精品解析：江西省赣州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

赣州市2024-2025学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2025年6月 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 2. 命题“存在，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 任意的， D. 任意的， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含量词的命题的否定，否定量词和结论即可. 【详解】由题意有“存在，”的否定：“任意的，” . 故选：D. 3. 设，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 4. 数列为，则不能作为通项公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意逐项验证即可求解. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. 5. 已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的增区间是和 B. 有4个极值点 C. 的减区间是和和 D. 极大值点和极小值点的个数相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像得函数的单调性，进而得函数的极值，逐一判断即可. 【详解】由图可知的增区间为和，减区间为和，故A正确，C错误， 所以有3个极值点分别是，故B错误，极大值点为，极小值点为，故D错误. 故选：A. 6. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 7. 已知l是函数的切线且斜率为2，则与圆有公共点的切线l的条数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得切线方程，利用直线与圆的位置关系列出切线与圆有公共点的条件，进行求解分析，得到答案. 【详解】,解得,或, 切线方程为或， 与圆有公共点的条件是或， 即或， 即即（1）或（2）， 其中, 由（1）得,由（2）得, 共有10条切线满足题意， 故选：C. 8. 设，是等差数列，，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求导得的单调性，利用等差数列前项和得，即可求，进而得充分性，若，假设，利用反证法证必要性即可求解. 【详解】，所以在上单调递增. 先说明充分性：，所以. ， 又. 同理，所以. 所以是的充分条件. 再说明必要性，若，假设，则， 即，所以. 因为在上单调递增，所以有 同理，，…，. 上式不等式相加得到即这与矛盾，所以假设错误. 同理假设可得也与矛盾，所以假设错误. 所以可推出.必要性成立，所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】若存在使得，即函数对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可，故AD错误，BC正确， 故选：BC. 10. 关于函数，以下说法正确的是（ ） A. 当时，的增区间为 B. 当时，的值域为 C. 如果的值域为，则 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，逐个分析每个选项即可得到答案. 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 11. 鸡尾酒排序是一种计算机科学领域的排序算法.其基本思想是：通过对数字均不相同的排序序列从左往右，依次对相邻两个数比较大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，使值较大的数逐渐从左移向右，所有相邻两个数完成对比交换后再反向从右往左依次比较相邻两个数的大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，完成两个方向的对比交换称为一个轮次，只完成一个方向算个轮次.重复以上过程直到序列中所有数从左往右都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行鸡尾酒排序，首先从左往右顺序，先比较，无需交换位置，然后比较，需交换1次位置，得到新序列最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列，完成了从左往右的对比换序.然后从右往左方向，先比较，无需交换，再比较，交换位置得，再比较，交换位置得完成一个轮次鸡尾酒排序.此例只用了一个轮次就完成了排序，共进行了4次交换位置.以下说法正确的是（ ） A. 对需要个轮次完成排序 B. 若，则个数最多需要轮次完成排序 C. 对进行了8次交换位置完成排序 D. 对于序列最多需要次交换位置完成排序 【答案】ABD 【解析】 【分析】对进行鸡尾酒排序即可判断AC，根据鸡尾酒排序的规律可验证BD. 【详解】由，第1次交换，第2次交换，第3次交换， 第4次交换，此时进行了从左往右的换序，然后从右往左， 第1次交换，第2次交换，第3次交换， 此时进行了从右往左的换序，进行了1个轮次，再从左往右， 第1次交换，第2次交换完成， 所以对需要个轮次完成排序，共进行9次交换位置，故A正确，C错误； 从上的鸡尾酒排序发现，从左往右进行交换，可以实现最大的数排到右边， 从右往左可以实现最小的数排到左边， 所以，个数中，每一个轮次鸡尾酒排序可以把2个数字进行正确排序， 最后一个自然定序，所以最多需要k轮次完成排序，故B正确； 序列进行排序，第一个轮次鸡尾酒排序从左往右最多需要次交换位置， 从右往左最多需要次交换位置，以此类推， 所以最多需要次交换位置完成排序，故D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前7项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设数列的公比为，，计算等比数列的基本量，最后利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】设数列的公比为，，数列的前项和为， 由题意有，， 所以， 故答案为：. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】由题意有或， 所以， 故答案为：. 14. 函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为与的图象有5个交点，结合函数的图象可得答案. 【详解】令，， 由得，单调递增，得，单调递增， 得，单调递减， 所以，在有极大值，在有极小值，为，， 其图象如下图， 令，其图象如下图， 由于，且有5个根，即与的图象有5个交点， 即与的图象有3个交点，与的图象有2个交点， 要与的图象有3个交点，如下图，图象左侧部分有两个交点， 图象右侧部分必须，才有第三个交点，即必须包括极小值点， 与的图象有2个交点，如下图，图象右侧部分有一个交点， 左侧部分必须包括对称轴，才有第二个交点， 又因为， 由解得，或， 当时，， 所以要使与的图象有5个交点，结合函数图象可知只需. 故答案为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值，并判断的单调性（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1），；减函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数得，进而解得，即可得函数的单调性； （2）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，得， 则，经检验符合题意. 又，所以是减函数. 【小问2详解】 由在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数. 所以，即在时恒成立， 所以， 又，当且仅当时等号成立 所以 16. 已知，. （1）解不等式：； （2）若使得，，成等比数列，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； （2）利用等比中项得，结合指数运算性质及三角恒等变换化简即可求解. 【小问1详解】 ，即， 所以， 由单调性知， 解不等式，即，得， 所以，又因为， 所以原不等式解集为； 【小问2详解】 因为是与的等比中项， 所以，代入得， 即， 则. 因为，所以， 设，由辅助角公式得， 所以且 所以，即. 17. 调查公司调查了两个群体（群体甲和群体乙）对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联. 