湖南省多校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

保密★启用前 高一数学 考生注意： 1.多题筒，考生多必将自己的性名、考生号操写在试寒和答题卡上，并将考生号条利局精 贴在参题卡上的指定位见 工，网多地泽通时，选出◆小题多案后，用指笔把多思卡对应周用的多案标号涂黑如需我 动，用惊虎擦千净后，再选牵片地答款标号，回答非选择题时，得等案写在答题卡上.写 在本试套上无就 3.考试精束后，得本试喜和答题于一并变 一，单喷选择题：本抛共8小题，每小题5分，共40分在每小驰给出的四个选喷中，只有一项 是特合题目裹求的 1.已如xeR.期"x>2“是1n年>0“的 女 A充分不达要条杆 且.必要不充分条作 仁充要条件 D.品不充分也不经要条件 2已超量a与的夹角为后，且a1=宁：61=5.测a-361= 损 e劉 4 3.已知m,母是两条不重合的红线，a是一个平面，则下列金题正确的是 A若m∥a,m⊥，果知⊥@ .若m上a,m⊥n,划则》口 C若n∥a,是上a,则m1n D.若na,a,月国∥n 4,已知组样本数据而，(<《《)的平均数为，方差为则 A6x1+1,61+1.….6,+1的平均数为面 B.2±，+1,2：+1，，2，+1的方2为2 C4无+1.4+1，…，4x1+1的25%分包数为4，+1 几31+1,5：+1，…，3x,+1的极禁为- 5,将函数)=m+的图象向右平移(e>0)个单位长度后，斯得图象对应的函数 为奇函数别华的最小值为 L吕 c月 数学拭题第1项（共4页） 点甲，乙两人祖藏“早队~参加必修二数学知识变答已知甲每次答对的率为：，乙每次答对 的概率为子在每欢答能中，甲和乙若对与香互不账响两人的定如下：每次由一人答感，若 答对，下一次由另一人容题；若容惜.则排续容题约定中先容题.侧前4次中甲恰好容避3 次的概率为 B时 工已知E方形AC)的边长为4，将△C沿对角线AC超折，使二面角B-G-D为，用 平面D截三棱锥B一AD的外接球所得篾面的面积为 心8m D.9n 8.定义在R上的雨数(x)满足只1+x》月1-)，且八x42)为奇函数，已知当D东本安1时， x)”-1,则下列结论错现的是 ARx+4》=八1) 我x》在区间9,11]上单翼递减 c信周 n三r0e-l 二，多项选择题：本题共3小题，每小殖6分，共18分.在每小题给出的进项中，有多项种合塑 日要求，全部选对的得6分，却分进对的得郑分分，有迭错的得0分 9.下列结论正确的是 A若A与B是互异事件，测A与B也是互斤事件 B.若半件A.B裤足兴A)+P()=1,期A与B是对立事件 C若A与B是互示事件，周P(A+B)=P(A)+代B) D若代A)=0.8P()=Q6,A与罪相互独立，期代4B)=0.32 0已知复数：请足，十：3+4，则下列站论正晚的是 A.:的序部为7 品.l=52 C:的共奥复数：在复平面内对应的点位于第三象限 以若复登w读足1越+1=1，则w-的量大的为8 11.如图在直三棱柱AC-A,,C,中，4B=AM,=2,3,4C=C-3,点P 是规段A,B的中点，点Q是棱C℃上的动点，则 A.AB⊥) B.存在点Q.使得O∥平面AC C.三棱脏P'-AQ的体积为3 0+OA的最小值量，30 数学试题第2真（共4页） 三，填空置：本题共3小驱，每小题5分，共5分 之已知，个桶台形存器的上成而半径为1，下履而半径为2.高为3，装清水后再全部倒入一 个张面举径为2，高为3的阳柱形容器中，则水深为 2+2x-3,法20 13.已知两数八)= u,x20, 若关于x的方图)了+号-m-m=0恰有 5个不判的实根，剩实数程的取值范用是 14.如图.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,B,中，M为棱D心上一点，满足D=1,F为正 方形AMD,D内一动点（含边界），且离足BF∥平血CM,期线段B,F长度的取虹范闺 为 四、解署驱：本题共5小驱，共T7分.解若应写出文学说所，证明过程或演算步骤 15.(13分) 设△G的内角A,B,C的对边分别为a,b,e,且(mA一m(m+b)=(imG-V3inB)e 《)求A的大小： 《Ⅱ)若a=7且△AC的面积为3，求AAG的城长。 16.《15分) 225年春节期间，国产电影（厚死之魔童闲海》死借其震 品的特效生动的情节与深刻的思想使器房一路彩开，于别 225年2月6日登既中国影史票房榜，根指网络平台数8调 据.机至2025年5月5日，总别房（含港澳台和将外票 房)已超5824亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全四 球动电影票房榜的亚脚电思某影院为了解蕉着该影 片的乱众的年静结构.随机抽垠了1阳名观众作为样本，得到如图新承的赖率分布直 方图. 《「)求颗率分布直方图中：的值与样本中年龄的第85百分位数 数学试题第3重（共4项》 (1}从样本中年整为[30.40)，[40,50)，[到.60)的三组观众中，按比例用分层随机抽样 的方法物取10人，则年徐在[00)中的现众应抽取多少人？ (且)若样木中年轮在[0,1D)的观众年弟的平均数是6，方差是2，年静在[50,0)的观众 年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样木总的平均数1和方差， 17.(15分》 已知丽数)=u+)+(a>011,beR)的图象经过点0》1，e引 (1》求几x)的解析式： (Ⅱ》若函数y八x)+m有且只有一个零点，求实数m的值， 18(17分》 如图，四棱锥P一AGD的底面是矩形.D上平面ACD,M为棱 C的中点，且PB1A.D=3.直线严W与平面ACD所成的角 为45 (1)证明：4M⊥ (1》在陵W上是否存在一点E,使得直线G成平面A若存 在，写出的值：著不在在，请说明理商 (Ⅲ求直线PB与平面PA制历成角的正切值 1男(17分》 内接四边形有情多良好的性厦，其中托勒密定驿极其优美，即在圆内接四边形AD 中，AB·D+AD,G=AC·D.试利用该定理解决下列间题： (1)设正三角形AC内接于圆0，点D在劣蛋G上（不与点A,G重合），证明：D■D+CD (重)在镯内接边形ACD中，A=4,BC=d.CD=点.AD=ep=。6+,证明 2 (i)Ac=1ab tor)(octhd) od +fe (}四边形AD的血积S=√（下-）(p-)(P-e)(P-) 数学试题第4页（共4到）高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查对数函数及充分必要条件的判断。 解析由nx>0得x>1,则x>2是x>1的充分不必要条件，所以“x>2”是“lnx>0”的充分不必要条件 2.答案B 命题透析本题考查向量的数量积运算及向量的模 解折因为a:=1a1b1om君=分×有×号=是所以1a-3动1：Va-:vG-ah+98: 4-6×+9x3=可 3 2 3.答案C 命题透析本题考查空间线面位置关系的判断 解析A中n与a任意关系都有可能，故A错误：B中可能n∥α或nC,故B错误：对于C,因为m∥a,所以存 在直线ICa使得m∥1，又n⊥a,所以n⊥l,所以n⊥m,故C正确：D中m与n平行、相交或异面都有可能，故D 错误。 4.答案C 命题透析本题考查样本的数字特征 解析对于A,根据平均数的性质，可得6x1+1,6x2+1,…,6x,+1的平均数为6x+1,故A错误； 对于B,根据方差的性质，可得2x1+1,2x2+1,…,2x1+1的方差为2×s2=4s2,故B错误： 对于C,因为x1<x2<…<x2,所以4x1+1<4x2+1<…<4x1+1,又7×25%=1.75，故25%分位数为4x2+1, 故C正确： 对于D,根据极差的计算方法，可得3x+1,3x2+1,…,3x,+1的极差为3(x,-x,),故D错误。 5.答案A 命题透析本题考查三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性 解析函数f()=心(2x+)的图象向右平移p(p>0)个单位长度后所得图象对应的函数为y [2(x-p）+]=c(2-2g+）因为此函数为奇函数，所以写-2g=号+km(keZ),得p=晋-月 (keZ),当=0时，p取得最小值，为受 6.答案D 命题透析本题考查相互独立事件的概率乘法公式 解析前4次中甲恰好答题3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲答对，第二次乙答对，第三次甲答错，第四次甲答题，这种情况的概率为子× (-）=a 第二种情况：第一次甲答错，第二次甲答对，第三次乙答对，第四次甲答题，这种情况的概率为1-)×子× 13 4=64 第三种情况：第一次甲答错，第二次甲答错，第三次甲答对，第四次乙答题，这种情况的概率为(1-子）× (-)*a 故前4次中甲恰好答题3次的概率为是+3+3=9 90+64+6464 7.答案B 命题透析本题考查简单几何体的结构特征， 解析如图，取AC的中点E,连接BE,DE,则有B1AC,DE1AC∠BBD=,又在△BED中，BE=DE= 2√2，，BD=2√6.平面BCD截三棱锥B-ACD的外接球所得截面为△BCD的外接圆.在△BCD中，cos∠BCD= BD 410 +2,6=,sin BCD=5设△BCD的外接圆半径为R,则Ran∠BCD了，ABCD的 2×4×4 外接圆面积S=R=32 5 B D 8.答案C 命题透析本题考查抽象函数的周期性与单调性， 解析对于A,因为f八1+x)=(1-x),所以八x)的图象关于直线x=1对称，所以(x)=(2-x),又八x+2) 为奇函数，即f八-x+2)=-f八x+2),则f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(x)=-f八x+2)=f八x+4),故A 正确： 对于B,由当0≤x≤1时(x)=e-1,可得f(x)的部分图象如图，由图可知f八x)在区间[9,11]上单调递减，故 B正确： —2 e+】 对于C）=2-)4)=e-1<e时-1=3)，故c错误： 对于D,因为f1)=e-1f(2)=f4)=0,f3)=1-e,所以f1)+f(2)+f3)+f(4)=0=f(5)+f6)+f八7)+ 2024 (8)=…,所以∑fi)=0×506+f2025)=f1)=e-1,故D正确， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案CD 命题透析本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义 解析对于A,由互斥事件的定义可知，事件A,B互斥，则BCA,A与B不互斥，特别地，若事件A,B对立，则A 与B是同一事件，显然不互斥，故A错误 对于B,例如：袋中有红球、黄球、黑球、绿球各1个，从袋中任意摸1个球，设事件A=“摸到红球或黄球”，事件 B=“换到黄球或黑球”，显然事件A与B不是对立事件，但P()+P(B)=子+分=1，故B错讽 对于C,若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B),故C正确 对于D,若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=0.8×(1-0.6)=0.32,故D正确， 10.答案BCD 命题透析本题考查复数的概念、运算与几何意义 解析因为z=(1+i)(3+4i)=-1+7i,所以1z1=5√2，z=-1-7i,故A错误，B.C正确：因为复数w在复平 面内对应的点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，。-表示圆上的点与点(-1,7)的距离，最大值为7- 0+1=8,故D正确. 11.答案ABD 命题透析本题综合考查立体几何。 解析对于A,如图，设AB的中点为E,连接PE,CE,AC=BC,E为AB的中点，∴.CE⊥AB.P,E分别为 BA1,BA的中点，∴，A∥PE,又CC1∥AA,∴.PE∥CC,又AM1⊥AB,,PE⊥AB,又PE∩CE=E,所以AB⊥平面 PECC.PQC平面PECC,∴.AB⊥PQ,故A正确. 对于B,当Q为CC,的中点时，PQ∥平面ABC,故B正确.。 对于C,n侧=m=写5m·CE=号×分x25×5×V3-(5=9故C错误 一3 对于D,将四边形PECC,与矩形CC,AA翻折到同一个平面内，再结合两点之间线段最短，可得(PQ+QA)= √PE+(CE+AC)=√(5)2+(2+3)2=√30，故D正确. A B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案子 命题透析本题考查简单几何体的体积. 解析设水深为么依题意有云×2×h=(P+2+1×2)×3,解得h=子 13.答案(-4，-3] 命题透析本题考查分段函数的图象与性质， 解析由[)]+（子-m人）-子m=0,解得)=-三或)=m画出x)的大致图象如图所示，可 知)=三时，有2个根，则)=m时，有3个根，此时m的取值范围为(-4，-3 14.答案[√，√13] 命题透析本题考查正方体中的线面位置关系 解析如图，在棱AM,上取一点N,使AN=1,在棱A,D,上取一点W,使A,W=2,连接B,W,B,N,NW.易证平面 BC,M∥平面NB,W,∴.F在线段NW上，在△BNW中，B,N=B,W=13,WN=22,取NW的中点P,则B,P √（√13）2-(2)2=√11，BF的取值范围为[I,√13] D B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查解三角形. 解析(I)由(sinA-sinB)(a+b)=(sinC-√3sinB)c, 结合正弦定理，得(a-b)(a+b)=(c-3b)C,…(2分) .c2+b62-a2=3bc, csA=C+-a2-5e-区 2bc-2, 04小444444444 (4分) 2bc 又：0<A<T,A=π (6分) 6 （Ⅱ)由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA,:a=7,A=π 6 .7=b2+C2-5b派.…(8分）》 Sam =besin A=3be=43. (10分) .7=(b+c)2-2bc-√5bc,整理得(b+c)2=(4+5)2,.b+c=4+5.…(12分) △ABC的周长为a+b+c=万+4+3，…(13分) 16.命题透析本题考查频率分布直方图及样本的数字特征， 解析（1)，(0.01+a+0.022+0.025+0.02+0.005)×10=1,∴.a=0.018.…(2分) 0.1+0.18+0.22+0.25=0.75<0.85,0.1+0.18+0.22+0.25+0.2=0.95>0.85,∴.第85百分位数位于 区间[40,50）内.…(4分） 设第85百分位数为x,则0.75+(x-40)×0.02=0.85,解得x=45.…(6分) (Ⅱ)：[30,40)，[40,50)，[50.60)对应的频率之比为0.25：0.2：0.05=5：4：1， 4 用分层随机抽样的方法抽取10人，年龄在[40,50)中的观众应抽取10×5+4+=4（人）。…(9分) 0.1 0.05 ()x=0.1+0.05×6+0.1+0.05×57=23.… (11分) 0.1 01005×[2+(6-23t000b05×5+(5⑦-23=581.…(15分 17.命题透析本题考查函数的图象与性质. =g2, 1 解析(I)根据题意可得 …(2分)】 log 2=log.(a+1)+b 5 0=4, 解得 …(4分) D ∴f八x）=log(4+1)- (5分) -5 (Ⅱ)f(x)的定义域为R, )=le.(4+1-之=g(4+）-lg,2r=lg2=g(2+2。 f代一x）=f八x),f八x)是偶函数.…(8分) 由函数y=2与函数y=+x>1)都为增函数，可得函数1=2”+2在(0，+0)上单调递增，又函数y= l0gx在(0，+∞)上单调递增， .y=f八x)=l0g(2+2)在(0，+0)上单调递增.…(10分）》 又八x)是偶函数，心[/八x)门m=0)=2…(12分) 函数y=f代x)+m有且只有一个零点，即y=f(x)与y=-m的图象在R上只有一个交点， -m=分，即m=-子 …(15分) 18.命题透析本题考查空间线面位置关系的证明及线面角的计算. 解析(I)PD⊥平面ABCD,AMC平面ABCD. AM上PD,…(1分） 又AM⊥PB,PB门PD=P.AM⊥平面PBD,…(3分) 又.BDC平面PBD,∴，AM⊥BD.… …(4分)） (I)在棱PD上存在一点，当器2时，直线cB/平面PM …(5分) 理由：如图，取PD的中点E,PA的中点F,连接CE,EF,MF :E,F分别为PD,PA的中点， ÷EF/AD,且EF=AD. …(6分） AD/BC.AD-BC.CN-C.EF/CM.EF-CM. 四边形CEFM为平行四边形，.CE∥FM。…(8分) 又，CE￠平面PAM,FMC平面PAM, ∴.CE∥平面PAM.… (9分) (Ⅲ)连接DM.,PD⊥平面ABCD, ∴.∠PMD为直线PM与平面ABCD所成的角，∴.∠PMD=45 —6 又△PDM为直角三角形.∴.DM=PD=3, cm+(2Bc)=9① C AM LBD.∠MAB=∠DBC,CD=BC,② 由①②可得CD=6,BC=23,.BD=32,PB=35.…(11分） 方法一：设点B到平面PAM的距离为h. 在△PAM中，PA=√PD+AD=√2I,AM=3,PM=32, mw血w:哥 21 sw=分×Ix3x-3. 2 5am=7×6x5=39 2 m=m写32×3=号×3xhh3 17 …(14分） 334 设PB与平面PAM所成的角为0，则im0=点=17 =PB33 =102 51· cos 0=7 5T 51 tan 0= 7 (17分) 方法二：如图，设AM与BD交于点G,连接PG 由(I)知AM⊥平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAM,点B在平面PAM上的射影一定落在两平面的交线PG 上，所以直线PB与平面PAM所成的角即∠BPG. …(12分) 在△BD中，m∠BPD册号=，五 4... (13分) 在R△GPD中，DG=号BD=2E,所以m∠GPD=0-2 PD 3 …(14分） v2、22 3 所以tan∠BPG=tan(∠BPD-∠GPD)= 1+2x22 7 一7 即PB与平面P1M所成角的正切值为三 …(17分） 19.命题透析本题考查新定义及正余弦定理的应用. 解析(I)由托勒密定理知AB·CD+AD·BC=AC·BD, :△ABC为正三角形，.AB=BC=AC, .CD+AD=BD.… (4分) (I)(i)设∠ABC=0,则∠ADC=m-0,不妨设0e(0,引， AC =a?+d 2adcos 0.AC2=b+c2+2bccos 0, 六cs0=。+AC.+2-AC 2ad 2bc ∴es0=02+f-c2-㎡ 6………… AC=a+df-2adcos 0=d+d2ad. 2ad +2bc =(a+f)(ad+e)-ad(a2+)+ad(+c2) ad be =(a+d)betad(bit)(abted)(ac+bd) …(10分)） ad +be ad +be (iⅱ)由(i)可得 usin in() =2nlad+kc)=子-eo0(ad+加) 2ad +2be (ad+be) =年V√4(d+加)-(a2+-c-6y =}@+d-b+o)(a+d+b-cb+c-a+d0(6+c+0-西 =4/2p-2b)(2p-2(2p-2a)(2p-2d =√/(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).…(17分） 一8