0. y=kx+b 小试牛刀 下列哪些是一次函数? 例1写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (2)圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系； (3)某水池有水15m³，现打开水管进水，进水速度为5m³/h，x h后这个水池内有水 y m³. (1)由"路程=速度×时间",得y=60x,y是x的一次函数, 也是x的正比例函数 (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; (2)由圆的面积公式 ,得y=πx²,y不是x的一次函数, 也不是x的正比例函数. (3)这个水池每时增加5m³水,xh增加5xm³水,因而y=15+5x, y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 步骤:①确定公式或等量关系;②代入自变量数据. 例2在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1s,其速度减少35km/h. (1)假设该汽车以120km/h的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度y(单位:km/h)与刹车后的时间t(单位:s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义; 解: (1)由题意得,y=-35t+120, k=-35,表示汽车的速度每秒降低35km, b=120表示汽车刚开始刹车时的速度. 例2在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1s,其速度减少35km/h. (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01s) (2)汽车停止时,y=0,代入y=-35t+120中, ∴汽车从刹车到停止所需的时间为3.43s. 1. 某种大米的单价是7.6元/kg,当购买xkg大米时,需要花费y元.y是x的一次函数吗?是正比例函数吗? 随堂练习 解: ∴y是x的一次函数,也是x的正比例函数. 由题意得,y=7.6x, 总价=单价×质量 2.如图,甲,乙两地相距500km,一列"复兴号"动车组列车从乙地出发,以350km/h的速度向丙地行驶. 甲 乙 丙 v=350km/h 设x(h)表示列车行驶的时间,y(km)表示火车与甲地的距离. (1)写出y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数; (2)当x=0.5时,求y的值. 随堂练习 距离=速度×时间 解: (1)由题意得,y=350x+500, y是x的一次函数 (2)当x=0.5时,y=350×0.5+500=675(km) 习题4.2 1.写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球,其速度每秒增加3m,小球的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系; (2)周长为10cm的长方形,其面积y(cm2)与该长方形的其中一边长x(cm)之间的关系. y=3x; 是一次函数,也是正比例函数. ∵C长方形=2(长+宽)=10, ∴长+宽=5, 由题意得,y=x(5-x)=5x-x2, ∴它不是一次函数或正比例函数. 加餐训练 2.若函数y=(m2-1)x2+(m+1)x+2是一次函数,则m= . 1.若函数y=(2-m)xm-2+3m是一次函数,则m= . . 3 2-m≠0,且m-2=1, m≠2,且m=3, ∴m=3 1 m2-1=0,且m+1≠0, $