喜欢新项目 不喜欢新项目 群体甲 75 45 群体乙 60 90 附：，其中 0.25 0.1 005 0.025 0.01 0.001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （1）分析群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联： （2）某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为p，且三次尝试是相互独立的.设事件A为“恰好成功两次”，事件B为“至少成功一次”，求使得取得最大值时p的值. 【答案】（1）有99.9%把握认为群体类型与新项目的喜好有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想计算卡方值即可判断； （2）先判断，根据二项分布概率公式求出，，利用条件概率公式求得，设，通过求导判断函数的单调性，求出其最大值即得. 【小问1详解】 零假设：群体类型（甲/乙）与新项目的喜好没有关联， ， 由小概率值表可知，当时可推断不成立， 即有99.9%把握认为群体类型与新项目的喜好有关联. 【小问2详解】 依题意，对新项目三次尝试成功的次数服从二项分布，又因A发生时B一定发生，则， 则，， 故， 设， 则 令，解方程得.因为，所以 当时，有，所以在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递减. 所以当时，取得最大值，即取得最大值. 18. 数列满足，且对于，都有. （1）求数列的，，； （2）证明数列是等差数列； （3）求. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式即可求解； （2）由得，两边同时除以，即可得证； （3）由（2）得，利用累加法得，最后利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由，， 所以， ， ； 【小问2详解】 由得，等式两边同时除以， 可得，即， 当时，. 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 【小问3详解】 由（2）知，则， 当时由累加法得： ， 等式两边同乘2，得. 两式相减得 ， 因为，所以（）， 当时上式也成立， 综上. 19. 对于函数，若存在区间，使得当时，的值域是（），则称函数为“k倍区间函数”， 为函数的一个“k倍区间”.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间上是“k倍区间函数”，求k的取值范围； （3）判断函数在区间内是否存在“2倍区间”，并说明理由.（注：） 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过对原函数的求导，利用导函数的正负即得函数的单调区间； （2）根据“k倍区间函数”的定义，结合函数的单调性可得，利用同构思想，可知在上有两个不同的根，利用导数，结合的图象，即可求得k的取值范围； （3）先假设函数在区间内存在“2倍区间”，可得，设，则有在至少有两个实根，分析函数的单调性和极值，可得在处的极小值，从而可判断函数在区间内不存在“2倍区间”. 【小问1详解】 由求导得， 令，求导得恒成立，即在上单调递增. 又，故当时，，即，即的单调递减区间是； 当时，，即，即单调递增区间是. 【小问2详解】 ，因为在区间上是“k倍区间函数”， 则存在区间，使得的值域是（）. 因，当时，，则在上单调递增， 则，即方程在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根， 令，求导得， 则在单调递减，在单调递增，在处取得极小值 当时，，当，. 要使与在上有两个不同的交点，需使，解得， 即k的取值范围是； 【小问3详解】 假设函数在区间内存在“2倍区间”. 因为在上单调递增，所以，即. 令，则在至少有两个实根， ，令，，所以在单调递增. ，， 所以存在唯一的，使得，即，则 当时，有，即，所以在上单调递减； 当时，有，即，所以在上单调递增. 所以在处取得极小值， 因函数在单调递减，且， 故， 即在上没有实根， 所以函数在区间内不存在“2倍区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2024-2025学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2025年6月 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 任意， D. 任意的， 3. 设，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 数列为，则不能作为通项公式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的增区间是和 B. 有4个极值点 C. 的减区间是和和 D. 极大值点和极小值点的个数相同 6. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知l是函数的切线且斜率为2，则与圆有公共点的切线l的条数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 设，是等差数列，，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，以下说法正确的是（ ） A. 当时，的增区间为 B. 当时，的值域为 C. 如果的值域为，则 D. 函数的图象关于直线对称 11. 鸡尾酒排序是一种计算机科学领域的排序算法.其基本思想是：通过对数字均不相同的排序序列从左往右，依次对相邻两个数比较大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，使值较大的数逐渐从左移向右，所有相邻两个数完成对比交换后再反向从右往左依次比较相邻两个数的大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，完成两个方向的对比交换称为一个轮次，只完成一个方向算个轮次.重复以上过程直到序列中所有数从左往右都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行鸡尾酒排序，首先从左往右顺序，先比较，无需交换位置，然后比较，需交换1次位置，得到新序列最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列，完成了从左往右的对比换序.然后从右往左方向，先比较，无需交换，再比较，交换位置得，再比较，交换位置得完成一个轮次鸡尾酒排序.此例只用了一个轮次就完成了排序，共进行了4次交换位置.以下说法正确的是（ ） A. 对需要个轮次完成排序 B. 若，则个数最多需要轮次完成排序 C. 对进行了8次交换位置完成排序 D. 对于序列最多需要次交换位置完成排序 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前7项和为__________. 13. 函数定义域为__________. 14. 函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值，并判断的单调性（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 16 已知，. （1）解不等式：； （2）若使得，，成等比数列，求实数m的取值范围. 17. 调查公司调查了两个群体（群体甲和群体乙）对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联. 喜欢新项目 不喜欢新项目 群体甲 75 45 群体乙 60 90 附：，其中 0.25 0.1 005 0.025 0.01 0001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （1）分析群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联： （2）某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为p，且三次尝试是相互独立的.设事件A为“恰好成功两次”，事件B为“至少成功一次”，求使得取得最大值时p的值. 18. 数列满足，且对于，都有. （1）求数列的，，； （2）证明数列是等差数列； （3）求. 19. 对于函数，若存在区间，使得当时，的值域是（），则称函数为“k倍区间函数”， 为函数的一个“k倍区间”.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间上是“k倍区间函数”，求k的取值范围； （3）判断函数在区间内是否存在“2倍区间”，并说明理由.（注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $